Undersøkelsen av funksjoner og deres grafer er et tema som vies spesiell oppmerksomhet innenfor rammen av læreplanen for videregående skole. Noen grunnleggende matematisk analyse - differensiering - inngår i profilnivået til eksamen i matematikk. Noen skolebarn har problemer med dette emnet, da de forvirrer grafene til funksjonen og den deriverte, og glemmer også algoritmene. Denne artikkelen vil dekke hovedtyper av oppgaver og hvordan du løser dem.
Hva er funksjonsverdien?
En matematisk funksjon er en spesiell ligning. Det etablerer et forhold mellom tall. Funksjonen avhenger av verdien av argumentet.
Verdien av funksjonen beregnes i henhold til den gitte formelen. For å gjøre dette, erstatte ethvert argument som tilsvarer rekkevidden av gyldige verdier i denne formelen i stedet for x og utfør de nødvendige matematiske operasjonene. Hva?
Hvordan kan du finne den minste verdien av en funksjon,bruker du en graffunksjon?
Grafisk representasjon av en funksjons avhengighet av et argument kalles en funksjonsgraf. Den er bygget på et plan med et visst enhetssegment, der verdien av en variabel eller argument er plottet langs den horisontale abscisseaksen, og den tilsvarende funksjonsverdien langs den vertikale ordinataksen.
Jo større verdien av argumentet, jo mer til høyre ligger det på grafen. Og jo større verdien av selve funksjonen er, desto høyere er punktet.
Hva sier dette? Den minste verdien av funksjonen vil være det punktet som ligger lavest på grafen. For å finne det på et diagramsegment trenger du:
1) Finn og merk slutten av dette segmentet.
2) Bestem visuelt hvilket punkt på dette segmentet som ligger lavest.
3) Som svar, skriv ned dens numeriske verdi, som kan bestemmes ved å projisere et punkt på y-aksen.
Ekstreme poeng på derivatdiagrammet. Hvor skal du se?
Men når du løser problemer, er det noen ganger gitt en graf ikke av en funksjon, men av dens deriverte. For å unngå å gjøre en dum feil ved et uhell, er det bedre å lese vilkårene nøye, siden det avhenger av hvor du skal lete etter ekstreme punkter.
Så, den deriverte er den øyeblikkelige økningshastigheten til funksjonen. I følge den geometriske definisjonen tilsvarer den deriverte helningen til tangenten, som trekkes direkte til det gitte punktet.
Det er kjent at ved ytterpunktene er tangenten parallell med okseaksen. Dette betyr at helningen er 0.
Av dette kan vi konkludere at ved ytterpunktene ligger den deriverte på x-aksen eller forsvinner. Men i tillegg, på disse punktene, endrer funksjonen retning. Det vil si at etter en periode med økning begynner den å avta, og derivatet endres følgelig fra positivt til negativt. Eller omvendt.
Hvis den deriverte blir negativ fra positiv, er dette maksimumspunktet. Hvis fra negativ blir det positivt - minimumspunktet.
Viktig: Hvis du trenger å spesifisere et minimums- eller maksimumspunkt i oppgaven, bør du som svar skrive den tilsvarende verdien langs abscisse-aksen. Men hvis du trenger å finne verdien av funksjonen, må du først erstatte den tilsvarende verdien av argumentet i funksjonen og beregne den.
Hvordan finner jeg ekstremumpoeng ved å bruke derivater?
De vurderte eksemplene refererer hovedsakelig til oppgave nummer 7 på eksamen, som innebærer å jobbe med en graf av en derivert eller en antiderivert. Men oppgave 12 i USE - å finne den minste verdien av en funksjon på et segment (noen ganger den største) - utføres uten tegninger og krever grunnleggende ferdigheter i matematisk analyse.
For å utføre det, må du kunne finne ekstremumpunkter ved å bruke den deriverte. Algoritmen for å finne dem er som følger:
- Finn den deriverte av en funksjon.
- Still den til null.
- Finn røttene til ligningen.
- Sjekk om de oppnådde punktene er ekstremum eller bøyningspunkter.
For å gjøre dette, tegn et diagram og viderede resulterende intervallene bestemmer fortegnene til den deriverte ved å erstatte tallene som tilhører segmentene i den deriverte. Hvis du, når du løser ligningen, fikk røtter av dobbel multiplisitet, er disse bøyningspunkter.
Ved å bruke teoremene, avgjør hvilke poeng som er minimum og hvilke som er maksimum
Beregn den minste verdien av en funksjon ved å bruke en derivert
Men etter å ha utført alle disse handlingene, vil vi finne verdiene for minimums- og maksimumspunktene langs x-aksen. Men hvordan finne den minste verdien av en funksjon i et segment?
Hva må gjøres for å finne tallet som tilsvarer funksjonen på et bestemt punkt? Du må erstatte verdien av argumentet i denne formelen.
Poeng med minimum og maksimum tilsvarer den minste og største verdien av funksjonen på segmentet. Så for å finne verdien til funksjonen må du beregne funksjonen ved å bruke de oppnådde x-verdiene.
Viktig! Hvis oppgaven krever at du spesifiserer et minimums- eller maksimumspunkt, bør du som svar skrive den tilsvarende verdien langs x-aksen. Men hvis du trenger å finne verdien til funksjonen, må du først erstatte den tilsvarende verdien av argumentet i funksjonen og utføre de nødvendige matematiske operasjonene.
Hva skal jeg gjøre hvis det ikke er noen lavpunkter i dette segmentet?
Men hvordan finne den minste verdien av en funksjon på et segment uten ekstremumpunkter?
Dette betyr at funksjonen reduseres eller økes monotont på den. Deretter må du erstatte verdien av ekstrempunktene til dette segmentet i funksjonen. Det er to måter.
1) Har beregnetderiverte og intervallene den er positiv eller negativ på, for å konkludere om funksjonen er avtagende eller økende på et gitt segment.
I samsvar med dem, sett inn en større eller mindre verdi av argumentet i funksjonen.
2) Bare sett inn begge punktene i funksjonen og sammenlign de resulterende funksjonsverdiene.
I hvilke oppgaver er det valgfritt å finne den deriverte
Som regel, i USE-oppgavene, må du fortsatt finne den deriverte. Det er bare et par unntak.
1) Parabola.
Parablens toppunkt finnes av formelen.
Hvis en < 0, så er grenene til parablen rettet nedover. Og toppen er maksimumspunktet.
Hvis en > 0, så er grenene til parablen rettet oppover, toppunktet er minimumspunktet.
Etter å ha beregnet toppunktet til parablen, bør du erstatte verdien av den i funksjonen og beregne den tilsvarende verdien til funksjonen.
2) Funksjon y=tg x. Eller y=ctg x.
Disse funksjonene øker monotont. Derfor, jo større verdien av argumentet, desto større verdien av funksjonen i seg selv. Deretter skal vi se på hvordan du finner den største og minste verdien av en funksjon på et segment med eksempler.
Hovedtyper av oppgaver
Oppgave: den største eller minste verdien av funksjonen. Eksempel på diagrammet.
På bildet ser du grafen til den deriverte av funksjonen f (x) på intervallet [-6; 6]. På hvilket tidspunkt av segmentet [-3; 3] f(x) tar den minste verdien?
Så, for det første, bør du velge det angitte segmentet. På den tar funksjonen en gang en nullverdi og endrer fortegn - dette er ekstremumpunktet. Siden den deriverte fra negativ blir positiv, betyr det at dette er minimumspunktet for funksjonen. Dette punktet tilsvarer verdien av argumentet 2.
Svar: 2.
Fortsett å se på eksempler. Oppgave: finn den største og minste verdien av funksjonen på segmentet.
Finn den minste verdien av funksjonen y=(x - 8) ex-7 på intervallet [6; 8].
1. Ta den deriverte av en kompleks funksjon.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Lik den resulterende deriverte til null og løs ligningen.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, eller ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, ingen røtter
3. Bytt inn verdien av ekstrempunktene i funksjonen, så vel som de oppnådde røttene til ligningen.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Svar: -1.
Så, i denne artikkelen ble hovedteorien vurdert om hvordan man finner den minste verdien av en funksjon på et segment, som er nødvendig for å lykkes med å løse USE-oppgaver i spesialisert matematikk. Også elementer av matematiskeanalyser brukes når man løser oppgaver fra del C av eksamen, men de representerer åpenbart et annet kompleksitetsnivå, og algoritmene for deres løsninger er vanskelige å passe inn i rammeverket til ett materiale.
