Hvordan finne minimums- og maksimumspoengene til en funksjon: funksjoner, metoder og eksempler

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Funksjon og studiet av dens egenskaper er et av nøkkelkapitlene i moderne matematikk. Hovedkomponenten i enhver funksjon er grafer som viser ikke bare dens egenskaper, men også parametrene til den deriverte av denne funksjonen. La oss ta en titt på dette vanskelige emnet. Så hva er den beste måten å finne maksimums- og minimumspoeng for en funksjon?

Funksjon: Definisjon

Enhver variabel som på en eller annen måte avhenger av verdiene til en annen verdi, kan kalles en funksjon. For eksempel er funksjonen f(x²) kvadratisk og bestemmer verdiene for hele settet x. La oss si at x=9, så vil verdien av funksjonen vår være lik 9^2=81.

Funksjoner finnes i mange forskjellige typer: logisk, vektor, logaritmisk, trigonometrisk, numerisk og andre. Slike fremragende hjerner som Lacroix, Lagrange, Leibniz og Bernoulli var engasjert i studien deres. Skriftene deres fungerer som et bolverk i moderne måter å studere funksjoner på. Før du finner minimumspoengene, er det veldig viktig å forstå selve betydningen av funksjonen og dens deriverte.

Deriverten og dens rolle

Alle funksjoner er inneavhengig av variabelverdiene deres, noe som betyr at de kan endre verdien når som helst. På grafen vil dette bli avbildet som en kurve som enten synker eller stiger langs y-aksen (dette er hele settet med "y"-tall langs vertikalen av grafen). Og derfor er definisjonen av et punkt med et maksimum og et minimum av funksjon bare forbundet med disse "svingningene". La oss forklare hva dette forholdet er.

Deriverten av enhver funksjon tegnes på en graf for å studere dens hovedkarakteristika og beregne hvor raskt funksjonen endres (dvs. endrer verdien avhengig av variabelen "x"). I det øyeblikket funksjonen øker, vil grafen til dens deriverte også øke, men når som helst kan funksjonen begynne å avta, og da vil grafen til den deriverte avta. De punktene der den deriverte går fra minus til pluss kalles minimumspoeng. For å vite hvordan du finner minimumspoengene, bør du bedre forstå konseptet med den deriverte.

Hvordan beregner jeg den deriverte?

Å definere og beregne den deriverte av en funksjon innebærer flere konsepter fra differensialregning. Generelt kan selve definisjonen av den deriverte uttrykkes som følger: dette er verdien som viser endringshastigheten til funksjonen.

Matematisk måte å bestemme det på for mange elever virker komplisert, men faktisk er alt mye enklere. Du trenger bare å følge medstandard plan for å finne den deriverte av en funksjon. Det følgende beskriver hvordan du kan finne minimumspunktet for en funksjon uten å bruke differensieringsreglene og uten å huske tabellen med deriverte.

1. Du kan beregne den deriverte av en funksjon ved å bruke en graf. For å gjøre dette må du avbilde selve funksjonen, deretter ta ett punkt på den (punkt A i fig.) Tegn en linje vertik alt ned til abscisseaksen (punkt x_{0), og ved punkt A tegne en tangent til funksjonsgrafikk. Abscisseaksen og tangenten danner en vinkel a. For å beregne verdien av hvor raskt funksjonen øker, må du beregne tangenten til denne vinkelen a.}
2. Det viser seg at tangenten til vinkelen mellom tangenten og retningen til x-aksen er den deriverte av funksjonen i et lite område med punkt A. Denne metoden regnes som en geometrisk måte å bestemme den deriverte på..

Metoder for å undersøke en funksjon

I skolens læreplan for matematikk er det mulig å finne minimumspunktet til en funksjon på to måter. Vi har allerede analysert den første metoden ved å bruke grafen, men hvordan bestemme den numeriske verdien av den deriverte? For å gjøre dette, må du lære flere formler som beskriver egenskapene til den deriverte og hjelper til med å konvertere variabler som "x" til tall. Følgende metode er universell, så den kan brukes på nesten alle typer funksjoner (både geometriske og logaritmiske).

1. Det er nødvendig å likestille funksjonen med den deriverte funksjonen, og deretter forenkle uttrykket ved å bruke reglenedifferensiering.
2. del på null).
3. Etter det bør du konvertere den opprinnelige formen til funksjonen til en enkel ligning, som likestiller hele uttrykket til null. For eksempel, hvis funksjonen så slik ut: f(x)=2x³+38x, er dens deriverte i henhold til reglene for differensiering lik f'(x)=3x ^{2 +1. Deretter transformerer vi dette uttrykket til en ligning med følgende form: 3x}2^+1=0.
4. Etter å ha løst ligningen og funnet punktene "x", bør du tegne dem på x-aksen og finne ut om den deriverte i disse områdene mellom de markerte punktene er positiv eller negativ. Etter betegnelsen vil det bli klart på hvilket tidspunkt funksjonen begynner å avta, det vil si at den endrer fortegn fra minus til det motsatte. Det er på denne måten du kan finne både minimums- og maksimumspoengene.

Differensieringsregler

Den mest grunnleggende delen av å lære en funksjon og dens deriverte er å kjenne reglene for differensiering. Bare med deres hjelp er det mulig å transformere tungvinte uttrykk og store komplekse funksjoner. La oss bli kjent med dem, det er ganske mange av dem, men de er alle veldig enkle på grunn av de vanlige egenskapene til både potens og logaritmiske funksjoner.

1. Den deriverte av en konstant er null (f(x)=0). Det vil si at den deriverte f(x)=x⁵+ x - 160 vil ha følgende form: f' (x)=5x^4+1.
2. Den deriverte av summen av to ledd: (f+w)'=f'w + fw'.
3. Derivat av en logaritmisk funksjon: (log_{ad)'=d/ln ad. Denne formelen gjelder for alle typer logaritmer.}
4. Avledet av grad: (x)'=nx^n-1. For eksempel, (9x^2)'=92x=18x.
5. Derivat av en sinusformet funksjon: (sin a)'=cos a. Hvis synden til vinkelen a er 0,5, er dens deriverte √3/2.

Ekstremepoeng

Vi har allerede funnet ut hvordan man finner minimumspoengene, men det er konseptet med maksimumspoeng for en funksjon. Hvis minimum angir de punktene der funksjonen går fra minus til pluss, så er maksimumspunktene de punktene på x-aksen der den deriverte av funksjonen endres fra pluss til det motsatte - minus.

Du kan finne maksimumspoengene ved å bruke metoden beskrevet ovenfor, bare det bør tas i betraktning at de angir de områdene hvor funksjonen begynner å avta, det vil si at den deriverte vil være mindre enn null.

I matematikk er det vanlig å generalisere begge begrepene, og erstatte dem med uttrykket "ekstremum poeng". Når oppgaven ber om å bestemme disse punktene, betyr dette at det er nødvendig å beregne den deriverte av denne funksjonen og finne minimums- og maksimumspoengene.