Matematiske problemer brukes i mange vitenskaper. Disse inkluderer ikke bare fysikk, kjemi, ingeniørvitenskap og økonomi, men også medisin, økologi og andre disipliner. Et viktig konsept å mestre for å finne løsninger på viktige dilemmaer, er den deriverte av en funksjon. Den fysiske betydningen av det er slett ikke så vanskelig å forklare som det kan virke for uinnvidde i sakens essens. Det er nok bare å finne passende eksempler på dette i det virkelige liv og vanlige hverdagssituasjoner. Faktisk takler enhver bilist en lignende oppgave hver dag når han ser på speedometeret, og bestemmer hastigheten til bilen hans på et bestemt øyeblikk på et fast tidspunkt. Tross alt er det i denne parameteren at essensen av den fysiske betydningen av den deriverte ligger.
Hvordan finne hastighet
Bestem hastigheten til en person på veien, kjenn til tilbakelagt avstand og reisetid, kan enhver femteklassing enkelt. For å gjøre dette er den første av de gitte verdiene delt på den andre. Menikke alle unge matematikere vet at han for øyeblikket finner forholdet mellom inkrementer av en funksjon og et argument. Faktisk, hvis vi forestiller oss bevegelsen i form av en graf, som plotter banen langs y-aksen, og tiden langs abscissen, vil det være nøyaktig slik.
Men hastigheten til en fotgjenger eller andre gjenstander som vi bestemmer på en stor del av stien, med tanke på at bevegelsen er jevn, kan endre seg. Det er mange former for bevegelse i fysikk. Det kan utføres ikke bare med en konstant akselerasjon, men bremse og øke på en vilkårlig måte. Det skal bemerkes at i dette tilfellet vil linjen som beskriver bevegelsen ikke lenger være en rett linje. Grafisk kan den ta på seg de mest komplekse konfigurasjonene. Men for alle punktene på grafen kan vi alltid tegne en tangent representert av en lineær funksjon.
For å klargjøre parameteren for forskyvningsendring avhengig av tid, er det nødvendig å forkorte de målte segmentene. Når de blir uendelig små, vil den beregnede hastigheten være momentant. Denne erfaringen hjelper oss med å definere den deriverte. Dens fysiske betydning følger også logisk av slike resonnementer.
Når det gjelder geometri
Det er kjent at jo større hastighet kroppen har, desto brattere er grafen for avhengigheten av forskyvning av tid, og derav helningsvinkelen til tangenten til grafen på et bestemt punkt. En indikator på slike endringer kan være tangenten til vinkelen mellom x-aksen og tangentlinjen. Den bestemmer bare verdien av den deriverte og beregnes av forholdet mellom lengdermotsatt av det tilstøtende benet i en rettvinklet trekant dannet av en vinkelrett som faller fra et punkt til x-aksen.
Dette er den geometriske betydningen av den første deriverte. Den fysiske avsløres i det faktum at verdien av det motsatte benet i vårt tilfelle er den tilbakelagte distansen, og den tilstøtende er tiden. Forholdet deres er hastighet. Og igjen kommer vi til den konklusjon at den øyeblikkelige hastigheten, bestemt når begge gapene har en tendens til å være uendelig små, er essensen av begrepet avledet, og indikerer dets fysiske betydning. Den andre deriverte i dette eksemplet vil være akselerasjonen av kroppen, som igjen viser hastigheten på endringen i hastighet.
Eksempler på å finne derivater i fysikk
Den deriverte er en indikator på endringshastigheten til enhver funksjon, selv når vi ikke snakker om bevegelse i ordets bokstavelige betydning. For å demonstrere dette tydelig, la oss ta noen konkrete eksempler. Anta at strømstyrken, avhengig av tid, endres i henhold til følgende lov: I=0, 4t2. Det er nødvendig å finne verdien av hastigheten som denne parameteren endres med på slutten av det åttende sekundet av prosessen. Merk at selve ønsket verdi, som kan bedømmes ut fra ligningen, øker stadig.
For å løse det, må du finne den første deriverte, hvis fysiske betydning ble vurdert tidligere. Her er dI/dt=0,8t. Deretter finner vi det ved t \u003d 8, vi får at hastigheten som gjeldende styrken endres med er 6,4 A / c. Her vurderes det atstrømmen måles i henholdsvis ampere og tid i sekunder.
Alt endres
Den synlige omverdenen, som består av materie, gjennomgår stadig endringer, og er i bevegelse av ulike prosesser som skjer i den. En rekke parametere kan brukes til å beskrive dem. Hvis de er forent av avhengighet, er de matematisk skrevet som en funksjon som tydelig viser endringene deres. Og der det er bevegelse (uansett hvilken form den uttrykkes), eksisterer det også en avledning, hvis fysiske betydning vi vurderer for øyeblikket.
I denne anledning, følgende eksempel. Anta at kroppstemperaturen endres i henhold til loven T=0, 2 t 2. Du bør finne oppvarmingshastigheten på slutten av det 10. sekundet. Problemet løses på en lignende måte som beskrevet i forrige sak. Det vil si at vi finner den deriverte og erstatter verdien for t \u003d 10 i den, vi får T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Dette betyr at det endelige svaret er 4 grader per sekund, det vil si oppvarmingsprosessen og temperaturendringen, målt i grader, skjer nøyaktig med en slik hastighet.
Løse praktiske problemer
Selvfølgelig, i det virkelige liv er alt mye mer komplisert enn i teoretiske problemer. I praksis bestemmes vanligvis verdien av mengder under forsøket. I dette tilfellet brukes instrumenter som gir avlesninger under målinger med en viss feil. Derfor, i beregninger, må man forholde seg til omtrentlige verdier av parameterne og ty til avrunding av upraktiske tall,samt andre forenklinger. Etter å ha tatt dette i betraktning, vil vi igjen gå videre til problemer med den fysiske betydningen av den deriverte, gitt at de bare er en slags matematisk modell av de mest komplekse prosessene som forekommer i naturen.
Vulkanutbrudd
La oss forestille oss at en vulkan har et utbrudd. Hvor farlig kan han være? For å svare på dette spørsmålet, må mange faktorer vurderes. Vi vil prøve å få plass til en av dem.
Fra munningen til det "ildende monsteret" kastes steiner vertik alt oppover, med en starthastighet fra det øyeblikket de går ut til utsiden på 120 m/s. Det er nødvendig å beregne hva de kan nå maksimal høyde.
For å finne ønsket verdi, skal vi komponere en ligning for avhengigheten av høyden H, målt i meter, av andre verdier. Disse inkluderer starthastighet og tid. Akselerasjonsverdien anses som kjent og omtrent lik 10 m/s2.
Delvis derivat
La oss nå vurdere den fysiske betydningen av den deriverte av en funksjon fra en litt annen vinkel, fordi selve ligningen kan inneholde ikke én, men flere variabler. For eksempel, i det forrige problemet, ble avhengigheten av høyden til steinene som ble kastet ut fra vulkanens ventil, bestemt ikke bare av endringen i tidskarakteristikker, men også av verdien av starthastigheten. Sistnevnte ble ansett som en konstant, fast verdi. Men i andre oppgaver med helt andre forutsetninger kunne alt vært annerledes. Hvis mengdene som kompleksetfunksjon, flere, beregninger utføres i henhold til formlene nedenfor.
Den fysiske betydningen av den hyppige deriverte bør bestemmes som i vanlig tilfelle. Dette er hastigheten funksjonen endres med på et bestemt punkt når parameteren til variabelen øker. Det beregnes på en slik måte at alle andre komponenter tas som konstanter, kun en anses som en variabel. Da skjer alt etter de vanlige reglene.
Uunnværlig rådgiver i mange saker
For å forstå den fysiske betydningen av den deriverte, er det ikke vanskelig å gi eksempler på løsning av intrikate og komplekse problemer, der svaret kan finnes med slik kunnskap. Hvis vi har en funksjon som beskriver drivstofforbruket avhengig av bilens hastighet, kan vi beregne ved hvilke parametere av sistnevnte bensinforbruket vil være minst.
I medisin kan du forutsi hvordan menneskekroppen vil reagere på en medisin foreskrevet av en lege. Å ta stoffet påvirker en rekke fysiologiske parametere. Disse inkluderer endringer i blodtrykk, hjertefrekvens, kroppstemperatur og mer. Alle avhenger av dosen av stoffet som tas. Disse beregningene bidrar til å forutsi behandlingsforløpet, både i gunstige manifestasjoner og ved uønskede ulykker som kan ha dødelig innvirkning på endringer i pasientens kropp.
Utvilsomt er det viktig å forstå den fysiske betydningen av derivatet i tekniskproblemer, spesielt innen elektroteknikk, elektronikk, design og konstruksjon.
Bremselengde
La oss vurdere neste problem. Ved å bevege seg i konstant hastighet, måtte bilen, som nærmet seg broen, bremse 10 sekunder før inngangen, da sjåføren la merke til et veiskilt som forbød bevegelse i en hastighet på over 36 km/t. Brudde sjåføren reglene hvis bremselengden kan beskrives med formelen S=26t - t2?
Når vi beregner den første deriverte, finner vi formelen for hastigheten, vi får v=28 – 2t. Deretter erstatter du verdien t=10 i det angitte uttrykket.
Siden denne verdien ble uttrykt i sekunder, er hastigheten 8 m/s, som betyr 28,8 km/t. Dette gjør det mulig å forstå at sjåføren begynte å bremse i tide og ikke brøt trafikkreglene, og derav grensen angitt på fartsskiltet.
Dette beviser viktigheten av den fysiske betydningen av derivatet. Et eksempel på å løse dette problemet demonstrerer bredden i bruken av dette konseptet i ulike livssfærer. Inkludert i hverdagssituasjoner.
Derivat i økonomi
Fram til 1800-tallet opererte økonomer stort sett på gjennomsnitt, enten det var arbeidsproduktivitet eller prisen på produksjon. Men fra et tidspunkt av ble grenseverdier mer nødvendige for å lage effektive prognoser på dette området. Disse inkluderer marginal nytte, inntekt eller kostnad. Å forstå dette ga drivkraft til etableringen av et helt nytt verktøy innen økonomisk forskning,som har eksistert og utviklet seg i mer enn hundre år.
For å gjøre slike beregninger, der slike begreper som minimum og maksimum dominerer, er det ganske enkelt nødvendig å forstå den geometriske og fysiske betydningen av den deriverte. Blant skaperne av det teoretiske grunnlaget for disse disiplinene kan man nevne så fremtredende engelske og østerrikske økonomer som US Jevons, K. Menger og andre. Selvfølgelig er grenseverdier i økonomiske beregninger ikke alltid praktiske å bruke. Og for eksempel passer ikke kvartalsrapporter nødvendigvis inn i den eksisterende ordningen, men likevel er anvendelsen av en slik teori i mange tilfeller nyttig og effektiv.
