Goldbachs problem er et av de eldste og mest hypede problemene i all matematikkhistorie.
Denne formodningen har vist seg å være sann for alle heltall mindre enn 4 × 1018, men forblir uprøvd til tross for betydelig innsats fra matematikere.
Number
Goldbach-tallet er et positivt partall som er summen av et oddetallspar. En annen form for Goldbach-formodningen er at alle jevne heltall større enn fire er Goldbach-tall.
Separasjon av slike tall kalles Goldbachs partisjon (eller partisjon). Nedenfor er eksempler på lignende seksjoner for noen partall:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
Oppdagelse av hypotesen
Goldbach hadde en kollega som het Euler, som likte å telle, skrive komplekse formler og fremme uløselige teorier. I dette lignet de på Goldbach. Euler laget en lignende matematisk gåte selv før Goldbach, som hankonstant korrespondanse. Han foreslo deretter et annet forslag i margen av manuskriptet hans, ifølge hvilket et heltall større enn 2 kunne skrives som summen av tre primtall. Han anså 1 for å være et primtall.
De to hypotesene er nå kjent for å være like, men dette så ikke ut til å være et problem på den tiden. Den moderne versjonen av Goldbachs problem sier at hvert heltall større enn 5 kan skrives som summen av tre primtall. Euler svarte i et brev datert 30. juni 1742, og minnet Goldbach om en tidligere samtale de hadde ("… så vi snakker om den opprinnelige (og ikke marginale) hypotesen som oppstår fra følgende utsagn").
Euler-Goldbach-problem
2 og partallene kan skrives som summen av to primtall, som også er Goldbachs formodning. I et brev datert 30. juni 1742 utt alte Euler at hvert partall er resultatet av tillegg av to primtall, som han anser for å være et veldefinert teorem, selv om han ikke kan bevise det.
Tredje versjon
Den tredje versjonen av Goldbachs problem (tilsvarer de to andre versjonene) er formen som formodningen vanligvis gis i i dag. Den er også kjent som den "sterke", "jevn" eller "binære" Goldbach-formodningen for å skille den fra den svakere hypotesen kjent i dag som den "svake", "oddelige" eller "ternære" Goldbach-formodningen. Den svake formodningen sier at alle oddetall større enn 7 er summen av tre oddetall. Den svake formodningen ble bevist i 2013. Den svake hypotesen eren konsekvens av en sterk hypotese. Den omvendte konsekvensen og den sterke Goldbach-formodningen forblir ubevist frem til i dag.
Check
For små verdier av n kan Goldbach-problemet (og dermed Goldbach-formodningen) verifiseres. For eksempel testet Nils Pipping i 1938 hypotesen nøye opp til n ≦ 105. Med ankomsten av de første datamaskinene ble mange flere verdier av n beregnet.
Oliveira Silva utførte et distribuert datasøk som bekreftet hypotesen for n ≦ 4 × 1018 (og dobbeltsjekket opp til 4 × 1017) fra og med 2013. En oppføring fra dette søket er at 3.325.581.707.333.960.528 er det minste tallet som ikke har en Goldbach-deling med et primtall under 9781.
Heuristics
Versjonen for den sterke formen av Goldbachs formodning er som følger: siden mengden har en tendens til uendelig når n øker, forventer vi at hvert stort jevnt heltall har mer enn én representasjon som summen av to primtall. Men faktisk er det mange slike representasjoner. Hvem løste Goldbach-problemet? Akk, fortsatt ingen.
Dette heuristiske argumentet er faktisk noe upresist, da det antar at m er statistisk uavhengig av n. For eksempel, hvis m er oddetall, så er n - m også oddetall, og hvis m er partall, så er n - m partall, og dette er en ikke-triviell (kompleks) relasjon, fordi bortsett fra tallet 2, bare oddetall tall kan være primtall. Tilsvarende, hvis n er delelig med 3 og m allerede var et annet primtall enn 3, så er n - m også gjensidigprimtall med 3, så mer sannsynlig er det et primtall i motsetning til et tot altall. Ved å utføre denne typen analyser mer nøye, gjorde Hardy og Littlewood i 1923, som en del av deres berømte Hardy-Littlewood enkle tuppelformodning, den ovennevnte foredlingen av hele teorien. Men det har ikke hjulpet til å løse problemet så langt.
Sterk hypotese
Den sterke Goldbach-formodningen er mye mer komplisert enn den svake Goldbach-formodningen. Shnirelman beviste senere at ethvert naturlig tall større enn 1 kan skrives som summen av høyst C-primtall, der C er en effektivt beregnelig konstant. Mange matematikere prøvde å løse det, telle og multiplisere tall, tilby komplekse formler, etc. Men de lyktes aldri, fordi hypotesen er for komplisert. Ingen formler hjalp.
Men det er verdt å gå litt bort fra spørsmålet om å bevise Goldbachs problem. Shnirelman-konstanten er det minste C-tallet med denne egenskapen. Shnirelman selv fikk C <800 000. Dette resultatet ble senere supplert av mange forfattere, som Olivier Ramaret, som viste i 1995 at hvert partall n ≧ 4 faktisk er summen av maksim alt seks primtall. Det mest kjente resultatet assosiert med Goldbach-teorien av Harald Helfgott.
Videreutvikling
I 1924 overtok Hardy og Littlewood G. R. H. viste at antallet partall opp til X, som bryter med det binære Goldbach-problemet, er mye mindre enn for små c.
I 1973 Chen JingyunJeg prøvde å løse dette problemet, men det fungerte ikke. Han var også matematiker, så han var veldig glad i å løse gåter og bevise teoremer.
I 1975 viste to amerikanske matematikere at det er positive konstanter c og C - de som N er tilstrekkelig stor for. Spesielt har settet med like heltall null tetthet. Alt dette var nyttig for arbeidet med løsningen av det ternære Goldbach-problemet, som vil finne sted i fremtiden.
I 1951 beviste Linnik eksistensen av en konstant K slik at hvert tilstrekkelig stort partall er resultatet av å legge til ett primtall og et annet primtall til hverandre. Roger Heath-Brown og Jan-Christoph Schlage-Puchta fant i 2002 at K=13 fungerer. Dette er veldig interessant for alle som liker å legge til hverandre, legge sammen forskjellige tall og se hva som skjer.
Løsning av Goldbach-problemet
Som med mange kjente formodninger i matematikk, finnes det en rekke påståtte bevis på Goldbach-formodningen, og ingen av disse er akseptert av det matematiske samfunnet.
Selv om Goldbachs formodning tilsier at hvert positivt heltall større enn ett kan skrives som summen av maksim alt tre primtall, er det ikke alltid mulig å finne en slik sum ved å bruke en grådig algoritme som bruker størst mulig primtall på hvert trinn. Pillai-sekvensen holder styr på tallene som krever flest primtall i deres grådige representasjoner. Derfor er løsningen på Goldbach-problemetfortsatt i spørsmålet. Likevel vil det før eller siden mest sannsynlig bli løst.
Det finnes teorier som ligner på Goldbachs problem, der primtall erstattes av andre spesifikke tallsett, for eksempel kvadrater.
Christian Goldbach
Christian Goldbach var en tysk matematiker som også studerte juss. Han huskes i dag for Goldbach-formodningen.
Han jobbet som matematiker hele livet - han var veldig glad i å legge til tall, finne opp nye formler. Han kunne også flere språk, på hvert av dem førte han sin personlige dagbok. Disse språkene var tysk, fransk, italiensk og russisk. I følge noen kilder snakket han også engelsk og latin. Han var kjent som en ganske kjent matematiker i løpet av livet. Goldbach var også ganske nært knyttet til Russland, fordi han hadde mange russiske kolleger og kongefamiliens personlige gunst.
Han fortsatte å jobbe ved det nyåpnede St. Petersburgs vitenskapsakademi i 1725 som professor i matematikk og historiker ved akademiet. I 1728, da Peter II ble tsar av Russland, ble Goldbach hans mentor. I 1742 gikk han inn i det russiske utenriksdepartementet. Det vil si at han faktisk jobbet i landet vårt. På den tiden kom mange forskere, forfattere, filosofer og militærfolk til Russland, fordi Russland på den tiden var et land med muligheter som Amerika. Mange har gjort karriere her. Og helten vår er intet unntak.
Christian Goldbach var flerspråklig - han skrev dagbok på tysk og latin, brevene sineble skrevet på tysk, latin, fransk og italiensk, og for offisielle dokumenter brukte han russisk, tysk og latin.
Han døde 20. november 1764 i en alder av 74 år i Moskva. Dagen da Goldbachs problem er løst vil være en passende hyllest til hans minne.
Konklusjon
Goldbach var en stor matematiker som ga oss et av de største mysteriene i denne vitenskapen. Det er ikke kjent om det noen gang vil bli løst eller ikke. Vi vet bare at dens antatte oppløsning, som i tilfellet med Fermats teorem, vil åpne for nye perspektiver for matematikk. Matematikere er veldig glad i å løse og analysere det. Det er veldig interessant og nysgjerrig fra et heuristisk synspunkt. Selv matematikkstudenter liker å løse Goldbach-problemet. Hvordan ellers? Tross alt er unge mennesker stadig tiltrukket av alt som er lyst, ambisiøst og uløst, fordi ved å overvinne vanskeligheter kan man hevde seg. La oss håpe at dette problemet snart vil bli løst av unge, ambisiøse, nysgjerrige hjerner.
