Å dømme etter populariteten til forespørselen "Fermats teorem - et kort bevis", er dette matematiske problemet virkelig interessant for mange. Denne teoremet ble først utt alt av Pierre de Fermat i 1637 på kanten av en kopi av Arithmetic, hvor han hevdet at han hadde en løsning som var for stor til å passe på kanten.
Det første vellykkede beviset ble publisert i 1995 - det var det komplette beviset på Fermats teorem av Andrew Wiles. Det har blitt beskrevet som "simlende fremgang" og førte til at Wiles mottok Abelprisen i 2016. Selv om det er beskrevet relativt kort, beviste beviset for Fermats teorem også mye av modularitetsteoremet og åpnet for nye tilnærminger til en rekke andre problemer og effektive metoder for å løfte modularitet. Disse prestasjonene har avansert matematikk 100 år inn i fremtiden. Beviset for Fermats lille teorem i dag er det ikkeer noe utenom det vanlige.
Det uløste problemet stimulerte utviklingen av algebraisk tallteori på 1800-tallet og søket etter et bevis på modularitetsteoremet på 1900-tallet. Dette er en av de mest bemerkelsesverdige teoremene i matematikkens historie, og inntil det fulle delingsbeviset for Fermats siste teorem, var det i Guinness rekordbok som "det vanskeligste matematiske problemet", et av funksjonene til dette er at den har det største antallet mislykkede bevis.
Historisk bakgrunn
Pythagoreisk ligning x2 + y2=z2 har et uendelig antall positive heltallsløsninger for x, y og z. Disse løsningene er kjent som pytagoreiske treenigheter. Rundt 1637 skrev Fermat på kanten av boken at den mer generelle ligningen a + b =char ingen løsninger i naturlige tall hvis n er et heltall større enn 2. Selv om Fermat selv hevdet å ha en løsning på problemet sitt, etterlot han ingen detaljer om beviset. Det elementære beviset på Fermats teorem, hevdet av dens skaper, var snarere hans skrytende oppfinnelse. Boken til den store franske matematikeren ble oppdaget 30 år etter hans død. Denne ligningen, k alt Fermats siste teorem, forble uløst i matematikk i tre og et halvt århundre.
Setningen ble etter hvert et av de mest bemerkelsesverdige uløste problemene i matematikk. Forsøk på å bevise dette førte til en betydelig utvikling av tallteori, og med passasjengang ble Fermats siste teorem kjent som et uløst problem i matematikk.
A Brief History of Evidence
Hvis n=4, som bevist av Fermat selv, er det tilstrekkelig å bevise teoremet for indekser n som er primtall. I løpet av de neste to århundrene (1637-1839) ble formodningen bare bevist for primtallene 3, 5 og 7, selv om Sophie Germain oppdaterte og beviste en tilnærming som gjaldt hele klassen av primtall. På midten av 1800-tallet utvidet Ernst Kummer dette og beviste teoremet for alle regulære primtall, hvorved uregelmessige primtall ble analysert individuelt. Basert på Kummers arbeid og ved hjelp av sofistikert dataforskning, var andre matematikere i stand til å utvide løsningen av teoremet, med målet om å dekke alle hovedeksponentene opp til fire millioner, men beviset for alle eksponentene var fortsatt ikke tilgjengelig (som betyr at matematikere vanligvis ansett som løsningen av teoremet som umulig, ekstremt vanskelig eller uoppnåelig med dagens kunnskap).
Shimura og Taniyamas arbeid
I 1955 mistenkte de japanske matematikerne Goro Shimura og Yutaka Taniyama at det var en sammenheng mellom elliptiske kurver og modulære former, to vidt forskjellige grener av matematikken. Kjent på den tiden som Taniyama-Shimura-Weyl-formodningen og (til syvende og sist) som modularitetsteoremet, eksisterte den på egen hånd, uten noen åpenbar forbindelse til Fermats siste teorem. Det i seg selv ble ansett som et viktig matematisk teorem, men det ble ansett (som Fermats teorem) umulig å bevise. På detSamtidig ble beviset på Fermats siste teorem (ved å dele og bruke komplekse matematiske formler) utført bare et halvt århundre senere.
I 1984 la Gerhard Frey merke til en åpenbar sammenheng mellom disse to tidligere ikke-relaterte og uløste problemene. En fullstendig bekreftelse på at de to teoremene var nært beslektet ble publisert i 1986 av Ken Ribet, som baserte på et delvis bevis av Jean-Pierre Serra, som beviste alle unntatt én del, kjent som "epsilon-hypotesen". Enkelt sagt, disse verkene av Frey, Serra og Ribe viste at hvis modularitetsteoremet kunne bevises, i det minste for en semistabel klasse elliptiske kurver, så ville beviset for Fermats siste teorem før eller siden også bli oppdaget. Enhver løsning som kan motsi Fermats siste teorem kan også brukes til å motsi modularitetsteoremet. Derfor, hvis modularitetsteoremet skulle vise seg å være sant, så kan det per definisjon ikke finnes en løsning som motsier Fermats siste teorem, som betyr at den burde vært bevist snart.
Selv om begge teoremene var vanskelige problemer i matematikk, ansett som uløselige, var arbeidet til de to japanerne det første forslaget til hvordan Fermats siste teorem kunne utvides og bevises for alle tall, ikke bare noen. Viktig for forskerne som valgte studietemaet var det faktum at, i motsetning til Fermats siste teorem, var modularitetsteoremet det viktigste aktive forskningsområdet, for hvilketbevis ble utviklet, og ikke bare historisk merkelighet, så tiden brukt på arbeidet hennes kunne rettferdiggjøres fra et profesjonelt synspunkt. Den generelle konsensus var imidlertid at å løse Taniyama-Shimura-formodningen viste seg å være upassende.
Farm's Last Theorem: Wiles' bevis
Etter å ha lært at Ribet hadde bevist at Freys teori var riktig, bestemte den engelske matematikeren Andrew Wiles, som har vært interessert i Fermats siste teorem siden barndommen og har erfaring med å jobbe med elliptiske kurver og tilstøtende domener, å prøve å bevise Taniyama-Shimura Formodninger som en måte å bevise Fermats siste teorem. I 1993, seks år etter at han kunngjorde målet sitt, mens han i hemmelighet jobbet med problemet med å løse teoremet, klarte Wiles å bevise en beslektet formodning, som igjen ville hjelpe ham med å bevise Fermats siste teorem. Wiles sitt dokument var enormt i størrelse og omfang.
En feil ble oppdaget i en del av den originale artikkelen hans under fagfellevurdering og krevde et nytt års samarbeid med Richard Taylor for å løse teoremet i fellesskap. Som et resultat lot ikke Wiles' endelige bevis på Fermats siste teorem vente på seg. I 1995 ble den publisert i mye mindre skala enn Wiles sitt tidligere matematiske arbeid, noe som illustrerer at han ikke tok feil i sine tidligere konklusjoner om muligheten for å bevise teoremet. Wiles 'prestasjon ble mye publisert i populærpressen og popularisert i bøker og TV-programmer. De resterende delene av Taniyama-Shimura-Weil-formodningen, som nå er bevist ogkjent som modularitetsteoremet, ble senere bevist av andre matematikere som bygde på Wiles' arbeid mellom 1996 og 2001. For sin prestasjon har Wiles blitt hedret og mottatt en rekke priser, inkludert Abelprisen 2016.
Wiles' bevis på Fermats siste teorem er et spesi altilfelle av å løse modularitetsteoremet for elliptiske kurver. Dette er imidlertid det mest kjente tilfellet av en så storstilt matematisk operasjon. Sammen med å løse Ribes teorem fikk den britiske matematikeren også et bevis på Fermats siste teorem. Fermats siste teorem og modularitetsteorem ble nesten universelt ansett som ubeviselige av moderne matematikere, men Andrew Wiles var i stand til å bevise for den vitenskapelige verden at selv forståsegpåere kan ta feil.
Wyles kunngjorde først oppdagelsen sin onsdag 23. juni 1993 på en Cambridge-forelesning med tittelen "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". I september 1993 ble det imidlertid funnet at beregningene hans inneholdt en feil. Et år senere, den 19. september 1994, i det han ville kalle «det viktigste øyeblikket i sitt arbeidsliv», snublet Wiles over en åpenbaring som tillot ham å fikse løsningen på problemet til et punkt hvor den kunne tilfredsstille den matematiske fellesskap.
Arbeidsbeskrivelse
Proof of Fermat's Theorem av Andrew Wiles bruker mange metoder fra algebraisk geometri og tallteori og har mange forgreninger i disseområder av matematikk. Han bruker også standardkonstruksjonene for moderne algebraisk geometri, slik som kategorien skjemaer og Iwasawa-teorien, samt andre metoder fra 1900-tallet som ikke var tilgjengelige for Pierre de Fermat.
De to artiklene som inneholder bevisene er på 129 sider og ble skrevet i løpet av syv år. John Coates beskrev denne oppdagelsen som en av tallteoriens største prestasjoner, og John Conway k alte den den største matematiske prestasjonen på 1900-tallet. Wiles, for å bevise Fermats siste teorem ved å bevise modularitetsteoremet for det spesielle tilfellet med semistable elliptiske kurver, utviklet kraftige metoder for å løfte modularitet og åpnet for nye tilnærminger til en rekke andre problemer. For å løse Fermats siste teorem ble han slått til ridder og mottok andre priser. Da det ble kjent at Wiles hadde vunnet Abelprisen, beskrev Det Norske Videnskaps-Akademi sin prestasjon som «et herlig og elementært bevis på Fermats siste teorem».
Slik var det
En av personene som gjennomgikk Wiles sitt originale manuskript med løsningen på teoremet var Nick Katz. I løpet av sin anmeldelse stilte han briten en rekke oppklarende spørsmål som førte til at Wiles innrømmet at arbeidet hans tydelig inneholder et gap. I en kritisk del av beviset ble det gjort en feil som ga et estimat for rekkefølgen til en bestemt gruppe: Euler-systemet som ble brukt til å utvide Kolyvagin og Flach-metoden var ufullstendig. Feilen gjorde imidlertid ikke arbeidet hans ubrukelig - hvert stykke av Wiles arbeid var svært betydningsfullt og nyskapende i seg selv, og det samme var mangeutviklinger og metoder som han skapte i løpet av arbeidet sitt og som bare påvirket én del av manuskriptet. Dette originalverket, utgitt i 1993, hadde imidlertid ikke noe bevis på Fermats siste teorem.
Wyles brukte nesten et år på å prøve å gjenoppdage en løsning på teoremet, først alene og deretter i samarbeid med sin tidligere student Richard Taylor, men alt så ut til å være forgjeves. Ved slutten av 1993 hadde rykter sirkulert om at Wiles bevis hadde mislyktes i testingen, men hvor alvorlig denne feilen var var ikke kjent. Matematikere begynte å legge press på Wiles for å avsløre detaljene i arbeidet hans, enten det ble gjort eller ikke, slik at det bredere samfunnet av matematikere kunne utforske og bruke det han var i stand til å oppnå. I stedet for raskt å rette feilen sin, oppdaget Wiles bare flere vanskelige aspekter i beviset på Fermats siste teorem, og innså til slutt hvor vanskelig det var.
Wyles opplyser at han om morgenen 19. september 1994 var på nippet til å gi opp og gi opp, og var nesten oppgitt over å mislykkes. Han var klar til å publisere sitt uferdige verk slik at andre kunne bygge videre på det og finne ut hvor han tok feil. Den engelske matematikeren bestemte seg for å gi seg selv en siste sjanse og analyserte teoremet for siste gang for å prøve å forstå hovedårsakene til at tilnærmingen hans ikke fungerte, da han plutselig innså at Kolyvagin-Flac-tilnærmingen ikke ville fungere før hanvil også inkludere Iwasawas teori i bevisprosessen, slik at den fungerer.
Den 6. oktober ba Wiles tre kolleger (inkludert F altins) om å anmelde det nye arbeidet hans, og 24. oktober 1994 sendte han inn to manuskripter - "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem" og "Theoretical properties of the ring of some Hecke algebras", den andre som Wiles skrev sammen med Taylor og beviste at visse betingelser var oppfylt for å rettferdiggjøre det korrigerte trinnet i hovedartikkelen.
Disse to papirene ble gjennomgått og til slutt utgitt som en fulltekstutgave i May 1995 Annals of Mathematics. Andrews nye beregninger ble mye analysert og til slutt akseptert av det vitenskapelige samfunnet. I disse papirene ble modularitetsteoremet for semistable elliptiske kurver etablert - det siste steget mot å bevise Fermats siste teorem, 358 år etter at det ble opprettet.
Historien om det store problemet
Å løse denne teoremet har blitt ansett som det største problemet i matematikk i mange århundrer. I 1816 og i 1850 tilbød det franske vitenskapsakademiet en pris for et generelt bevis på Fermats siste teorem. I 1857 tildelte akademiet 3000 franc og en gullmedalje til Kummer for hans forskning på ideelle tall, selv om han ikke søkte om prisen. En annen pris ble tilbudt ham i 1883 av Brussels Academy.
Wolfskell Prize
I 1908 testamenterte den tyske industrimannen og amatørmatematikeren Paul Wolfskel 100 000 gullmark (et stort beløp for den tiden)Vitenskapsakademiet i Göttingen, slik at disse pengene blir en pris for det fullstendige beviset på Fermats siste teorem. Den 27. juni 1908 publiserte Akademiet ni prisregler. Disse reglene krevde blant annet at beviset ble publisert i et fagfellevurdert tidsskrift. Prisen skulle deles ut kun to år etter publisering. Konkurransen skulle utløpe 13. september 2007 – omtrent et århundre etter at den startet. 27. juni 1997 mottok Wiles Wolfschels premiepenger og deretter ytterligere 50 000 dollar. I mars 2016 mottok han €600 000 fra den norske regjeringen som en del av Abelprisen for «et fantastisk bevis på Fermats siste teorem ved hjelp av modularitetsformodningen for semistable elliptiske kurver, som åpner en ny æra innen tallteori». Det var den ydmyke engelskmannens verdenstriumf.
Før Wiles' bevis ble Fermats teorem, som nevnt tidligere, ansett som absolutt uløselig i århundrer. Tusenvis av uriktige bevis på forskjellige tidspunkter ble presentert for Wolfskell-komiteen, som tilsvarer omtrent 10 fot (3 meter) med korrespondanse. Bare i det første året av prisens eksistens (1907-1908) ble det sendt inn 621 søknader som hevdet å løse teoremet, selv om antallet på 1970-tallet hadde sunket til omtrent 3-4 søknader per måned. I følge F. Schlichting, Wolfschels anmelder, var det meste av bevisene basert på elementære metoder som ble undervist på skolene og ble ofte presentert som «mennesker med teknisk bakgrunn, men mislykkede karrierer». I følge matematikkhistorikeren Howard Aves, den sisteFermats teorem har satt en slags rekord – dette er teoremet med flest feilbevis.
Farmens laurbær gikk til japanerne
Som nevnt tidligere, rundt 1955, oppdaget de japanske matematikerne Goro Shimura og Yutaka Taniyama en mulig sammenheng mellom to tilsynelatende helt forskjellige grener av matematikken - elliptiske kurver og modulære former. Det resulterende modularitetsteoremet (den gang kjent som Taniyama-Shimura-formodningen) sier at hver elliptisk kurve er modulær, noe som betyr at den kan assosieres med en unik modulær form.
Teorien ble opprinnelig avvist som usannsynlig eller svært spekulativ, men ble tatt mer alvorlig da tallteoretikeren André Weil fant bevis for å støtte de japanske konklusjonene. Som et resultat har hypotesen ofte blitt referert til som Taniyama-Shimura-Weil-hypotesen. Hun ble en del av Langlands-programmet, som er en liste over viktige hypoteser som må bevises i fremtiden.
Selv etter seriøs gransking har moderne matematikere anerkjent formodningen som ekstremt vanskelig, eller kanskje utilgjengelig for bevis. Nå venter denne spesielle teoremet på Andrew Wiles, som kan overraske hele verden med sin løsning.
Fermats teorem: Perelmans bevis
Til tross for den populære myten, har den russiske matematikeren Grigory Perelman, til tross for all hans genialitet, ingenting med Fermats teorem å gjøre. Noe som imidlertid på ingen måte forringer det.mange bidrag til det vitenskapelige samfunnet.
