Kvantitativ studie av dynamikken og kinematikken til rotasjonsbevegelse krever kunnskap om treghetsmomentet til et materialpunkt og et stivt legeme i forhold til rotasjonsaksen. Vi vil vurdere i artikkelen hvilken parameter vi snakker om, og også gi en formel for å bestemme den.
Generell informasjon om det fysiske antallet
Først, la oss definere treghetsmomentet for et materialpunkt og et stivt legeme, og deretter vise hvordan det skal brukes til å løse praktiske problemer.
Under den angitte fysiske karakteristikken for et punkt med masse m, som roterer rundt aksen i en avstand r, menes følgende verdi:
I=mr².
Hvor det følger at måleenheten for den studerte parameteren er kilogram per kvadratmeter (kgm²).
Hvis, i stedet for et punkt rundt en akse, et legeme med kompleks form roterer, som har en vilkårlig fordeling av masse i seg selv, bestemmes treghetsmomentet.så:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Hvor ρ er tettheten til kroppen. Ved å bruke integralformelen kan du bestemme verdien av I for absolutt ethvert rotasjonssystem.
Treghetsmoment har nøyaktig samme betydning for rotasjon som masse har for translasjonsbevegelse. For eksempel vet alle at det er lettest å rotere en gulvmopp rundt en akse som går gjennom håndtaket enn gjennom en vinkelrett. Dette skyldes det faktum at treghetsmomentet i det første tilfellet er mye mindre enn i det andre.
Jeg verdsetter kropper med forskjellige former
Når man løser problemer i fysikk for rotasjon, er det ofte nødvendig å vite treghetsmomentet for et legeme med en spesifikk geometrisk form, for eksempel for en sylinder, kule eller stang. Hvis vi bruker formelen skrevet ovenfor for I, er det lett å få det tilsvarende uttrykket for alle merkede legemer. Nedenfor er formlene for noen av dem:
stang: I=1 / 12ML²;
sylinder: I=1 / 2MR²;
sfære: I=2 / 5MR².
Her er jeg gitt for rotasjonsaksen, som går gjennom kroppens massesenter. Når det gjelder en sylinder, er aksen parallell med generatoren på figuren. Treghetsmomentet for andre geometriske legemer og alternativer for plassering av rotasjonsaksene finner du i de tilsvarende tabellene. Merk at for å bestemme forskjellige figurer, er det nok å bare kjenne én geometrisk parameter og massen til kroppen.
Steiners teorem og formel
Treghetsmoment kan bestemmes hvis rotasjonsaksen er plassert i en viss avstand fra kroppen. For å gjøre dette, bør du vite lengden på dette segmentet og verdien IO av kroppen i forhold til aksen som går gjennom midten av massen, som skal være parallell med den under betraktning. Etablering av en sammenheng mellom parameteren IO og den ukjente verdien I er fast i Steiners teorem. Treghetsmomentet til et materiell punkt og et stivt legeme skrives matematisk som følger:
I=IO+ Mh2.
Her er M kroppens masse, h er avstanden fra massesenteret til rotasjonsaksen, i forhold til hvilken det er nødvendig å beregne I. Dette uttrykket er enkelt å få til på egenhånd hvis du bruk integralformelen for I og ta hensyn til at alle punkter i kroppen er i avstand r=r0 + h.
Steiners teorem forenkler definisjonen av jeg i mange praktiske situasjoner. For eksempel, hvis du trenger å finne I for en stav med lengde L og masse M med hensyn til en akse som går gjennom enden, kan du bruke Steiner-setningen til å skrive:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Du kan referere til den tilsvarende tabellen og se at den inneholder nøyaktig denne formelen for en tynn stang med en rotasjonsakse i enden.
Øyeblikksligning
I rotasjonsfysikken er det en formel som kalles momentlikningen. Det ser slik ut:
M=Iα.
Her er M kraftmomentet, α er vinkelakselerasjonen. Som du kan se, er treghetsmomentet til et materialpunkt og et stivt legeme og kraftmomentet lineært relatert til hverandre. Verdien M bestemmer muligheten for en kraft F for å skape en rotasjonsbevegelse med akselerasjon α i systemet. For å beregne M, bruk følgende enkle uttrykk:
M=Fd.
Hvor d er momentets skulder, som er lik avstanden fra kraftvektoren F til rotasjonsaksen. Jo mindre arm d, jo mindre evne vil kraften ha til å skape rotasjon av systemet.
Momentlikningen i sin betydning er helt i samsvar med Newtons andre lov. I dette tilfellet spiller jeg rollen som treghetsmassen.
Eksempel på problemløsning
La oss forestille oss et system som er en sylinder festet på en vertikal akse med en vektløs horisontal stang. Det er kjent at rotasjonsaksen og sylinderens hovedakse er parallelle med hverandre, og avstanden mellom dem er 30 cm. Sylinderens masse er 1 kg, og dens radius er 5 cm. En kraft på 10 N tangent til rotasjonsbanen virker på figuren, hvis vektor passerer gjennom sylinderens hovedakse. Det er nødvendig å bestemme vinkelakselerasjonen til figuren, som denne kraften vil forårsake.
Først, la oss beregne treghetsmomentet til I-sylinderen. For å gjøre dette, bruk Steiner-teoremet, vi har:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Før du bruker øyeblikksligningen, må dubestemme kraftmomentet M. I dette tilfellet har vi:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Nå kan du bestemme akselerasjonen:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Den beregnede vinkelakselerasjonen indikerer at sylinderens hastighet hvert sekund vil øke med 5,2 omdreininger per sekund.
