Å vite avstanden fra et punkt til et plan eller til en rett linje lar deg beregne volumet og overflatearealet til figurer i rommet. Beregningen av denne avstanden i geometri utføres ved å bruke de tilsvarende ligningene for de spesifiserte geometriske objektene. I artikkelen vil vi vise hvilke formler som kan brukes for å bestemme det.
Linje- og planligninger
Før du gir formler for å bestemme avstanden fra et punkt til et plan og til en linje, la oss vise hvilke ligninger som beskriver disse objektene.
For å definere et punkt, brukes et sett med koordinater i det gitte systemet med koordinatakser. Her vil vi kun vurdere det kartesiske rektangulære systemet der aksene har samme enhetsvektorer og er innbyrdes perpendikulære. På et fly er et vilkårlig punkt beskrevet med to koordinater, i rommet - med tre.
Ulike typer ligninger brukes til å definere en rett linje. I samsvar med emnet for artikkelen presenterer vibare to av dem, som brukes i todimensjon alt rom for å definere linjer.
Vektorligning. Den har følgende notasjon:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Det første leddet her representerer koordinatene til et kjent punkt som ligger på linjen. Det andre leddet er retningsvektorkoordinatene multiplisert med et vilkårlig tall λ.
Generell ligning. Notasjonen er som følger:
Ax + By + C=0;
der A, B, C er noen koeffisienter.
Den generelle ligningen brukes oftere for å bestemme linjer på et plan, men for å finne avstanden fra et punkt til en linje på et plan, er det mer praktisk å jobbe med et vektoruttrykk.
Et plan i tredimensjon alt rom kan også skrives på flere matematiske måter. Likevel er det oftest i oppgaver en generell ligning, som er skrevet som følger:
Ax + By + Cz + D=0.
Fordelen med denne notasjonen i forhold til de andre er at den eksplisitt inneholder koordinatene til en vektor vinkelrett på planet. Denne vektoren kalles en guide for den, den faller sammen med retningen til normalen, og dens koordinater er lik (A; B; C).
Merk at uttrykket ovenfor sammenfaller med formen for å skrive en generell ligning for en rett linje i todimensjon alt rom, så når du løser problemer, bør du være forsiktig så du ikke forveksler disse geometriske objektene.
Avstand mellom punkt og linje
La oss vise hvordan man beregner avstanden mellom en rett linje ogpunkt i todimensjon alt rom.
La det være et punkt Q(x1; y1) og en linje gitt av:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Avstanden mellom en linje og et punkt forstås som lengden av et segment vinkelrett på denne linjen, senket ned på den fra punktet Q.
Før du beregner denne avstanden, bør du erstatte Q-koordinatene i denne ligningen. Hvis de tilfredsstiller det, hører Q til den gitte linjen, og den tilsvarende avstanden er lik null. Hvis koordinatene til punktet ikke fører til likhet, er avstanden mellom geometriske objekter ikke null. Den kan beregnes ved hjelp av formelen:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Her er P et vilkårlig punkt på den rette linjen, som er begynnelsen av vektoren PQ¯. Vektoren u¯ er et ledesegment for en rett linje, det vil si at dens koordinater er (a; b).
Å bruke denne formelen krever evnen til å beregne kryssproduktet i telleren.
Problem med et punkt og en linje
La oss si at du må finne avstanden mellom Q(-3; 1) og en rett linje som tilfredsstiller ligningen:
y=5x -2.
Ved å erstatte koordinatene til Q i uttrykket, kan vi sørge for at Q ikke ligger på linjen. Du kan bruke formelen for d gitt i avsnittet ovenfor hvis du representerer denne ligningen i vektorform. La oss gjøre det slik:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
La oss nå ta et hvilket som helst punkt på denne linjen, for eksempel (0; -2), og bygge en vektor som starter på den og slutter på Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Bruk nå formelen for å bestemme avstanden, vi får:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Avstand fra punkt til fly
Som i tilfellet med en rett linje, forstås avstanden mellom et plan og et punkt i rommet som lengden av segmentet, som fra et gitt punkt senkes vinkelrett på planet og skjærer det.
I verdensrommet er et punkt gitt av tre koordinater. Hvis de er lik (x1; y1; z1), vil avstanden mellom planet og det punktet kan beregnes ved å bruke formelen:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Merk at bruk av formelen lar deg bare finne avstanden fra flyet til linjen. For å finne koordinatene til punktet der et vinkelrett segment skjærer et plan, er det nødvendig å skrive en ligning for linjen som dette segmentet tilhører, og deretter finne et felles punkt for denne linjen og et gitt plan.
Problem med et fly og et punkt
Finn avstanden fra et punkt til et plan hvis det er kjent at punktet har koordinater (3; -1; 2) og planet er gitt av:
-y + 3z=0.
For å bruke den tilsvarende formelen, skriver vi først ut koeffisientene forgitt fly. Siden variabelen x og frileddet er fraværende, er koeffisientene A og D lik null. Vi har:
A=0; B=-1; C=3; D=0, Det er lett å vise at dette planet går gjennom origo og x-aksen tilhører det.
Sett inn koordinatene til punktet og koeffisientene til planet i formelen for avstanden d, vi får:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Merk at hvis du endrer x-koordinaten til et punkt, vil ikke avstanden d endres. Dette faktum betyr at settet med punkter (x; -1; 2) danner en rett linje parallelt med det gitte planet.
