I geometri, etter et punkt, er en rett linje kanskje det enkleste elementet. Den brukes i konstruksjonen av komplekse figurer på flyet og i tredimensjon alt rom. I denne artikkelen vil vi vurdere den generelle ligningen for en rett linje og løse et par problemer ved å bruke den. La oss komme i gang!
Rett linje i geometri
Alle vet at former som rektangel, trekant, prisme, kube og så videre dannes av kryssende rette linjer. En rett linje i geometri er et endimensjon alt objekt som kan oppnås ved å overføre et bestemt punkt til en vektor som har samme eller motsatt retning. For bedre å forstå denne definisjonen, se for deg at det er et punkt P i rommet. Ta en vilkårlig vektor u¯ i dette rommet. Da kan et hvilket som helst punkt Q på linjen oppnås som et resultat av følgende matematiske operasjoner:
Q=P + λu¯.
Her er λ et vilkårlig tall som kan være positivt eller negativt. Hvis likestillingskriv ovenfor i form av koordinater, så får vi følgende ligning av en rett linje:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Denne likheten kalles ligningen av en rett linje i vektorform. Og vektoren u¯ kalles en guide.
Generell ligning av en rett linje i et plan
Hver student kan skrive det ned uten problemer. Men oftest skrives ligningen slik:
y=kx + b.
Hvor k og b er vilkårlige tall. Tallet b kalles gratismedlemmet. Parameteren k er lik tangenten til vinkelen som dannes ved skjæringen av den rette linjen med x-aksen.
Ligningen ovenfor er uttrykt med hensyn til variabelen y. Hvis vi presenterer det i en mer generell form, får vi følgende notasjon:
Ax + By + C=0.
Det er lett å vise at denne formen for å skrive den generelle ligningen for en rett linje på et plan lett transformeres til den forrige formen. For å gjøre dette skal venstre og høyre del divideres med faktoren B og uttrykkes y.
Figuren over viser en rett linje som går gjennom to punkter.
En linje i 3D-rom
La oss fortsette studien. Vi vurderte spørsmålet om hvordan ligningen til en rett linje i en generell form er gitt på et plan. Hvis vi bruker notasjonen gitt i forrige avsnitt av artikkelen for romlig tilfelle, hva får vi? Alt er enkelt - ikke lenger en rett linje, men et fly. Det følgende uttrykket beskriver faktisk et plan som er parallelt med z-aksen:
Ax + By + C=0.
Hvis C=0, så passerer et slikt flygjennom z-aksen. Dette er en viktig funksjon.
Hvordan være med den generelle ligningen for en rett linje i rommet? For å forstå hvordan du spør om det, må du huske noe. To plan krysser hverandre langs en bestemt rett linje. Hva betyr dette? Bare at den generelle ligningen er resultatet av å løse et system med to ligninger for fly. La oss skrive dette systemet:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Dette systemet er den generelle ligningen for en rett linje i rommet. Merk at planene ikke må være parallelle med hverandre, det vil si at deres normale vektorer må skråstilles i en eller annen vinkel i forhold til hverandre. Ellers vil systemet ikke ha noen løsninger.
Over ga vi vektorformen til ligningen for en rett linje. Det er praktisk å bruke når du løser dette systemet. For å gjøre dette må du først finne vektorproduktet til normalene til disse planene. Resultatet av denne operasjonen vil være en retningsvektor av en rett linje. Deretter skal ethvert punkt som tilhører linjen beregnes. For å gjøre dette må du sette hvilken som helst av variablene lik en viss verdi, de to gjenværende variablene kan bli funnet ved å løse det reduserte systemet.
Hvordan oversette en vektorligning til en generell? Nyanser
Dette er et faktisk problem som kan oppstå hvis du trenger å skrive den generelle ligningen til en rett linje ved å bruke de kjente koordinatene til to punkter. La oss vise hvordan dette problemet løses med et eksempel. La koordinatene til to punkter være kjent:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Ligning i vektorform er ganske enkel å komponere. Retningsvektorkoordinatene er:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Merk at det ikke er noen forskjell hvis vi trekker Q-koordinatene fra koordinatene til punktet P, vil vektoren bare endre retning til motsatt. Nå bør du ta et hvilket som helst poeng og skrive ned vektorligningen:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
For å skrive den generelle ligningen til en rett linje, skal parameteren λ uttrykkes i begge tilfeller. Og så sammenligne resultatene. Vi har:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Det gjenstår bare å åpne parentesene og overføre alle leddene i ligningen til den ene siden av ligningen for å få et generelt uttrykk for en rett linje som går gjennom to kjente punkter.
I tilfelle av et tredimensjon alt problem, er løsningsalgoritmen bevart, bare resultatet vil være et system med to ligninger for plan.
Oppgave
Det er nødvendig å lage en generell ligningen rett linje som skjærer x-aksen ved (-3, 0) og er parallell med y-aksen.
La oss begynne å løse problemet ved å skrive ligningen i vektorform. Siden linjen er parallell med y-aksen, vil retningsvektoren for den være følgende:
u¯=(0, 1).
Da skrives ønsket linje som følger:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
La oss nå oversette dette uttrykket til en generell form, for dette uttrykker vi parameteren λ:
- x=-3;
- y=λ.
Dermed hører en hvilken som helst verdi av variabelen y til linjen, men bare enkeltverdien til variabelen x tilsvarer den. Derfor vil den generelle ligningen ha formen:
x + 3=0.
Problem med en rett linje i rommet
Det er kjent at to kryssende plan er gitt av følgende ligninger:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Det er nødvendig å finne vektorligningen til den rette linjen som disse planene skjærer. La oss komme i gang.
Som det ble sagt, er den generelle ligningen for en rett linje i tredimensjon alt rom allerede gitt i form av et system på to med tre ukjente. Først av alt bestemmer vi retningsvektoren som planene krysser. Ved å multiplisere vektorkoordinatene til normalene til planene får vi:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Siden multiplisering av en vektor med et negativt tall snur retningen, kan vi skrive:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Tilfor å finne et vektoruttrykk for en rett linje, i tillegg til retningsvektoren, bør man kjenne et punkt av denne rette linjen. Finn siden dens koordinater må tilfredsstille ligningssystemet i tilstanden til problemet, så finner vi dem. La oss for eksempel sette x=0, så får vi:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Dermed har punktet som tilhører den ønskede rette linjen koordinatene:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Da får vi svaret på dette problemet, vektorligningen til ønsket linje vil se slik ut:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Riktigheten av løsningen kan enkelt kontrolleres. For å gjøre dette, må du velge en vilkårlig verdi av parameteren λ og erstatte de oppnådde koordinatene til punktet på den rette linjen i begge likningene for planene, du vil få en identitet i begge tilfeller.
