Et av geometriens aksiomer sier at gjennom to punkter er det mulig å tegne en enkelt rett linje. Dette aksiomet vitner om at det finnes et unikt numerisk uttrykk som unikt beskriver det spesifiserte endimensjonale geometriske objektet. Vurder i artikkelen spørsmålet om hvordan man skriver ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter.
Hva er et punkt og en linje?
Før man vurderer spørsmålet om å konstruere i rommet og på planet en rett linje av en ligning som går gjennom et par forskjellige punkter, bør man definere de spesifiserte geometriske objektene.
Et punkt er unikt bestemt av et sett med koordinater i et gitt system med koordinatakser. I tillegg til dem er det ikke flere egenskaper for punktet. Hun er et nulldimensjon alt objekt.
Når vi snakker om en rett linje, forestiller hver person seg en linje avbildet på et hvitt ark. Samtidig er det mulig å gi en nøyaktig geometrisk definisjondette objektet. En rett linje er en slik samling av punkter der koblingen av hver av dem med alle de andre vil gi et sett med parallelle vektorer.
Denne definisjonen brukes når du setter vektorligningen for en rett linje, som vil bli diskutert nedenfor.
Siden enhver linje kan merkes med et segment av vilkårlig lengde, sies det å være et endimensjon alt geometrisk objekt.
Tallvektorfunksjon
En likning gjennom to punkter på en passerende rett linje kan skrives på forskjellige måter. I tredimensjonale og todimensjonale rom er det viktigste og intuitivt forståelige numeriske uttrykket en vektor.
Anta at det er et rettet segment u¯(a; b; c). I 3D-rom kan vektoren u starte når som helst, så dens koordinater definerer et uendelig sett med parallelle vektorer. Men hvis vi velger et spesifikt punkt P(x0; y0; z0) og setter det som begynnelsen av vektoren u¯, og multipliserer denne vektoren med et vilkårlig reelt tall λ, kan man få alle punktene til én rett linje i rommet. Det vil si at vektorligningen vil bli skrevet som:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Selvfølgelig, for tilfellet på flyet, har den numeriske funksjonen formen:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Fordelen med denne typen ligninger sammenlignet med de andre (i segmenter, kanoniske,generell form) ligger i det faktum at den eksplisitt inneholder koordinatene til retningsvektoren. Sistnevnte brukes ofte for å bestemme om linjer er parallelle eller vinkelrette.
Generelt i segmenter og kanonisk funksjon for en rett linje i todimensjon alt rom
Når du løser problemer, må du noen ganger skrive ligningen til en rett linje som går gjennom to punkter i en bestemt, spesifikk form. Derfor bør andre måter å spesifisere dette geometriske objektet i todimensjon alt rom gis på (for enkelhets skyld vurderer vi saken på planet).
La oss starte med en generell ligning. Den har formen:
Ax + By + C=0
Som regel skrives ligningen til en rett linje på planet på denne formen, bare y er eksplisitt definert gjennom x.
Forvandler nå uttrykket ovenfor som følger:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Dette uttrykket kalles en ligning i segmenter, siden nevneren for hver variabel viser hvor lenge linjestykket skjærer av på den tilsvarende koordinataksen i forhold til startpunktet (0; 0).
Det gjenstår å gi et eksempel på den kanoniske ligningen. For å gjøre dette, skriver vi vektorlikheten eksplisitt:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
La oss uttrykke parameteren λ herfra og likestille de resulterende likhetene:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Den siste likheten kalles ligningen i kanonisk eller symmetrisk form.
Hver av dem kan konverteres til vektor og omvendt.
Likningen til en rett linje som går gjennom to punkter: en kompileringsteknikk
Tilbake til spørsmålet om artikkelen. Anta at det er to punkter i rommet:
M(x1; y1; z1) og N(x 2; y2; z2)
Den eneste rette linjen går gjennom dem, hvis likning er veldig enkel å komponere i vektorform. For å gjøre dette, beregner vi koordinatene til det rettede segmentet MN¯, vi har:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Det er ikke vanskelig å gjette at denne vektoren vil være guiden for den rette linjen, hvis ligning må innhentes. Når du vet at den også går gjennom M og N, kan du bruke koordinatene til hvilken som helst av dem for et vektoruttrykk. Deretter har den ønskede ligningen formen:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
For tilfellet i todimensjon alt rom oppnår vi en lignende likhet uten deltakelse av variabelen z.
Så snart vektorlikheten for linjen er skrevet, kan den oversettes til en hvilken som helst annen form som spørsmålet om problemet krever.
Oppgave:skriv en generell ligning
Det er kjent at en rett linje går gjennom punktene med koordinater (-1; 4) og (3; 2). Det er nødvendig å komponere ligningen til en rett linje som går gjennom dem, i en generell form, som uttrykker y i form av x.
For å løse problemet skriver vi først likningen i vektorform. Vektor-(guide)koordinatene er:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Da er vektorformen til ligningen for den rette linjen følgende:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Det gjenstår å skrive det i generell form på formen y(x). Vi omskriver denne likheten eksplisitt, uttrykker parameteren λ og ekskluderer den fra ligningen:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
Fra den resulterende kanoniske ligningen uttrykker vi y og kommer til svaret på spørsmålet om problemet:
y=-0,5x + 3,5
Gyldigheten av denne likheten kan kontrolleres ved å erstatte koordinatene til punktene spesifisert i problemformuleringen.
Problem: en rett linje som går gjennom midten av segmentet
La oss nå løse ett interessant problem. Anta at to punkter M(2; 1) og N(5; 0) er gitt. Det er kjent at en rett linje går gjennom midtpunktet av segmentet som forbinder punktene og er vinkelrett på det. Skriv ligningen til en rett linje som går gjennom midten av segmentet i vektorform.
Det ønskede numeriske uttrykket kan dannes ved å beregne koordinaten til dette senteret og bestemme retningsvektoren, somsegmentet gjør en vinkel på 90o.
Midtpunktet i segmentet er:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
La oss nå beregne koordinatene til vektoren MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Siden retningsvektoren for den ønskede linjen er vinkelrett på MN¯, er deres skalarprodukt lik null. Dette lar deg beregne de ukjente koordinatene (a; b) til styrevektoren:
a3 - b=0=>
b=3a
Skriv nå vektorligningen:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Her har vi erstattet produktet aλ med en ny parameter β.
Dermed har vi laget ligningen for en rett linje som går gjennom midten av segmentet.
