Løse ligninger i matematikk har en spesiell plass. Denne prosessen er innledet av mange timer med å studere teorien, der studenten lærer hvordan man løser ligninger, bestemmer formen deres og bringer ferdigheten til full automatisme. Men letingen etter røtter gir ikke alltid mening, siden de rett og slett ikke eksisterer. Det finnes spesielle metoder for å finne røtter. I denne artikkelen vil vi analysere hovedfunksjonene, deres omfang, samt tilfeller der deres røtter mangler.
Hvilken ligning har ingen røtter?
En ligning har ingen røtter hvis det ikke finnes slike reelle argumenter x som ligningen er identisk sann for. For en ikke-spesialist ser denne formuleringen, som de fleste matematiske teoremer og formler, veldig vag og abstrakt ut, men dette er i teorien. I praksis blir alt ekstremt enkelt. For eksempel: ligningen 0x=-53 har ingen løsning, siden det ikke finnes et slikt tall x, hvis produktet med null ville gitt noe annet enn null.
Nå skal vi se på de mest grunnleggende ligningstypene.
1. Lineær ligning
En likning kalles lineær hvis dens høyre og venstre del er representert som lineære funksjoner: ax + b=cx + d eller i en generalisert form kx + b=0. Der a, b, c, d er kjent tall, og x er en ukjent størrelse. Hvilken ligning har ingen røtter? Eksempler på lineære ligninger er vist i illustrasjonen nedenfor.
I utgangspunktet løses lineære ligninger ved å flytte talldelen til den ene delen og innholdet i x til den andre. Det viser seg en ligning av formen mx \u003d n, der m og n er tall, og x er en ukjent. For å finne x er det nok å dele begge deler på m. Da er x=n/m. I utgangspunktet har lineære ligninger bare én rot, men det er tilfeller der det enten er uendelig mange røtter eller ingen i det hele tatt. Med m=0 og n=0, har ligningen formen 0x=0. Absolutt et hvilket som helst tall vil være løsningen på en slik ligning.
Men hvilken ligning har ingen røtter?
Når m=0 og n=0, har ligningen ingen røtter fra settet med reelle tall. 0x=-1; 0x=200 - disse ligningene har ingen røtter.
2. Kvadratisk ligning
En andregradsligning er en ligning av formen ax2 + bx + c=0 for a=0. Den vanligste måten å løse en andregradsligning på er å løse den gjennom diskriminanten. Formelen for å finne diskriminanten til en kvadratisk ligning: D=b2 - 4ac. Så er det to røtter x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Når D > 0 har ligningen to røtter, når D=0 - en rot. Men hvilken annengradsligning har ingen røtter?Den enkleste måten å observere antall røtter til en kvadratisk ligning er på grafen til en funksjon, som er en parabel. Ved en > 0 er grenene rettet oppover, ved en < 0 senkes grenene ned. Hvis diskriminanten er negativ, har en slik kvadratisk ligning ingen røtter i settet med reelle tall.
Du kan også visuelt bestemme antall røtter uten å beregne diskriminanten. For å gjøre dette må du finne toppen av parabelen og bestemme i hvilken retning grenene er rettet. Du kan bestemme x-koordinaten til et toppunkt ved å bruke formelen: x0 =-b / 2a. I dette tilfellet blir y-koordinaten til toppunktet funnet ved ganske enkelt å erstatte x0-verdien i den opprinnelige ligningen.
Den andregradsligningen x2 – 8x + 72=0 har ingen røtter fordi den har en negativ diskriminant D=(–8)2 - 4172=-224. Dette betyr at parablen ikke berører x-aksen og funksjonen aldri tar verdien 0, derfor har ligningen ingen reelle røtter.
3. Trigonometriske ligninger
Trigonometriske funksjoner betraktes på en trigonometrisk sirkel, men kan også representeres i et kartesisk koordinatsystem. I denne artikkelen skal vi se på to grunnleggende trigonometriske funksjoner og deres ligninger: sinx og cosx. Siden disse funksjonene danner en trigonometrisk sirkel med radius 1, |sinx| og |cosx| kan ikke være større enn 1. Så hvilken sinx-ligning har ingen røtter? Tenk på grafen til sinx-funksjonen som er presentert på bildetnedenfor.
Vi ser at funksjonen er symmetrisk og har en repetisjonsperiode på 2pi. Basert på dette kan vi si at maksimalverdien til denne funksjonen kan være 1, og minimum -1. For eksempel vil ikke uttrykket cosx=5 ha røtter, siden dets modulo er større enn én.
Dette er det enkleste eksemplet på trigonometriske ligninger. Faktisk kan løsningen deres ta mange sider, på slutten av disse innser du at du brukte feil formel, og du må begynne på nytt. Noen ganger, selv med riktig funn av røttene, kan du glemme å ta hensyn til begrensningene på ODZ, og det er grunnen til at en ekstra rot eller intervall vises i svaret, og hele svaret blir til en feil. Følg derfor alle restriksjonene strengt, fordi ikke alle røtter passer inn i oppgavens omfang.
4. Ligningssystemer
Et ligningssystem er et sett med ligninger kombinert med krøllete eller firkantede parenteser. Krøllete klammeparenteser angir felles utførelse av alle ligninger. Det vil si at hvis minst en av ligningene ikke har røtter eller motsier den andre, har hele systemet ingen løsning. Firkantede parenteser angir ordet "eller". Dette betyr at hvis minst en av systemets ligninger har en løsning, så har hele systemet en løsning.
Svaret til systemet med firkantede parenteser er totaliteten av alle røttene til de individuelle ligningene. Og systemer med krøllete seler har bare felles røtter. Ligningssystemer kan inkludere absolutt forskjellige funksjoner, så denne kompleksiteten er det ikkelar deg umiddelbart fortelle hvilken ligning som ikke har røtter.
Generalisering og tips for å finne røttene til ligningen
I oppgavebøker og lærebøker er det forskjellige typer ligninger: de som har røtter, og de som ikke har dem. Først av alt, hvis du ikke finner røtter, ikke tro at de ikke eksisterer i det hele tatt. Du kan ha gjort en feil et sted, så er det bare å dobbeltsjekke løsningen.
Vi har dekket de mest grunnleggende ligningene og typene deres. Nå kan du se hvilken ligning som ikke har røtter. I de fleste tilfeller er dette slett ikke vanskelig å gjøre. For å oppnå suksess med å løse ligninger, kreves det kun oppmerksomhet og konsentrasjon. Øv mer, det vil hjelpe deg å navigere i materialet mye bedre og raskere.
Så, ligningen har ingen røtter hvis:
- i den lineære ligningen mx=n verdien m=0 og n=0;
- i en kvadratisk ligning hvis diskriminanten er mindre enn null;
- i en trigonometrisk ligning av formen cosx=m / sinx=n, hvis |m| > 0, |n| > 0;
- i et likningssystem med krøllede parenteser hvis minst én likning ikke har røtter, og med firkantede parenteser hvis alle likninger ikke har røtter.
