Ganske ofte er det i matematisk vitenskap en rekke vanskeligheter og spørsmål, og mange av svarene er ikke alltid klare. Intet unntak var et slikt tema som settenes kardinalitet. Faktisk er dette ikke noe mer enn et numerisk uttrykk for antall objekter. I en generell forstand er et sett et aksiom; det har ingen definisjon. Den er basert på alle objekter, eller snarere deres sett, som kan være tomme, endelige eller uendelige. I tillegg inneholder den heltall eller naturlige tall, matriser, sekvenser, segmenter og linjer.
Om eksisterende variabler
Et null- eller tomt sett uten egenverdi anses som et kardinalelement fordi det er en delmengde. Samlingen av alle delmengder av et ikke-tomt sett S er et sett med sett. Dermed anses kraftsettet til et gitt sett for å være mange, tenkelige, men enkelt. Dette settet kalles potensene til S og er betegnet med P (S). Hvis S inneholder N elementer, så inneholder P(S) 2^n delmengder, siden en delmengde av P(S) er enten ∅ eller en delmengde som inneholder r elementer fra S, r=1, 2, 3, … Sammensatt av alt uendeligsett M kalles en potensmengde og er symbolsk betegnet med P (M).
Elements of set theory
Dette kunnskapsfeltet ble utviklet av George Cantor (1845-1918). I dag brukes det i nesten alle grener av matematikk og fungerer som dens grunnleggende del. I mengdlære er elementer representert i form av en liste og er gitt av typer (tom mengde, singleton, endelige og uendelige mengder, lik og ekvivalent, universell), forening, skjæring, forskjell og addisjon av tall. I hverdagen snakker vi ofte om en samling av gjenstander som et nøkkelknippe, en fugleflokk, en pakke med kort osv. I matematikk klasse 5 og utover er det naturlige tall, heltall, primtall og sammensatte tall.
Følgende sett kan vurderes:
- naturlige tall;
- bokstaver i alfabetet;
- primærodds;
- trekanter med forskjellige sider.
Det kan sees at disse spesifiserte eksemplene er veldefinerte sett med objekter. Tenk på noen flere eksempler:
- fem mest kjente vitenskapsmenn i verden;
- sju vakre jenter i samfunnet;
- tre beste kirurger.
Disse kardinalitetseksemplene er ikke veldefinerte samlinger av objekter, fordi kriteriene for "mest kjent", "vakreste", "best" varierer fra person til person.
sett
Denne verdien er et veldefinert antall forskjellige objekter. Forutsatt at:
- ordsett er et synonym, aggregat, klasse og inneholder elementer;
- objekter, medlemmer er like vilkår;
- sett er vanligvis merket med store bokstaver A, B, C;
- settelementer er representert med små bokstaver a, b, c.
Hvis "a" er et element i mengden A, så sies det at "a" tilhører A. La oss betegne uttrykket "hører til" med det greske tegnet "∈" (epsilon). Dermed viser det seg at a ∈ A. Hvis 'b' er et element som ikke tilhører A, er dette representert som b ∉ A. Noen viktige sett brukt i matematikk 5. klasse er representert ved hjelp av de tre følgende metodene:
- applikasjoner;
- registre eller tabeller;
- regel for å lage en formasjon.
Ved nærmere undersøkelse er søknadsskjemaet basert på følgende. I dette tilfellet er det gitt en klar beskrivelse av elementene i settet. De er alle innelukket i krøllete seler. For eksempel:
- sett med oddetall mindre enn 7 - skrevet som {mindre enn 7};
- et sett med tall større enn 30 og mindre enn 55;
- antall elever i en klasse som veier mer enn læreren.
I registret (tabell)-skjemaet er elementene i et sett oppført innenfor et par parenteser {} og atskilt med komma. For eksempel:
- La N betegne settet med de fem første naturlige tallene. Derfor, N=→ registreringsskjema
- Sett med alle vokaler i det engelske alfabetet. Derfor V={a, e, i, o, u, y} → registreringsskjema
- Sammen med alle oddetall er mindre enn 9. Derfor er X={1, 3, 5, 7} → formregister
- Sett med alle bokstaver i ordet "Matte". Derfor er Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registerskjema
- W er settet med årets siste fire måneder. Derfor, W={september, oktober, november, desember} → register.
Merk at rekkefølgen elementene er oppført i spiller ingen rolle, men de må ikke gjentas. En etablert form for konstruksjon, i et gitt tilfelle, en regel, formel eller operator skrives i et par parentes slik at settet er riktig definert. I settbyggerskjemaet må alle elementer ha samme egenskap for å bli medlem av den aktuelle verdien.
I denne formen for settrepresentasjon er et element i settet beskrevet med tegnet "x" eller en hvilken som helst annen variabel etterfulgt av et kolon (":" eller "|" brukes for å indikere). La for eksempel P være settet av tellbare tall som er større enn 12. P i settbyggerformen skrives som - {tellbare tall og større enn 12}. Den vil lese på en bestemt måte. Det vil si, "P er et sett med x elementer slik at x er tellbar og større enn 12."
Løst eksempel ved bruk av tre sett-representasjonsmetoder: antall heltall mellom -2 og 3. Nedenfor er eksempler på forskjellige typer sett:
- Et tomt eller nullsett som ikke inneholder noe element og er merket med symbolet ∅ og leses som phi. I listeform skrives ∅ {}. Det endelige settet er tomt, siden antallet elementer er 0. For eksempel er settet med heltallsverdier mindre enn 0.
- Det skal selvsagt ikke være <0. Derfor dettetomt sett.
- Et sett som bare inneholder én variabel kalles et singleton-sett. Er verken enkel eller sammensatt.
Endelig sett
En mengde som inneholder et visst antall elementer kalles en endelig eller uendelig mengde. Tom refererer til den første. For eksempel et sett med alle fargene i regnbuen.
Infinity er et sett. Elementene i den kan ikke telles opp. Det vil si at det å inneholde lignende variabler kalles et uendelig sett. Eksempler:
- kraften til settet av alle punkter i flyet;
- sett med alle primtall.
Men du bør forstå at alle kardinaliteter ved foreningen av et sett ikke kan uttrykkes i form av en liste. For eksempel reelle tall, siden elementene deres ikke samsvarer med noe bestemt mønster.
Kardinalnummeret til et sett er antallet forskjellige elementer i en gitt mengde A. Det er betegnet med n (A).
For eksempel:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Derfor er n (A)=4.
- B=sett med bokstaver i ordet ALGEBRA.
Ekvivalente sett for sammenligning av sett
To kardinaliteter av et sett A og B er slike hvis kardinalnummeret deres er det samme. Symbolet for det ekvivalente settet er "↔". For eksempel: A ↔ B.
Like sett: to kardinaliteter av sett A og B hvis de inneholder de samme elementene. Hver koeffisient fra A er en variabel fra B, og hver av B er den angitte verdien av A. Derfor er A=B. De forskjellige typene kardinalitetsforeninger og deres definisjoner er forklart ved hjelp av eksemplene gitt.
essensen av finhet og uendelighet
Hva er forskjellene mellom kardinaliteten til en endelig mengde og en uendelig mengde?
Den første verdien har følgende navn hvis den enten er tom eller har et begrenset antall elementer. I et begrenset sett kan en variabel spesifiseres hvis den har et begrenset antall. For eksempel ved å bruke det naturlige tallet 1, 2, 3. Og listeprosessen ender på noen N. Antallet forskjellige elementer som telles i den endelige mengden S er betegnet med n (S). Det kalles også orden eller kardinal. Symbolsk betegnet i henhold til standardprinsippet. Så hvis settet S er det russiske alfabetet, inneholder det 33 elementer. Det er også viktig å huske at et element ikke forekommer mer enn én gang i et sett.
Uendelig i settet
Et sett kalles uendelig hvis elementene ikke kan telles. Hvis den har et ubegrenset (det vil si utellelig) naturlig tall 1, 2, 3, 4 for en hvilken som helst n. Et sett som ikke er endelig kalles uendelig. Vi kan nå diskutere eksempler på de numeriske verdiene som vurderes. Sluttverdi alternativer:
- La Q={naturlige tall mindre enn 25}. Da er Q en endelig mengde og n (P)=24.
- La R={heltall mellom 5 og 45}. Da er R en endelig mengde og n (R)=38.
- La S={numbers modulo 9}. Så S={-9, 9} er et endelig sett og n (S)=2.
- Sett med alle mennesker.
- Antall av alle fugler.
Uendelige eksempler:
- antall eksisterende punkter på flyet;
- antall av alle punkter i linjestykket;
- settet med positive heltall delelig med 3 er uendelig;
- alle hele og naturlige tall.
Således, fra resonnementet ovenfor, er det klart hvordan man kan skille mellom endelige og uendelige mengder.
Power of the continuum set
Hvis vi sammenligner settet og andre eksisterende verdier, så legges et tillegg til settet. Hvis ξ er universell og A er en delmengde av ξ, så er komplementet til A antallet av alle elementene til ξ som ikke er elementer av A. Symbolsk sett er komplementet til A med hensyn til ξ A'. For eksempel er 2, 4, 5, 6 de eneste elementene i ξ som ikke tilhører A. Derfor er A'={2, 4, 5, 6}
Et sett med kardinalitetskontinuum har følgende funksjoner:
- komplement av den universelle mengden er den aktuelle tomme verdien;
- denne nullsettvariabelen er universell;
- beløp og dets komplement er usammenhengende.
For eksempel:
- La antallet naturlige tall være et universelt sett og A være partall. Så er A '{x: x et oddetall med samme sifre}.
- La ξ=sett med bokstaver i alfabetet. A=sett med konsonanter. Deretter A '=antall vokaler.
- Komplementet til det universelle settet er den tomme mengden. Kan betegnes med ξ. Da er ξ '=Settet av de elementene som ikke er inkludert i ξ. Den tomme mengden φ skrives og betegnes. Derfor ξ=φ. Dermed er komplementet til det universelle settet tomt.
I matematikk brukes "kontinuum" noen ganger for å representere en reell linje. Og mer generelt, for å beskrive lignende objekter:
- kontinuum (i settteori) - reell linje eller tilsvarende kardinalnummer;
- lineær - ethvert bestilt sett som deler visse egenskaper til en ekte linje;
- continuum (i topologi) - ikke-tomt kompakt tilkoblet metrisk rom (noen ganger Hausdorff);
- hypotesen om at ingen uendelige mengder er større enn heltall, men mindre enn reelle tall;
- kraften til kontinuumet er et kardin altall som representerer størrelsen på settet med reelle tall.
I hovedsak et kontinuum (måling), teorier eller modeller som forklarer gradvise overganger fra en tilstand til en annen uten noen brå endring.
Problemer med forening og veikryss
Det er kjent at skjæringspunktet mellom to eller flere sett er tallet som inneholder alle elementene som er vanlige i disse verdiene. Ordoppgaver på mengder løses for å få grunnleggende ideer om hvordan man kan bruke forenings- og skjæringsegenskapene til mengder. Løste de viktigste problemene med ord påsett ser slik ut:
La A og B være to endelige sett. De er slik at n (A)=20, n (B)=28 og n (A ∪ B)=36, finn n (A ∩ B)
Relasjon i sett med Venn-diagram:
- Foreningen av to sett kan representeres av et skyggelagt område som representerer A ∪ B. A ∪ B når A og B er usammenhengende sett.
- Skjæringspunktet mellom to sett kan representeres av et Venn-diagram. Med skyggelagt område som representerer A ∩ B.
- Forskjellen mellom de to settene kan representeres av Venn-diagrammer. Med et skyggelagt område som representerer A - B.
- Forholdet mellom tre sett ved hjelp av et Venn-diagram. Hvis ξ representerer en universell størrelse, så er A, B, C tre delmengder. Her overlapper alle tre settene.
Opsummering av settinformasjon
Kardinaliteten til et sett er definert som det totale antallet individuelle elementer i settet. Og den siste angitte verdien er beskrevet som antallet av alle delsett. Når man studerer slike problemstillinger, kreves det metoder, metoder og løsninger. Så, for kardinaliteten til et sett, kan følgende eksempler tjene som:
La A={0, 1, 2, 3}| |=4, hvor | A | representerer kardinaliteten til sett A.
Nå kan du finne strømpakken din. Det er ganske enkelt også. Som allerede sagt, settes kraftsettet fra alle delmengder av et gitt tall. Så man bør i utgangspunktet definere alle variablene, elementene og andre verdier av A,som er {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nå må du finne ut P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} som har 16 elementer. Dermed er kardinaliteten til settet A=16. Dette er åpenbart en kjedelig og tungvint metode for å løse dette problemet. Imidlertid er det en enkel formel som du direkte kan vite antall elementer i potensmengden til et gitt tall. | P |=2 ^ N, hvor N er antall elementer i noen A. Denne formelen kan fås ved å bruke enkel kombinatorikk. Så spørsmålet er 2^11 siden antall elementer i sett A er 11.
Så, et sett er en hvilken som helst numerisk uttrykt mengde, som kan være et hvilket som helst mulig objekt. For eksempel biler, mennesker, tall. I matematisk forstand er dette konseptet bredere og mer generalisert. Hvis tallene og alternativene for deres løsning er sortert i de innledende stadiene, er forholdene og oppgavene kompliserte i de midtre og høyere stadiene. Faktisk er kardinaliteten til foreningen av et sett bestemt av objektets tilhørighet til en hvilken som helst gruppe. Det vil si at ett element tilhører en klasse, men har en eller flere variabler.
