Projeksjon av kraft på aksen og på planet. Fysikk

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Kraft er et av de viktigste konseptene i fysikk. Det forårsaker en endring i tilstanden til alle objekter. I denne artikkelen skal vi vurdere hva denne verdien er, hvilke krefter det er, og også vise hvordan vi finner projeksjonen av kraften på aksen og på planet.

Kraft og dens fysiske betydning

I fysikk er kraft en vektormengde som viser endringen i et legemes momentum per tidsenhet. Denne definisjonen anser kraft som en dynamisk egenskap. Fra et statisk synspunkt er kraft i fysikk et mål på elastisk eller plastisk deformasjon av legemer.

Det internasjonale SI-systemet uttrykker kraft i newton (N). Hva er 1 newton, den enkleste måten å forstå eksemplet på den andre loven i klassisk mekanikk. Dens matematiske notasjon er som følger:

F¯=ma¯

Her er F¯ en ekstern kraft som virker på et legeme med masse m og resulterer i akselerasjon a¯. Den kvantitative definisjonen av ett newton følger av formelen: 1 N er en slik kraft som fører til en endring i hastigheten til et legeme med en masse på 1 kg ganger 1 m/s for hvert sekund.

Eksempler på dynamikkmanifestasjoner av kraft er akselerasjonen av en bil eller et fritt fallende legeme i jordens gravitasjonsfelt.

Den statiske manifestasjonen av kraft, som nevnt, er assosiert med deformasjonsfenomener. Følgende formler skal angis her:

F=PS

F=-kx

Det første uttrykket relaterer kraften F til trykket P som den utøver på et område S. Gjennom denne formelen kan 1 N defineres som et trykk på 1 pascal påført et område på 1 m 2^{. For eksempel presser en søyle med atmosfærisk luft ved havnivå på et sted på 1 m}2^{med en kraft på 10}5^N!

Det andre uttrykket er den klassiske formen for Hookes lov. For eksempel, strekking eller komprimering av en fjær med en lineær verdi x fører til fremveksten av en motstående kraft F (i uttrykket er k proporsjonalitetsfaktoren).

Hvilke krefter finnes

Det er allerede vist ovenfor at krefter kan være statiske og dynamiske. Her sier vi at i tillegg til denne funksjonen kan de være kontakt- eller langdistansekrefter. For eksempel friksjonskraft, støttereaksjoner er kontaktkrefter. Grunnen til deres utseende er gyldigheten av Pauli-prinsippet. Sistnevnte sier at to elektroner ikke kan okkupere samme tilstand. Det er grunnen til at berøring av to atomer fører til deres frastøting.

Langdistansekrefter oppstår som et resultat av samspillet mellom kropper gjennom et bestemt bærefelt. For eksempel er det tyngdekraften eller elektromagnetisk interaksjon. Begge maktene har uendelig rekkevidde,deres intensitet synker imidlertid som kvadratet av avstanden (Coulombs lover og tyngdekraften).

Strøm er en vektormengde

Etter å ha behandlet betydningen av den betraktede fysiske størrelsen, kan vi gå videre til studiet av spørsmålet om kraftprojeksjon på aksen. Først av alt merker vi at denne mengden er en vektor, det vil si at den er preget av en modul og retning. Vi vil vise hvordan du beregner kraftmodulen og dens retning.

Det er kjent at enhver vektor kan defineres unikt i et gitt koordinatsystem hvis verdiene til koordinatene til begynnelsen og slutten er kjent. Anta at det er et rettet segment MN¯. Deretter kan retningen og modulen bestemmes ved hjelp av følgende uttrykk:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

Her tilsvarer koordinater med indekser 2 punkt N, de med indekser 1 tilsvarer punkt M. Vektoren MN¯ er rettet fra M til N.

For allmennhetens skyld har vi vist hvordan man finner modulen og koordinatene (retningen) til en vektor i tredimensjon alt rom. Lignende formler uten den tredje koordinaten er gyldige for tilfellet på flyet.

Dermed er kraftmodulen dens absolutte verdi, uttrykt i newton. Fra et geometrisk synspunkt er modulen lengden på det rettede segmentet.

Hva er kraftprojeksjonen påakse?

Det er mest praktisk å snakke om projeksjoner av rettede segmenter på koordinatakser og plan hvis du først plasserer den tilsvarende vektoren ved origo, det vil si i punktet (0; 0; 0). Anta at vi har en kraftvektor F¯. La oss plassere begynnelsen ved punktet (0; 0; 0), så kan koordinatene til vektoren skrives som følger:

F¯=((x₁- 0); (y₁- 0); (z_1); - 0))=(x₁; y₁; z₁).

Vektor F¯ viser retningen til kraften i rommet i det gitte koordinatsystemet. La oss nå tegne vinkelrette segmenter fra slutten av F¯ til hver av aksene. Avstanden fra skjæringspunktet for perpendikulæren med den tilsvarende aksen til origo kalles projeksjonen av kraften på aksen. Det er ikke vanskelig å gjette at når det gjelder kraften F¯, vil projeksjonene på x-, y- og z-aksene være x₁, y_{1henholdsvis og z 1}. Merk at disse koordinatene viser modulene for kraftprojeksjoner (lengden på segmentene).

Vinkler mellom kraften og dens projeksjoner på koordinataksene

Det er ikke vanskelig å beregne disse vinklene. Alt som kreves for å løse det er kunnskap om egenskapene til trigonometriske funksjoner og evnen til å anvende Pythagoras teorem.

La oss for eksempel definere vinkelen mellom kraftretningen og dens projeksjon på x-aksen. Den tilsvarende rettvinklet vil bli dannet av hypotenusen (vektor F¯) og ben (segment x₁). Den andre etappen er avstanden fra enden av vektoren F¯ til x-aksen. Vinkelen α mellom F¯ og x-aksen beregnes ved hjelp av formelen:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x_{) 1}²+y₁²+z₁ ²)).

Som du kan se, for å bestemme vinkelen mellom aksen og vektoren, er det nødvendig og tilstrekkelig å kjenne koordinatene til enden av det rettede segmentet.

For vinkler med andre akser (y og z), kan du skrive lignende uttrykk:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

Merk at i alle formler er det moduler i tellerne, noe som eliminerer utseendet til stumpe hjørner. Mellom kraften og dens aksiale fremspring er vinklene alltid mindre enn eller lik 90^o.

Kraften og dens projeksjoner på koordinatplanet

Definisjonen av kraftprojeksjonen på planet er den samme som for aksen, bare i dette tilfellet skal perpendikulæren ikke senkes ned på aksen, men på planet.

I tilfellet med et romlig rektangulært koordinatsystem har vi tre innbyrdes perpendikulære plan xy (horisont alt), yz (front alt vertik alt), xz (later alt vertik alt). Skjæringspunktene for perpendikulære f alt fra enden av vektoren til de navngitte planene er:

(x₁; y₁; 0) for xy;

(x₁; 0; z₁) for xz;

(0; y₁; z₁) for zy.

Hvis hvert av de markerte punktene er koblet til origo, får vi projeksjonen av kraften F¯ på det tilsvarende planet. Hva er kraftmodulen, vet vi. For å finne modulen til hver projeksjon, må du bruke Pythagoras teorem. La oss betegne projeksjonene på flyet som F_xy, F_xz og F_zy. Da vil likestillingene være gyldige for modulene deres:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

Vinkler mellom projeksjoner på planet og kraftvektoren

I avsnittet ovenfor ble det gitt formler for modulene med projeksjoner på planet til den betraktede vektoren F¯. Disse projeksjonene, sammen med segmentet F¯ og avstanden fra dets ende til planet, danner rettvinklede trekanter. Derfor, som i tilfellet med projeksjoner på aksen, kan du bruke definisjonen av trigonometriske funksjoner for å beregne de aktuelle vinklene. Du kan skrive følgende likheter:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +y}12^{) /√(x}12 +y¹₂+z¹₂));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2 +z}12^)/√(x12 +y¹₂+z¹₂));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁² +z₁²)).

Det er viktig å forstå at vinkelen mellom retningen til kraften F¯ og dens tilsvarende projeksjon på planet er lik vinkelen mellom F¯ og dette planet. Hvis vi vurderer dette problemet fra et geometrisk synspunkt, kan vi si at det rettede segmentet F¯ er skråstilt i forhold til planene xy, xz og zy.

Hvor brukes kraftprojeksjoner?

Formlene ovenfor for kraftprojeksjoner på koordinataksene og på planet er ikke bare av teoretisk interesse. De brukes ofte til å løse fysiske problemer. Selve prosessen med å finne fremspring kalles dekomponering av kraften i dens komponenter. Sistnevnte er vektorer, summen av disse skal gi den opprinnelige kraftvektoren. I det generelle tilfellet er det mulig å dekomponere kraften i vilkårlige komponenter, men for å løse problemer er det praktisk å bruke projeksjoner på vinkelrette akser og plan.

Problemer der konseptet kraftprojeksjoner brukes kan være svært forskjellige. For eksempel antar den samme Newtons andre lov at den ytre kraften F¯ som virker på kroppen må rettes på samme måte som hastighetsvektoren v¯. Hvis retningene deres er forskjellige i en eller annen vinkel, bør man, for at likheten skal forbli gyldig, ikke sette inn kraften F¯ i seg selv, men dens projeksjon på retningen v¯.

Deretter vil vi gi et par eksempler, hvor vi viser hvordan du bruker den innspilteformler.

Oppgaven med å bestemme kraftprojeksjoner på planet og på koordinataksene

Anta at det er en kraft F¯, som er representert av en vektor som har følgende ende- og startkoordinater:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Det er nødvendig å bestemme kraftmodulen, så vel som alle dens projeksjoner på koordinataksene og -planene, og vinklene mellom F¯ og hver av dens projeksjoner.

La oss begynne å løse problemet ved å beregne koordinatene til vektoren F¯. Vi har:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2).

Da vil kraftmodulen være:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

Projeksjoner på koordinataksene er lik de tilsvarende koordinatene til vektoren F¯. La oss beregne vinklene mellom dem og F¯-retningen. Vi har:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

Siden koordinatene til vektoren F¯ er kjent, er det mulig å beregne modulene for kraftprojeksjoner på koordinatplanet. Ved å bruke formlene ovenfor får vi:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

Til slutt gjenstår det å beregne vinklene mellom de funne projeksjonene på planet og kraftvektoren. Vi har:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^o.

Dermed er vektoren F¯ nærmest xy-koordinatplanet.

Problem med en glidestang på et skråplan

La oss nå løse et fysisk problem der det vil være nødvendig å bruke konseptet kraftprojeksjon. La et skråplan av tre gis. Helningsvinkelen til horisonten er 45^o. På flyet er en trekloss med en masse på 3 kg. Det er nødvendig å bestemme med hvilken akselerasjon denne stangen vil bevege seg nedover planet hvis det er kjent at koeffisienten for glidefriksjon er 0,7.

Først, la oss lage ligningen for kroppens bevegelse. Siden bare to krefter vil virke på den (projeksjonen av tyngdekraften på et plan og friksjonskraften), vil ligningen ha formen:

F_g- F_f=ma=>

a=(F_g- F_f)/m.

Her er F_g, F_f projeksjonen av henholdsvis gravitasjon og friksjon. Det vil si at oppgaven er redusert til å beregne verdiene deres.

Siden vinkelen som flyet er skråstilt mot horisonten er 45^o, er det lett å vise at projeksjonen av tyngdekraften F_glangs overflaten av flyet vil være lik:

F_g=mgsin(45^o)=39, 81/√2 ≈ 20, 81 N.

Denne kraftprojeksjonen søker å forvirretrekloss og gi den akselerasjon.

I henhold til definisjonen er kraften til glidefriksjonen:

F_f=ΜN

Hvor Μ=0, 7 (se tilstanden til problemet). Reaksjonskraften til støtten N er lik projeksjonen av tyngdekraften på aksen vinkelrett på skråplanet, det vil si: