Polynom, eller polynom - en av de grunnleggende algebraiske strukturene, som finnes i skolen og høyere matematikk. Studiet av et polynom er det viktigste emnet i et algebrakurs, siden polynomer på den ene siden er ganske enkle sammenlignet med andre typer funksjoner, og på den annen side er de mye brukt til å løse problemer med matematisk analyse. Så hva er et polynom?
Definition
Definisjonen av begrepet polynom kan gis gjennom begrepet et monomial, eller monomial.
Et monomial er et uttrykk for formen cx1i1x2 i2 …x in. Her er с en konstant, x1, x2, … x - variabler, i1, i2, … i - eksponenter for variabler. Da er et polynom en hvilken som helst endelig sum av monomer.
For å forstå hva et polynom er, kan du se på spesifikke eksempler.
Kvadratisk trinomium, omt alt i detalj i mattekurset i 8. klasse, er et polynom: ax2+bx+c.
Et polynom med to variabler kan se slik ut: x2-xy+y2. Sliket polynom kalles også et ufullstendig kvadrat av forskjellen mellom x og y.
polynomiske klassifikasjoner
polynomisk grad
For hvert monom i polynomet, finn summen av eksponentene i1+i2+…+in. Den største av summene kalles eksponenten til polynomet, og monomenet som tilsvarer denne summen kalles det høyeste leddet.
Forresten, enhver konstant kan betraktes som et polynom med nullgrad.
Reduserte og ikke-reduserte polynomer
Hvis koeffisienten c er lik 1 for det høyeste leddet, er polynomet gitt, ellers er det ikke det.
For eksempel er uttrykket x2+2x+1 et redusert polynom, og 2x2+2x+1 er ikke redusert.
homogene og inhomogene polynomer
Hvis gradene til alle medlemmene av et polynom er like, så sier vi at et slikt polynom er homogent. Alle andre polynomer anses som ikke-homogene.
homogene polynomer: x2-xy+y2, xyz+x3 +y 3. Heterogen: x+1, x2+y.
Det er spesielle navn for et polynom med to og tre ledd: henholdsvis binomial og trinomial.
Polynomer av én variabel er allokert i en egen kategori.
Anvendelse av et polynom av én variabel
Polynomer av én variabel tilnærmer brønnkontinuerlige funksjoner med varierende kompleksitet fra ett argument.
Faktum er at slike polynomer kan betraktes som partielle summer av en potensserie, og en kontinuerlig funksjon kan representeres som en serie med en vilkårlig liten feil. Utvidelsesseriene til en funksjon kalles Taylor-serien, og deresdelsummer i form av polynomer - Taylor-polynomer.
Å studere oppførselen til en funksjon grafisk ved å tilnærme den med et eller annet polynom er ofte enklere enn å undersøke den samme funksjonen direkte eller bruke en serie.
Det er lett å se etter deriverte av polynomer. For å finne røttene til polynomer av grad 4 og lavere finnes det ferdige formler, og for å arbeide med høyere grader brukes omtrentlige algoritmer med høy presisjon.
Det er også en generalisering av de beskrevne polynomene for funksjoner av flere variabler.
Newtons binomial
Kjente polynomer er Newtons polynomer, utledet av forskere for å finne koeffisientene til uttrykket (x + y).
Det er nok å se på de første potensene til den binomiale dekomponeringen for å sikre at formelen er ikke-triviell:
(x+y)2=x2+2xy+y2;
(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3;
(x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4;
(x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5.
For hver koeffisient er det et uttrykk som lar deg beregne den. Imidlertid vil det å huske tungvinte formler og utføre de nødvendige aritmetiske operasjonene hver gang være ekstremt upraktisk for de matematikerne som ofte trenger slike utvidelser. Pascals trekant gjorde livet mye enklere for dem.
Figuren er bygget etter følgende prinsipp. 1 skrives på toppen av trekanten, og i hver neste linje blir det ett siffer til, 1 settes i kantene, og midten av linjen er fylt med summene av to tilstøtende tall fra den forrige.
Når du ser på illustrasjonen, blir alt klart.
Selvfølgelig er bruken av polynomer i matematikk ikke begrenset til de gitte eksemplene, de mest kjente.
