Disse geometriske formene omgir oss over alt. Konvekse polygoner kan være naturlige, for eksempel en honningkake, eller kunstige (menneskeskapte). Disse figurene brukes i produksjon av ulike typer belegg, i maling, arkitektur, dekorasjoner, etc. Konvekse polygoner har egenskapen at alle punktene deres er på samme side av en rett linje som går gjennom et par tilstøtende hjørner av denne geometriske figuren. Det finnes også andre definisjoner. En polygon kalles konveks hvis den er plassert i et enkelt halvplan i forhold til en rett linje som inneholder en av sidene.
Konvekse polygoner
I løpet av elementær geometri vurderes alltid bare enkle polygoner. Å forstå alle egenskapene til slikegeometriske former, er det nødvendig å forstå deres natur. Til å begynne med bør det forstås at enhver linje kalles lukket, hvis ender faller sammen. Dessuten kan figuren dannet av den ha en rekke konfigurasjoner. En polygon er en enkel lukket brutt linje, der nabolenker ikke er plassert på samme rette linje. Dens lenker og toppunkter er henholdsvis sidene og toppunktene til denne geometriske figuren. En enkel polylinje må ikke ha selvkryss.
Toppene til en polygon kalles tilstøtende hvis de representerer endene på en av sidene. En geometrisk figur som har det n-te antallet hjørner, og dermed det n-te antallet sider, kalles en n-gon. Selve den brutte linjen kalles grensen eller konturen til denne geometriske figuren. Et polygon alt plan eller en flat polygon kalles endedelen av et hvilket som helst plan som er avgrenset av det. De tilstøtende sidene av denne geometriske figuren kalles segmenter av en brutt linje som kommer fra ett toppunkt. De vil ikke være tilstøtende hvis de kommer fra forskjellige hjørner av polygonen.
Andre definisjoner av konvekse polygoner
I elementær geometri er det flere ekvivalente definisjoner som indikerer hvilken polygon som kalles konveks. Alle disse utsagnene er like sanne. En polygon anses som konveks hvis:
• hvert segment som forbinder to punkter inne i det, ligger helt innenfor det;
• inne i denalle dens diagonaler ligger;
• ingen innvendig vinkel overstiger 180°.
En polygon deler alltid et plan i 2 deler. En av dem er begrenset (den kan omsluttes i en sirkel), og den andre er ubegrenset. Den første kalles den indre regionen, og den andre er den ytre delen av denne geometriske figuren. Denne polygonen er et skjæringspunkt (med andre ord en felles komponent) av flere halvplan. Hvert segment som har ender på punkter som tilhører polygonet, tilhører dessuten det.
varianter av konvekse polygoner
Definisjonen av en konveks polygon indikerer ikke at det finnes mange typer av dem. Og hver av dem har visse kriterier. Så konvekse polygoner som har en indre vinkel på 180° kalles svakt konvekse. En konveks geometrisk figur som har tre hjørner kalles en trekant, fire - en firkant, fem - en femkant osv. Hver av de konvekse n-gonene oppfyller følgende vesentlige krav: n må være lik eller større enn 3. trekantene er konvekse. En geometrisk figur av denne typen, der alle toppunktene er plassert på samme sirkel, kalles innskrevet i en sirkel. En konveks polygon kalles omskrevet hvis alle sidene nær sirkelen berører den. To polygoner sies å være like bare hvis de kan overlegges av superposisjon. En plan polygon kalles et polygonal plan.(del av planet), som er begrenset av denne geometriske figuren.
Regulære konvekse polygoner
Vanlige polygoner er geometriske former med like vinkler og sider. Inne i dem er det et punkt 0, som er i samme avstand fra hvert av hjørnene. Det kalles midten av denne geometriske figuren. Segmentene som forbinder sentrum med toppunktene til denne geometriske figuren kalles apotemer, og de som forbinder punkt 0 med sidene kalles radier.
En vanlig firkant er en firkant. En likesidet trekant kalles en likesidet trekant. For slike figurer er det følgende regel: hvert hjørne av en konveks polygon er 180°(n-2)/ n, hvor n er antall toppunkter til denne konvekse geometriske figuren.
Arealet til en vanlig polygon bestemmes av formelen:
S=ph, der p er halvparten av summen av alle sider av den gitte polygonen og h er lengden av apotemet.
Egenskaper for konvekse polygoner
Konvekse polygoner har visse egenskaper. Så et segment som forbinder 2 punkter i en slik geometrisk figur er nødvendigvis plassert i det. Bevis:
Anta at P er en gitt konveks polygon. Vi tar 2 vilkårlige punkter, for eksempel A, B, som tilhører P. I følge den eksisterende definisjonen av en konveks polygon er disse punktene plassert på samme side av linjen, som inneholder hvilken som helst side av P. Derfor har AB også denne egenskapen og er inneholdt i P. En konveks polygon kan alltid deles inn i flere trekanter av absolutt alle diagonalene trukket fra en av dens toppunkter.
Vinkler med konvekse geometriske former
Hjørnene til en konveks polygon er hjørnene som dannes av sidene. Innvendige hjørner er plassert i det indre området av en gitt geometrisk figur. Vinkelen som dannes av sidene som konvergerer ved ett toppunkt kalles vinkelen til en konveks polygon. Vinkler ved siden av de indre vinklene til en gitt geometrisk figur kalles eksterne. Hvert hjørne av en konveks polygon plassert inne i den er:
180° - x, der x er verdien av den ytre vinkelen. Denne enkle formelen fungerer for alle geometriske former av denne typen.
For ytre hjørner er det generelt følgende regel: hver vinkel i en konveks polygon er lik forskjellen mellom 180° og verdien av den indre vinkelen. Den kan ha verdier fra -180° til 180°. Derfor, når den indre vinkelen er 120°, vil den ytre vinkelen være 60°.
Summen av vinkler av konvekse polygoner
Summen av de indre vinklene til en konveks polygon er satt av formelen:
180°(n-2), hvor n er antall toppunkter i n-gonen.
Summen av vinklene til en konveks polygon er ganske enkel å beregne. Vurder enhver slik geometrisk figur. For å bestemme summen av vinklene inne i en konveks polygon, er det nødvendigkoble et av hjørnene til andre hjørner. Som et resultat av denne handlingen oppnås (n-2) trekanter. Vi vet at summen av vinklene til en trekant alltid er 180°. Siden deres tall i en polygon er (n-2), er summen av de indre vinklene til en slik figur 180° x (n-2).
Summen av vinklene til en konveks polygon, nemlig alle to indre og tilstøtende ytre vinkler, for en gitt konveks geometrisk figur vil alltid være lik 180°. Basert på dette kan du bestemme summen av alle vinklene:
180 x n.
Summen av de indre vinklene er 180°(n-2). Basert på dette settes summen av alle ytre hjørner av denne figuren av formelen:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Summen av de ytre vinklene til en konveks polygon vil alltid være 360° (uavhengig av antall sider).
Den ytre vinkelen til en konveks polygon er vanligvis representert ved forskjellen mellom 180° og verdien av den indre vinkelen.
Andre egenskaper for en konveks polygon
I tillegg til de grunnleggende egenskapene til disse geometriske formene, har de andre som oppstår når de manipuleres. Så alle polygonene kan deles inn i flere konvekse n-goner. For å gjøre dette er det nødvendig å fortsette hver av sidene og kutte denne geometriske figuren langs disse rette linjene. Det er også mulig å dele en hvilken som helst polygon i flere konvekse deler på en slik måte at toppunktene til hver av brikkene faller sammen med alle dens toppunkter. Fra en slik geometrisk figur kan trekanter veldig enkelt lages ved å tegne allediagonaler fra ett toppunkt. Dermed kan enhver polygon etter hvert deles inn i et visst antall trekanter, noe som viser seg å være svært nyttig for å løse ulike problemer knyttet til slike geometriske former.
Omkretsen av en konveks polygon
Segmenter av en brutt linje, k alt sider av en polygon, er oftest betegnet med følgende bokstaver: ab, bc, cd, de, ea. Dette er sidene til en geometrisk figur med hjørnene a, b, c, d, e. Summen av lengdene til alle sidene av denne konvekse polygonen kalles dens omkrets.
polygonomkrets
Konvekse polygoner kan skrives inn og omskrives. En sirkel som berører alle sider av denne geometriske figuren kalles innskrevet i den. En slik polygon kalles omskrevet. Sentrum av en sirkel som er innskrevet i en polygon er skjæringspunktet for halveringslinjen til alle vinkler innenfor en gitt geometrisk figur. Arealet til en slik polygon er:
S=pr, der r er radiusen til den innskrevne sirkelen og p er halvperimeteren til den gitte polygonen.
En sirkel som inneholder toppunktene til en polygon kalles omskrevet rundt den. Dessuten kalles denne konvekse geometriske figuren innskrevet. Sentrum av sirkelen, som er omskrevet om en slik polygon, er skjæringspunktet for de såk alte vinkelrette halveringslinjene på alle sider.
Diagonaler av konvekse geometriske former
Diagonalene til en konveks polygon er segmenter somkoble til ikke-tilstøtende hjørner. Hver av dem ligger inne i denne geometriske figuren. Antall diagonaler for en slik n-gon er satt av formelen:
N=n (n – 3)/ 2.
Antallet diagonaler til en konveks polygon spiller en viktig rolle i elementær geometri. Antall trekanter (K) som det er mulig å dele hver konveks polygon i, beregnes ved hjelp av følgende formel:
K=n – 2.
Antallet diagonaler til en konveks polygon avhenger alltid av antallet toppunkter.
Dekomponering av en konveks polygon
I noen tilfeller, for å løse geometriske problemer, er det nødvendig å dele en konveks polygon i flere trekanter med ikke-skjærende diagonaler. Dette problemet kan løses ved å utlede en spesifikk formel.
Definisjon av problemet: la oss kalle en riktig partisjon av en konveks n-gon inn i flere trekanter ved diagonaler som bare skjærer hverandre ved toppunktene til denne geometriske figuren.
Løsning: Anta at Р1, Р2, Р3 …, Pn er hjørner av denne n-gonen. Tallet Xn er antallet på partisjonene. La oss nøye vurdere den oppnådde diagonalen til den geometriske figuren Pi Pn. I noen av de vanlige partisjonene tilhører P1 Pn en viss trekant P1 Pi Pn, som har 1<i<n. Går vi ut fra dette og antar at i=2, 3, 4 …, n-1, får vi (n-2) grupper av disse partisjonene, som inkluderer alle mulige spesielle tilfeller.
La i=2 være én gruppe med vanlige partisjoner, som alltid inneholder diagonalen Р2 Pn. Antall partisjoner som kommer inn er det samme som antall partisjoner(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Med andre ord er det lik Xn-1.
Hvis i=3, vil denne andre gruppen av partisjoner alltid inneholde diagonalene Р3 Р1 og Р3 Pn. I dette tilfellet vil antallet vanlige partisjoner som er inneholdt i denne gruppen falle sammen med antall partisjoner til (n-2)-gon P3 P4 … Pn. Med andre ord vil den være lik Xn-2.
La i=4, så blant trekantene vil en vanlig partisjon helt sikkert inneholde en trekant P1 P4 Pn, som firkanten P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 … Pn vil grense til. Antall vanlige partisjoner av en slik firkant er X4, og antall partisjoner av en (n-3)-gon er Xn-3. Basert på det foregående kan vi si at det totale antallet korrekte partisjoner i denne gruppen er Xn-3 X4. Andre grupper med i=4, 5, 6, 7… vil inneholde Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … vanlige partisjoner.
La i=n-2, da vil antallet riktige delinger i denne gruppen være det samme som antall delinger i gruppen der i=2 (med andre ord lik Xn-1).
Siden X1=X2=0, X3=1, X4=2…, så er antallet på alle partisjoner av en konveks polygon:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Eksempel:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Antall riktige partisjoner som krysser én diagonal på innsiden
Ved kontroll av spesielle tilfeller kan man komme frem tilantakelsen om at antall diagonaler av konvekse n-goner er lik produktet av alle partisjoner av denne figuren med (n-3).
Bevis for denne antakelsen: forestill deg at P1n=Xn(n-3), så kan enhver n-gon deles inn i (n-2)-trekanter. Dessuten kan en (n-3)-firkant være sammensatt av dem. Sammen med dette vil hver firkant ha en diagonal. Siden to diagonaler kan tegnes i denne konvekse geometriske figuren, betyr dette at ytterligere (n-3) diagonaler kan tegnes i alle (n-3)-firkanter. Basert på dette kan vi konkludere med at i enhver vanlig partisjon er det mulig å tegne (n-3)-diagonaler som oppfyller betingelsene for dette problemet.
Area med konvekse polygoner
Ofte, når man løser ulike problemer med elementær geometri, blir det nødvendig å bestemme arealet til en konveks polygon. Anta at (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n er sekvensen av koordinater til alle nabopunktene til en polygon som ikke har selvskjæringspunkter. I dette tilfellet beregnes arealet ved hjelp av følgende formel:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), hvor (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
