Trekant, firkant, sekskant - disse figurene er kjent for nesten alle. Men ikke alle vet hva en vanlig polygon er. Men disse er alle de samme geometriske formene. En vanlig polygon er en som har like vinkler og sider. Det finnes mange slike figurer, men de har alle de samme egenskapene, og de samme formlene gjelder for dem.
Egenskaper for vanlige polygoner
Enhver vanlig polygon, enten det er en firkant eller en åttekant, kan skrives inn i en sirkel. Denne grunnleggende egenskapen brukes ofte når man konstruerer en figur. I tillegg kan en sirkel også skrives inn i en polygon. I dette tilfellet vil antall kontaktpunkter være lik antall sider. Det er viktig at en sirkel innskrevet i en vanlig polygon har et felles sentrum med seg. Disse geometriske figurene er underlagt de samme teoremene. Enhver sideav en regulær n-gon er relatert til radius R til sirkelen som er omskrevet rundt den. Derfor kan den beregnes ved hjelp av følgende formel: a=2R ∙ sin180°. Gjennom radiusen til sirkelen kan du finne ikke bare sidene, men også omkretsen til polygonen.
Hvordan finne antall sider i en vanlig polygon
Enhver vanlig n-gon består av et visst antall segmenter lik hverandre, som når de er koblet sammen danner en lukket linje. I dette tilfellet har alle hjørnene på den dannede figuren samme verdi. Polygoner er delt inn i enkle og komplekse. Den første gruppen inkluderer en trekant og en firkant. Komplekse polygoner har flere sider. De inkluderer også stjerneformede figurer. For komplekse vanlige polygoner finner man sidene ved å skrive dem inn i en sirkel. La oss gi et bevis. Tegn en vanlig polygon med et vilkårlig antall sider n. Beskriv en sirkel rundt den. Spesifiser radius R. Tenk deg nå at det er gitt noe n-gon. Hvis punktene til vinklene ligger på en sirkel og er like med hverandre, kan sidene finnes ved formelen: a=2R ∙ sinα: 2.
Finne antall sider i en påskrevet regulær trekant
En likesidet trekant er en vanlig polygon. De samme formlene gjelder for den som for kvadratet og n-gonen. En trekant vil anses som riktig hvis den har like lange sider. I dette tilfellet er vinklene 60⁰. Konstruer en trekant med gitt sidelengde a. Å kjenne dens median og høyde,du kan finne verdien av sidene. For å gjøre dette, vil vi bruke metoden for å finne gjennom formelen a \u003d x: cosα, der x er medianen eller høyden. Siden alle sider i trekanten er like, får vi a=b=c. Da vil følgende utsagn være sann a=b=c=x: cosα. På samme måte kan du finne verdien av sidene i en likebenet trekant, men x vil være den gitte høyden. Samtidig bør det projiseres strengt på bunnen av figuren. Så når vi kjenner høyden x, finner vi siden a i en likebenet trekant ved å bruke formelen a \u003d b \u003d x: cosα. Etter å ha funnet verdien av a, kan du beregne lengden på basen c. La oss bruke Pythagoras teorem. Vi vil se etter verdien av halve basen c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Da er c=2xtanα. Her er en enkel måte å finne antall sider av en påskrevet polygon.
Regn ut sidene av en firkant innskrevet i en sirkel
Som alle andre innskrevet regulære polygoner, har en firkant like sider og vinkler. De samme formlene gjelder for den som for trekanten. Du kan beregne sidene til et kvadrat ved å bruke verdien av diagonalen. La oss vurdere denne metoden mer detaljert. Det er kjent at diagonalen halverer vinkelen. Opprinnelig var verdien 90 grader. Etter deling dannes altså to rettvinklede trekanter. Basisvinklene deres vil være 45 grader. Følgelig vil hver side av kvadratet være lik, det vil si: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, hvor e er diagonalen til kvadratet, eller basen til den rette trekanten dannet etter deling. Det er ikke den eneste måtenfinne sidene til en firkant. La oss skrive inn denne figuren i en sirkel. Når vi kjenner radiusen til denne sirkelen R, finner vi siden av kvadratet. Vi vil beregne det som følger a4=R√2. Radiene til regulære polygoner beregnes med formelen R=a: 2tg (360o: 2n), der a er sidelengden.
Hvordan beregne omkretsen til en n-gon
Omkretsen til en n-gon er summen av alle sidene. Det er lett å beregne det. For å gjøre dette, må du kjenne verdiene til alle sider. For noen typer polygoner finnes det spesielle formler. De lar deg finne omkretsen mye raskere. Det er kjent at enhver vanlig polygon har like sider. Derfor, for å beregne omkretsen, er det nok å kjenne til minst en av dem. Formelen vil avhenge av antall sider av figuren. Generelt ser det slik ut: P \u003d an, der a er verdien av siden, og n er antall vinkler. For å finne omkretsen til en vanlig åttekant med en side på 3 cm, må du for eksempel gange den med 8, det vil si P=3 ∙ 8=24 cm. For en sekskant med en side på 5 cm, beregner vi som følger: P=5 ∙ 6=30 cm. Og så for hver polygon.
Finne omkretsen til et parallellogram, en firkant og en rombe
Avhengig av hvor mange sider en vanlig polygon har, beregnes omkretsen. Dette gjør oppgaven mye enklere. Faktisk, i motsetning til andre figurer, er det i dette tilfellet ikke nødvendig å se etter alle sidene, bare en er nok. Etter samme prinsipp finner vi omkretsen klfirkanter, det vil si en firkant og en rombe. Til tross for at dette er forskjellige figurer, er formelen for dem den samme P=4a, hvor a er siden. La oss ta et eksempel. Hvis siden av en rombe eller firkant er 6 cm, finner vi omkretsen som følger: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Et parallellogram har bare motsatte sider. Derfor blir omkretsen funnet ved hjelp av en annen metode. Så vi må vite lengden a og bredden b på figuren. Deretter bruker vi formelen P=(a + c) ∙ 2. Et parallellogram, der alle sider og vinkler mellom dem er like, kalles en rombe
Finne omkretsen til en likesidet og rettvinklet trekant
Omkretsen til en regulær likesidet trekant kan finnes ved formelen P=3a, der a er lengden på siden. Hvis det er ukjent, kan det bli funnet gjennom medianen. I en rettvinklet trekant er bare to sider like. Grunnlaget kan finnes gjennom Pythagoras teorem. Etter at verdiene for alle tre sidene blir kjent, beregner vi omkretsen. Det kan bli funnet ved å bruke formelen P \u003d a + b + c, der a og b er like sider, og c er basen. Husk at i en likebenet trekant a \u003d b \u003d a, derfor a + b \u003d 2a, deretter P \u003d 2a + c. For eksempel er siden av en likebenet trekant 4 cm, finn basen og omkretsen. Vi beregner verdien av hypotenusen ved å bruke Pythagoras teorem c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Nå beregner vi omkretsen Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Hvordan finne hjørnene til en vanlig polygon
Vanlig polygonforekommer i livene våre hver dag, for eksempel en vanlig firkant, trekant, åttekant. Det ser ut til at det ikke er noe enklere enn å bygge denne figuren selv. Men dette er bare ved første øyekast. For å konstruere en hvilken som helst n-gon, må du vite verdien av vinklene. Men hvordan finner du dem? Til og med antikkens forskere prøvde å bygge vanlige polygoner. De gjettet å passe dem inn i sirkler. Og så ble de nødvendige punktene merket på den, forbundet med rette linjer. For enkle figurer er konstruksjonsproblemet løst. Formler og teoremer er innhentet. For eksempel var Euclid i sitt berømte verk "The Beginning" engasjert i å løse problemer for 3-, 4-, 5-, 6- og 15-gons. Han fant måter å konstruere dem og finne vinkler. La oss se hvordan du gjør dette for en 15-gons. Først må du beregne summen av de indre vinklene. Det er nødvendig å bruke formelen S=180⁰(n-2). Så vi får en 15-gon, som betyr at tallet n er 15. Vi erstatter dataene vi kjenner inn i formelen og får S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Vi har funnet summen av alle innvendige vinkler til en 15-gon. Nå må vi få verdien av hver av dem. Det er tot alt 15 vinkler. Vi regner ut 2340⁰: 15=156⁰. Dette betyr at hver indre vinkel er 156⁰, nå ved å bruke en linjal og et kompass kan du bygge en vanlig 15-gon. Men hva med mer komplekse n-goner? I århundrer har forskere kjempet for å løse dette problemet. Den ble først funnet på 1700-tallet av Carl Friedrich Gauss. Han var i stand til å bygge en 65537-gon. Siden den gang er problemet offisielt ansett som fullstendig løst.
Beregning av vinkler for n-goneri radianer
Selvfølgelig er det flere måter å finne hjørnene til polygoner på. Oftest beregnes de i grader. Men du kan også uttrykke dem i radianer. Hvordan gjøre det? Det er nødvendig å fortsette som følger. Først finner vi ut antall sider av en vanlig polygon, og trekker deretter fra 2. Så vi får verdien: n - 2. Multipliser den funnet forskjellen med tallet n ("pi"=3, 14). Nå gjenstår det bare å dele det resulterende produktet med antall vinkler i n-gonen. Vurder disse beregningene ved å bruke eksemplet med den samme femtensidige. Så tallet n er 15. Bruk formelen S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Dette, selvfølgelig, er ikke den eneste måten å beregne vinkel i radianer. Du kan ganske enkelt dele størrelsen på vinkelen i grader med tallet 57, 3. Tross alt tilsvarer så mange grader én radian.
Beregn verdien av vinkler i grader
I tillegg til grader og radianer, kan du prøve å finne verdien av vinklene til en vanlig polygon i grader. Dette gjøres på følgende måte. Trekk 2 fra det totale antallet vinkler, del den resulterende forskjellen på antall sider i en vanlig polygon. Vi multipliserer det funnet resultatet med 200. Forresten, en slik måleenhet for vinkler som hagl brukes praktisk t alt ikke.
Beregning av ytre vinkler for n-goner
For enhver vanlig polygon, bortsett fra den interne, kan du også beregne den ytre vinkelen. Verdien finnes på samme måte som for andre figurer. Så for å finne den ytre vinkelen til en vanlig polygon, trenger dukjenne betydningen av det indre. Videre vet vi at summen av disse to vinklene alltid er 180 grader. Derfor gjør vi beregningene som følger: 180⁰ minus verdien av den indre vinkelen. Vi finner forskjellen. Den vil være lik verdien av vinkelen ved siden av den. For eksempel er det indre hjørnet av en firkant 90 grader, så den ytre vinkelen vil være 180⁰ - 90⁰=90⁰. Som vi kan se, er det ikke vanskelig å finne den. Den ytre vinkelen kan ha en verdi fra henholdsvis +180⁰ til -180⁰.
