Hvis den lineære bevegelsen til legemer er beskrevet i klassisk mekanikk ved hjelp av Newtons lover, så beregnes egenskapene til bevegelsen til mekaniske systemer langs sirkulære baner ved hjelp av et spesielt uttrykk, som kalles momentlikningen. Hvilke øyeblikk snakker vi om og hva er meningen med denne ligningen? Disse og andre spørsmål avsløres i artikkelen.
styrkeøyeblikk
Alle er godt klar over den newtonske kraften, som, som virker på kroppen, fører til at den gir akselerasjon. Når en slik kraft påføres et objekt som er festet på en bestemt rotasjonsakse, kalles denne egenskapen vanligvis kraftmomentet. Kraftmomentlikningen kan skrives som følger:
M¯=L¯F¯
Bildet som forklarer dette uttrykket er vist nedenfor.
Her kan du se at kraften F¯ er rettet mot vektoren L¯ i en vinkel Φ. Selve vektoren L¯ antas å være rettet fra rotasjonsaksen (angitt med pilen) til påføringspunktetF¯.
Formelen ovenfor er et produkt av to vektorer, så M¯ er også retningsbestemt. Hvor vil kraftmomentet M¯ bli snudd? Dette kan bestemmes av høyrehåndsregelen (fire fingre er rettet langs banen fra slutten av vektoren L¯ til slutten av F¯, og venstre tommel indikerer retningen til M¯).
I figuren ovenfor vil uttrykket for kraftmomentet i skalarform ha formen:
M=LFsin(Φ)
Hvis du ser nøye på figuren, kan du se at Lsin(Φ)=d, da har vi formelen:
M=dF
Verdien av d er en viktig egenskap ved beregning av kraftmomentet, da den gjenspeiler effektiviteten til den påførte F til systemet. Denne verdien kalles kraftspaken.
Den fysiske betydningen av M ligger i kraftens evne til å rotere systemet. Alle kan føle denne evnen hvis de åpner døren ved håndtaket, skyver den nær hengslene, eller hvis de prøver å skru av mutteren med en kort og lang nøkkel.
Equilibrium of the system
Konseptet kraftmoment er veldig nyttig når man vurderer likevekten til et system som påvirkes av flere krefter og har en akse eller rotasjonspunkt. I slike tilfeller bruker du formelen:
∑iMi¯=0
Det vil si at systemet vil være i likevekt hvis summen av alle kreftmomenter påført det er null. Merk at i denne formelen er det et vektortegn over øyeblikket, det vil si at når man løser, bør man ikke glemme å ta hensyn til tegnet på dettemengder. Den generelt aksepterte regelen er at den virkende kraften som roterer systemet mot klokken skaper en positiv Mi¯.
Et slående eksempel på problemer av denne typen er problemer med balansen mellom Arkimedes' spaker.
Moment of momentum
Dette er en annen viktig egenskap ved sirkulær bevegelse. I fysikk beskrives det som produktet av momentumet og spaken. Momentum-ligningen ser slik ut:
T¯=r¯p¯
Her er p¯ momentumvektoren, r¯ er vektoren som forbinder det roterende materialpunktet med aksen.
Figuren nedenfor illustrerer dette uttrykket.
Her er ω vinkelhastigheten, som vil vises lenger i momentligningen. Merk at retningen til vektoren T¯ er funnet av samme regel som M¯. I figuren ovenfor vil T¯ i retning falle sammen med vinkelhastighetsvektoren ω¯.
Den fysiske betydningen av T¯ er den samme som egenskapene til p¯ når det gjelder lineær bevegelse, dvs. vinkelmomentum beskriver mengden rotasjonsbevegelse (lagret kinetisk energi).
treghetsøyeblikk
Den tredje viktige egenskapen, uten hvilken det er umulig å formulere bevegelseslikningen til et roterende objekt, er treghetsmomentet. Det vises i fysikk som et resultat av matematiske transformasjoner av formelen for vinkelmomentet til et materiell punkt. La oss vise deg hvordan det gjøres.
La oss forestille oss verdienT¯ som følger:
T¯=r¯mv¯, hvor p¯=mv¯
Ved å bruke forholdet mellom vinkel- og lineære hastigheter, kan vi omskrive dette uttrykket som følger:
T¯=r¯mr¯ω¯, hvor v¯=r¯ω¯
Skriv det siste uttrykket som følger:
T¯=r2mω¯
Verdien r2m er treghetsmomentet I for et massepunkt m som gjør en sirkulær bevegelse rundt en akse i en avstand r fra det. Dette spesielle tilfellet lar oss introdusere den generelle ligningen for treghetsmomentet for en kropp med vilkårlig form:
I=∫m (r2dm)
I er en additiv mengde, hvis betydning ligger i tregheten til det roterende systemet. Jo større I, desto vanskeligere er det å spinne kroppen, og det krever betydelig innsats å stoppe den.
Øyeblikksligning
Vi har vurdert tre mengder, hvis navn begynner med ordet "øyeblikk". Dette ble gjort med vilje, siden de alle er koblet sammen i ett uttrykk, k alt 3-moment-ligningen. La oss få det ut.
Tenk på uttrykket for vinkelmomentet T¯:
T¯=Iω¯
Finn hvordan verdien av T¯ endres over tid, vi har:
dT¯/dt=Idω¯/dt
Gitt at den deriverte av vinkelhastigheten er lik den av den lineære hastigheten delt på r, og utvider verdien av I, kommer vi til uttrykket:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, der a¯=dv¯/dt er lineær akselerasjon.
Merk at produktet av masse og akselerasjon ikke er annet enn den virkende ytre kraften F¯. Som et resultat får vi:
dT¯/dt=rF¯=M¯
Vi kom til en interessant konklusjon: endringen i vinkelmomentumet er lik momentet til den virkende ytre kraften. Dette uttrykket er vanligvis skrevet i en litt annen form:
M¯=Iα¯, hvor α¯=dω¯/dt - vinkelakselerasjon.
Denne likheten kalles øyeblikksligningen. Den lar deg beregne hvilken som helst karakteristikk av en roterende kropp, kjenne til parametrene til systemet og størrelsen på den ytre påvirkningen på den.
Bevaringslov T¯
Konklusjonen oppnådd i forrige avsnitt indikerer at hvis det ytre kraftmomentet er lik null, vil ikke vinkelmomentet endres. I dette tilfellet skriver vi uttrykket:
T¯=konst. eller I1ω1¯=I2ω2 ¯
Denne formelen kalles loven om bevaring av T¯. Det vil si at endringer i systemet ikke endrer det totale vinkelmomentet.
Dette faktum brukes av kunstløpere og ballerinaer under deres opptredener. Den brukes også hvis det er nødvendig å rotere en kunstig satellitt som beveger seg i rommet rundt sin akse.
