Loven om bevaring av momentum og vinkelmomentum: et eksempel på å løse problemet

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Når du skal løse problemer i fysikk om bevegelse av objekter, viser det seg ofte å være nyttig å anvende loven om bevaring av momentum. Hva som er momentumet for den lineære og sirkulære bevegelsen til kroppen, og hva som er essensen av loven om bevaring av denne verdien, diskuteres i artikkelen.

Konseptet med lineært momentum

Historiske data viser at denne verdien for første gang ble vurdert i hans vitenskapelige arbeider av Galileo Galilei på begynnelsen av 1600-tallet. Deretter klarte Isaac Newton å harmonisk integrere begrepet momentum (et mer korrekt navn for momentum) i den klassiske teorien om bevegelse av objekter i rommet.

Betegn momentum som p¯, så vil formelen for beregningen bli skrevet som:

p¯=mv¯.

Her er m massen, v¯ er hastigheten (vektorverdien) til bevegelsen. Denne likheten viser at mengden av bevegelse er hastigheten som er karakteristisk for et objekt, hvor massen spiller rollen som en multiplikasjonsfaktor. Antall bevegelserer en vektormengde som peker i samme retning som hastigheten.

Intuitivt, jo større bevegelseshastighet og kroppens masse, desto vanskeligere er det å stoppe den, det vil si, jo større kinetisk energi har den.

Mengden av bevegelse og dens endring

Du kan gjette at for å endre p¯-verdien til kroppen, må du bruke litt kraft. La kraften F¯ virke i tidsintervallet Δt, så lar Newtons lov oss skrive likheten:

F¯Δt=ma¯Δt; derfor F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Verdien lik produktet av tidsintervallet Δt og kraften F¯ kalles impulsen til denne kraften. Siden det viser seg å være lik endringen i momentum, kalles sistnevnte ofte bare momentum, noe som tyder på at en ekstern kraft F skapte den.

Dermed er årsaken til endringen i momentum momentumet til den ytre kraften. Verdien av Δp¯ kan føre både til en økning i verdien av p¯ hvis vinkelen mellom F¯ og p¯ er spiss, og til en reduksjon i modulen til p¯ hvis denne vinkelen er stump. De enkleste tilfellene er kroppens akselerasjon (vinkelen mellom F¯ og p¯ er null) og retardasjon (vinkelen mellom vektorene F¯ og p¯ er 180o).

Når momentum er bevart: lov

Hvis kroppssystemet ikke er detytre krefter virker, og alle prosesser i den er bare begrenset av den mekaniske interaksjonen mellom komponentene, så forblir hver komponent av momentumet uendret i vilkårlig lang tid. Dette er loven om bevaring av momentum til legemer, som er matematisk skrevet som følger:

p¯=∑_ip_{i¯=const or}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_iz=const.

Senket i er et heltall som teller objektet til systemet, og indeksene x, y, z beskriver momentumkomponentene for hver av koordinataksene i det kartesiske rektangulære systemet.

I praksis er det ofte nødvendig å løse endimensjonale problemer for kollisjon av kropper, når startforholdene er kjent, og det er nødvendig å bestemme tilstanden til systemet etter sammenstøtet. I dette tilfellet er momentum alltid bevart, noe som ikke kan sies om kinetisk energi. Sistnevnte før og etter påvirkningen vil være uendret bare i et enkelt tilfelle: når det er en absolutt elastisk interaksjon. For dette tilfellet med kollisjon mellom to kropper som beveger seg med hastighetene v₁ og v_{2, vil formelen for bevaring av momentum ha formen:}

m₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Her karakteriserer hastighetene u₁ og u_{2 kroppens bevegelser etter sammenstøtet. Merk at i denne formen av bevaringsloven er det nødvendig å ta hensyn til tegnet på hastighetene: hvis de er rettet mot hverandre, bør en taspositiv og den andre negativ.}

For en perfekt uelastisk kollisjon (to kropper henger sammen etter sammenstøt), har loven om bevaring av momentum formen:

m₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Løsning av problemet med loven om bevaring av p¯

La oss løse følgende problem: to baller ruller mot hverandre. Massene til kulene er de samme, og hastighetene deres er 5 m/s og 3 m/s. Forutsatt at det er en absolutt elastisk kollisjon, er det nødvendig å finne hastigheten på ballene etter den.

Ved å bruke momentum-konserveringsloven for det endimensjonale tilfellet, og tar i betraktning at den kinetiske energien er bevart etter sammenstøtet, skriver vi:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Her reduserte vi umiddelbart massene til kulene på grunn av deres likestilling, og tok også hensyn til at kroppene beveger seg mot hverandre.

Det er lettere å fortsette å løse systemet hvis du erstatter kjente data. Vi får:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Ved å erstatte u_{1 i den andre ligningen, får vi:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; derfor,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Vi har den klassiske andregradsligningen. Vi løser det gjennom diskriminanten, vi får:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Vi har to løsninger. Hvis vi erstatter dem i det første uttrykket og definerer u₁, får vi følgende verdi: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. Det andre tallparet er gitt i tilstanden til problemet, så det samsvarer ikke med den reelle fordelingen av hastigheter etter sammenstøtet.}

Dermed gjenstår bare én løsning: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Dette merkelige resultatet betyr at i en sentral elastisk kollisjon utveksler to kuler med samme masse ganske enkelt hastigheten.}

Moment of momentum

Alt som ble sagt ovenfor refererer til den lineære typen bevegelse. Det viser seg imidlertid at lignende mengder også kan introduseres ved sirkulær forskyvning av legemer rundt en bestemt akse. Vinkelmomentet, som også kalles vinkelmomentum, beregnes som produktet av vektoren som forbinder materialpunktet med rotasjonsaksen og momentumet til dette punktet. Det vil si at formelen finner sted:

L¯=r¯p¯, hvor p¯=mv¯.

Momentum, som p¯, er en vektor som er rettet vinkelrett på planet bygget på vektorene r¯ og p¯.

Verdien av L¯ er en viktig egenskap ved et roterende system, siden det bestemmer energien som er lagret i det.

Moment of momentum og bevaringslov

Vinkelmomentet bevares hvis ingen ytre krefter virker på systemet (vanligvis sier de at det ikke er noe moment av krefter). Uttrykket i forrige avsnitt, gjennom enkle transformasjoner, kan skrives i en form som er mer praktisk for praksis:

L¯=Iω¯, der I=mr2 er treghetsmomentet til materialpunktet, ω¯ er vinkelhastigheten.

Treghetsmomentet I, som dukket opp i uttrykket, har nøyaktig samme betydning for rotasjon som den vanlige massen for lineær bevegelse.

Hvis det er noen intern omorganisering av systemet, der I endres, så forblir ikke ω¯ konstant. Dessuten skjer endringen i begge fysiske størrelsene på en slik måte at likheten nedenfor forblir gyldig:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Dette er loven om bevaring av vinkelmomentum L¯. Dens manifestasjon ble observert av hver person som minst en gang deltok på ballett eller kunstløp, der idrettsutøvere utfører piruetter med rotasjon.