Studium av egenskapene til gassaggregatets tilstand er et av de viktige områdene i moderne fysikk. Med tanke på gasser i mikroskopisk skala, kan man få alle de makroskopiske parameterne til systemet. Denne artikkelen vil avsløre et viktig spørsmål om den molekylære kinetiske teorien om gasser: hva er Maxwell-fordelingen av molekyler når det gjelder hastigheter.
Historisk bakgrunn
Ideen om gass som et system av mikroskopiske bevegelige partikler oppsto i antikkens Hellas. Det tok mer enn 1700 år før vitenskapen utviklet den.
Grunneren av den moderne molekylær-kinetiske teorien (MKT) om gass er rimelig å vurdere Daniil Bernoulli. I 1738 publiserte han et verk k alt "Hydrodynamics". I den skisserte Bernoulli ideene til MKT som har blitt brukt til i dag. Så forskeren trodde at gasser er sammensatt av partikler som beveger seg tilfeldig i alle retninger. Tallrike kollisjonerpartikler med karvegger oppfattes som tilstedeværelse av trykk i gasser. Partikkelhastigheter er nært knyttet til temperaturen i systemet. Det vitenskapelige samfunnet godtok ikke Bernoullis dristige ideer fordi loven om bevaring av energi ennå ikke var etablert.
Deretter var mange forskere engasjert i å bygge en kinetisk modell av gasser. Blant dem bør Rudolf Clausius nevnes, som i 1857 laget en enkel gassmodell. I den ga forskeren spesiell oppmerksomhet til tilstedeværelsen av translasjons-, rotasjons- og vibrasjonsgrader av frihet i molekyler.
I 1859, ved å studere arbeidet til Clausius, formulerte James Maxwell den såk alte Maxwell-fordelingen over molekylære hastigheter. Faktisk bekreftet Maxwell ideene til MKT, og støttet dem med et matematisk apparat. Deretter generaliserte Ludwig Boltzmann (1871) konklusjonene fra Maxwell-fordelingen. Han postulerte en mer generell statistisk fordeling av molekyler over hastigheter og energier. Den er for tiden kjent som Maxwell-Boltzmann-distribusjonen.
Ideell gass. Grunnleggende postulater av ILC
For å forstå hva Maxwell-distribusjonsfunksjonen er, må du forstå systemene som denne funksjonen gjelder for. Vi snakker om en ideell gass. I fysikk forstås dette konseptet som et flytende stoff, som består av praktisk t alt dimensjonsløse partikler som ikke har potensiell energi. Disse partiklene beveger seg i høye hastigheter, så oppførselen deres er fullstendig bestemt av kinetisk energi. Dessuten er avstandene mellom partiklene for store tilsammenlignet med størrelsene deres, så sistnevnte blir neglisjert.
Ideelle gasser er beskrevet i MKT. Hovedpostulatene er som følger:
- gasssystemer består av et stort antall frie partikler;
- partikler beveger seg tilfeldig med forskjellige hastigheter i forskjellige retninger langs rette baner;
- partikler kolliderer med karvegger elastisk (sannsynligheten for at partikler kolliderer med hverandre er lav på grunn av deres lille størrelse);
- Temperaturen i systemet er unikt bestemt av den gjennomsnittlige kinetiske energien til partiklene, som bevares i tid hvis termodynamisk likevekt etableres i systemet.
Maxwells distribusjonslov
Hvis en person hadde et instrument som det var mulig å måle hastigheten til et enkelt gassmolekyl med, ville han bli overrasket etter å ha utført et passende eksperiment. Eksperimentet ville vise at hvert molekyl i ethvert gassformig system beveger seg med en fullstendig vilkårlig hastighet. I dette tilfellet, innenfor rammen av ett system i termisk likevekt med omgivelsene, vil både veldig langsomme og veldig raske molekyler bli oppdaget.
Maxwells lov om hastighetsfordeling av gassmolekyler er et verktøy som lar deg bestemme sannsynligheten for å oppdage partikler med en gitt hastighet v i systemet som studeres. Den tilsvarende funksjonen ser slik ut:
f(v)=(m/(2pikT))3/24piv2 exp(-mv2/(2kT)).
I dette uttrykket, m -partikkel (molekyl) masse, k - Boltzmanns konstant, T - absolutt temperatur. Således, hvis den kjemiske naturen til partiklene (verdien av m) er kjent, er funksjonen f(v) unikt bestemt av den absolutte temperaturen. Funksjonen f(v) kalles sannsynlighetstettheten. Hvis vi tar integralet fra den for en eller annen fartsgrense (v; v+dv), så får vi antall partikler Ni, som har hastigheter i det angitte intervallet. Følgelig, hvis vi tar integralet av sannsynlighetstettheten f(v) for hastighetsgrensene fra 0 til ∞, får vi det totale antallet molekyler N i systemet.
Grafisk representasjon av sannsynlighetstettheten f(v)
Sannsynlighetstetthetsfunksjonen har en noe kompleks matematisk form, så det er ikke lett å representere dens oppførsel ved en gitt temperatur. Dette problemet kan løses hvis du viser det på en todimensjonal graf. En skjematisk visning av Maxwells distribusjonsgraf er vist nedenfor i figuren.
Vi ser at det starter fra null, siden hastigheten v til molekyler ikke kan ha negative verdier. Grafen ender et sted i området med høye hastigheter, og faller jevnt til null (f(∞)->0). Følgende funksjon er også slående: den jevne kurven er asymmetrisk, den avtar kraftigere for små hastigheter.
Et viktig trekk ved oppførselen til sannsynlighetstetthetsfunksjonen f(v) er tilstedeværelsen av ett utt alt maksimum på den. I henhold til den fysiske betydningen av funksjonen tilsvarer dette maksimum den mest sannsynlige verdien av hastighetene til molekylene i gassensystem.
Viktige hastigheter for funksjonen f(v)
Sannsynlighetstetthetsfunksjonen f(v) og dens grafiske representasjon lar oss definere tre viktige hastighetstyper.
Den første typen hastighet som er åpenbar og som ble nevnt ovenfor, er den mest sannsynlige hastigheten v1. På grafen tilsvarer verdien maksimum av funksjonen f(v). Det er denne hastigheten og verdiene nær den som vil ha de fleste partiklene i systemet. Det er ikke vanskelig å beregne det, for dette er det nok å ta den første deriverte med hensyn til hastigheten til funksjonen f(v) og likestille den til null. Som et resultat av disse matematiske operasjonene får vi det endelige resultatet:
v1=√(2RT/M).
Her er R den universelle gasskonstanten, M er den molare massen til molekyler.
Den andre typen hastighet er gjennomsnittsverdien for alle N-partikler. La oss betegne det v2. Den kan beregnes ved å integrere funksjonen vf(v) over alle hastigheter. Resultatet av den bemerkede integrasjonen vil være følgende formel:
v2=√(8RT/(piM)).
Fordi forholdet er 8/pi>2, er gjennomsnittshastigheten alltid litt høyere enn den mest sannsynlige.
Alle som kan litt om fysikk forstår at gjennomsnittshastigheten v2 av molekyler må ha stor betydning i et gasssystem. Dette er imidlertid en feilaktig antagelse. Mye viktigere er RMS-hastigheten. La oss betegne detv3.
I henhold til definisjonen er rot-middelkvadrathastighet summen av kvadratene av de individuelle hastighetene til alle partiklene, delt på antallet av disse partiklene, og tatt som kvadratroten. Det kan beregnes for Maxwell-fordelingen hvis vi definerer integralet over alle hastighetene til funksjonen v2f(v). Formelen for gjennomsnittlig kvadratisk hastighet vil ha formen:
v3=√(3RT/M).
Equality viser at denne hastigheten er høyere enn v2 og v1 for ethvert gasssystem.
Dermed ligger alle betraktede typer hastigheter på Maxwell-fordelingsgrafen enten på ytterkanten eller til høyre for den.
Betydningen av v3
Det ble bemerket ovenfor at gjennomsnittlig kvadrathastighet er viktigere for å forstå de fysiske prosessene og egenskapene til et gasssystem enn den enkle gjennomsnittshastigheten v2. Dette er sant, siden den kinetiske energien til en ideell gass avhenger nøyaktig av v3, og ikke av v2.
Hvis vi vurderer en monoatomisk idealgass, er følgende uttrykk sant for den:
mv32/2=3/2kT.
Her representerer hver del av ligningen den kinetiske energien til en partikkel med masse m. Hvorfor inneholder uttrykket nøyaktig verdien v3, og ikke gjennomsnittshastigheten v2? Veldig enkelt: når man bestemmer den kinetiske energien til hver partikkel, blir dens individuelle hastighet v kvadratert, deretter alle hastigheterlegges til og divideres med antall partikler N. Det vil si at prosedyren for å bestemme den kinetiske energien i seg selv fører til verdien av middelkvadrathastigheten.
Funksjonsavhengighet f(v) av temperatur
Vi har fastslått ovenfor at sannsynlighetstettheten til molekylære hastigheter unikt avhenger av temperaturen. Hvordan vil funksjonen endres hvis T økes eller reduseres? Diagrammet nedenfor hjelper deg med å svare på dette spørsmålet.
Det kan sees at oppvarmingen av det lukkede systemet fører til utsmøring av toppen og dens forskyvning mot høyere hastigheter. En økning i temperaturen fører til en økning i alle typer hastigheter og til en reduksjon i sannsynlighetstettheten til hver av dem. Toppverdien avtar på grunn av bevaring av antall partikler N i et lukket system.
Deretter vil vi løse et par problemer for å konsolidere det mottatte teoretiske materialet.
Problem med nitrogenmolekyler i luften
Det er nødvendig å beregne hastighetene v1, v2 og v3 for luftnitrogen ved en temperatur på 300 K (ca. 27 oC).
Den molare massen av nitrogen N2 er 28 g/mol. Ved å bruke formlene ovenfor får vi:
v1=√(2RT/M)=√(28, 314300/0, 028)=422 m/s;
v2=√(8RT/(piM))=√(88, 314300/(3, 140, 028))=476 m/s;
v3=√(3RT/M)=√(38, 314300/0, 028)=517 m/s.
Problem med oksygentank
Oksygenet i sylinderen hadde en viss temperatur T1. Deretter ble ballongen plassert i et kaldere rom. Hvordan vil Maxwell-hastighetsfordelingsplottet for oksygenmolekyler endre seg når systemet kommer til termodynamisk likevekt?
Når vi husker teorien, kan vi svare på spørsmålet om problemet på denne måten: verdiene til alle typer hastigheter til molekyler vil avta, toppen av funksjonen f(v) vil skifte til venstre, bli smalere og høyere.
