Hva er en betinget sannsynlighet og hvordan beregner jeg den riktig?

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:38

Ofte i livet står vi overfor behovet for å vurdere sjansene for at en hendelse inntreffer. Om det er verdt å kjøpe et lodd eller ikke, hva blir kjønnet til det tredje barnet i familien, om været blir klart i morgen eller det kommer til å regne igjen – det finnes utallige slike eksempler. I det enkleste tilfellet bør du dele antall gunstige utfall på det totale antallet hendelser. Hvis det er 10 vinnerlodd i lotteriet, og det er 50 tot alt, så er sjansen for å få en premie 10/50=0,2, altså 20 mot 100. Men hva om det er flere arrangementer, og de er tett på i slekt? I dette tilfellet vil vi ikke lenger være interessert i enkel, men i betinget sannsynlighet. Hva denne verdien er og hvordan den kan beregnes - dette vil bli diskutert i vår artikkel.

konsept

Betinget sannsynlighet er sjansen for at en bestemt hendelse inntreffer, gitt at en annen relatert hendelse allerede har skjedd. Tenk på et enkelt eksempel medkaste en mynt. Hvis det ikke har vært uavgjort ennå, vil sjansene for å få hoder eller haler være de samme. Men hvis mynten fem ganger på rad lå med våpenskjoldet opp, så godta å forvente den 6., 7. og enda mer den 10. repetisjonen av et slikt utfall ville være ulogisk. Med hver gjentatt overskrift vokser sjansene for at haler dukker opp, og før eller siden faller den ut.

Betinget sannsynlighetsformel

La oss nå finne ut hvordan denne verdien beregnes. La oss betegne den første hendelsen som B, og den andre som A. Hvis sjansene for forekomst av B er forskjellig fra null, vil følgende likhet være gyldig:

P (A|B)=P (AB) / P (B), hvor:

• P (A|B) – betinget sannsynlighet for utfall A;
• P (AB) - sannsynligheten for felles forekomst av hendelser A og B;
• P (B) – sannsynlighet for hendelse B.

Ved å transformere dette forholdet litt, får vi P (AB)=P (A|B)P (B). Og hvis vi bruker metoden for induksjon, kan vi utlede produktformelen og bruke den for et vilkårlig antall hendelser:

P (A₁, A₂, A₃, …A p _{)=P (A}1_|A2_…Ap _{)P(A 2}|A₃…A_p)P (A 3_|A 4_…Ap_{)… R (A}p-1 |A_p)R (A_p).

Øv

For å gjøre det lettere å forstå hvordan den betingede sannsynligheten for en hendelse beregnes, la oss se på et par eksempler. Anta at det er en vase som inneholder 8 sjokolader og 7 mynte. De er like store og tilfeldige.to av dem trekkes ut etter hverandre. Hva er sjansene for at begge blir sjokolade? La oss introdusere notasjon. La resultatet A bety at det første godteriet er sjokolade, resultatet B er det andre sjokoladegodteriet. Da får du følgende:

P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27

La oss vurdere en sak til. Anta at det er en familie på to barn og vi vet at minst ett barn er en jente.

Hva er den betingede sannsynligheten for at disse foreldrene ikke har gutter ennå? Som i forrige tilfelle starter vi med notasjon. La P(B) være sannsynligheten for at det er minst én jente i familien, P(A|B) være sannsynligheten for at det andre barnet også er en jente, P(AB) er sjansene for at det er to jenter i familien. La oss nå gjøre beregningene. Tot alt kan det være 4 forskjellige kombinasjoner av kjønn på barn, og i dette tilfellet, bare i ett tilfelle (når det er to gutter i familien), vil det ikke være noen jente blant barna. Derfor er sannsynligheten P (B)=3/4, og P (AB)=1/4. Deretter, etter formelen vår, får vi:

P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.

Resultatet kan tolkes som følger: hvis vi ikke visste kjønnet til ett av barna, ville sjansen for to jenter vært 25 mot 100. Men siden vi vet at ett barn er en jente, sannsynligheten for at guttefamilien nei, øker til en tredjedel.