Hvordan beregner jeg arealet til en pyramide: base, side og full?

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Når de forbereder seg til eksamen i matematikk, må studentene systematisere sine kunnskaper om algebra og geometri. Jeg vil gjerne kombinere all kjent informasjon, for eksempel hvordan man beregner arealet til en pyramide. Videre starter fra bunnen og sideflatene til hele overflaten. Hvis situasjonen er klar med sideflatene, siden de er trekanter, er basen alltid annerledes.

Hvordan finner jeg arealet av bunnen av pyramiden?

Det kan være absolutt hvilken som helst form: fra en vilkårlig trekant til en n-gon. Og denne basen, i tillegg til forskjellen i antall vinkler, kan være en vanlig figur eller en feil. I USE-oppgavene som er av interesse for skolebarn, er det kun oppgaver med riktige tall i basen. Derfor vil vi bare snakke om dem.

Regular Triangle

Det er likesidet. En der alle sider er like og betegnet med bokstaven "a". I dette tilfellet beregnes arealet av bunnen av pyramiden med formelen:

S=(a2√3) / 4.

Square

Formelen for å beregne arealet er den enkleste,her er "a" siden igjen:

S=a2.

Vilkårlig regulær n-gon

Siden av en polygon har samme betegnelse. For antall hjørner brukes den latinske bokstaven n.

S=(na2) / (4tg (180º/n)).

Hvordan beregner jeg side- og totaloverflate?

Siden basen er en vanlig figur, er alle sider av pyramiden like. Dessuten er hver av dem en likebenet trekant, siden sidekantene er like. Deretter, for å beregne sidearealet til pyramiden, trenger du en formel som består av summen av identiske monomialer. Antall ledd bestemmes av antall sider av basen.

Arealet til en likebenet trekant beregnes ved formelen der halve produktet av basen multipliseres med høyden. Denne høyden i pyramiden kalles apotem. Betegnelsen er "A". Den generelle formelen for sideoverflateareal er:

S=½ PA, der P er omkretsen av bunnen av pyramiden.

Det er situasjoner der sidene av basen ikke er kjent, men sidekantene (c) og den flate vinkelen ved toppunktet (α) er gitt. Deretter er det ment å bruke denne formelen for å beregne sidearealet til pyramiden:

S=n/2in2 sin α.

Problem 1

Tilstand. Finn det totale arealet av pyramiden hvis basen er en likesidet trekant med en side på 4 cm, og apotemet er √3 cm.

Beslutning. HansDu må begynne med å beregne omkretsen til basen. Siden dette er en vanlig trekant, så P \u003d 34 \u003d 12 cm. Siden apotem er kjent, kan du umiddelbart beregne arealet av hele sideoverflaten: ½12√3=6 √3 cm 2.

For en trekant ved bunnen får du følgende arealverdi: (4²√3) / 4=4√3 cm^2.

For å bestemme det totale arealet må du legge til de to resulterende verdiene: 6√3 + 4√3=10√3 cm2.

Svar. 10√3cm2.

Problem 2

Tilstand. Det er en vanlig firkantet pyramide. Lengden på siden av basen er 7 mm, sidekanten er 16 mm. Du må kjenne overflaten.

Beslutning. Siden polyederet er firkantet og regelmessig, er basen en firkant. Etter å ha lært arealene til base- og sideflatene, vil det være mulig å beregne arealet av pyramiden. Formelen for kvadratet er gitt ovenfor. Og ved sideflatene er alle sider av trekanten kjent. Derfor kan du bruke Herons formel for å beregne arealene deres.

De første beregningene er enkle og fører til dette tallet: 49 mm². For den andre verdien må du beregne semi-perimeteren: (7 + 162): 2=19,5 mm. Nå kan du beregne arealet av en likebenet trekant: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 mm ^{2. Det er bare fire slike trekanter, så når du beregner det endelige tallet, må du gange det med 4.}

Det viser seg: 49 + 454, 644=267, 576 mm2.

Svar. Ønskeverdi 267 576mm2.

Problem 3

Tilstand. For en vanlig firkantet pyramide må du beregne arealet. Den kjenner siden av firkanten - 6 cm og høyden - 4 cm.

Beslutning. Den enkleste måten er å bruke formelen med produktet av omkretsen og apotemet. Den første verdien er lett å finne. Det andre er litt vanskeligere.

Vi må huske Pythagoras teorem og vurdere en rettvinklet trekant. Den er dannet av høyden på pyramiden og apotemet, som er hypotenusen. Det andre benet er lik halve siden av firkanten, siden høyden på polyederet faller inn i midten.

Den ønskede apotem (hypotenusen til en rettvinklet trekant) er √(3² + 4^{2)=5 (cm).}

Nå kan du beregne den nødvendige verdien: ½(46)5+6²=96 (se^2).

Svar. 96 cm2.

Problem 4

Tilstand. Gitt en vanlig sekskantet pyramide. Sidene av basen er 22 mm, sideribbene er 61 mm. Hva er sideoverflatearealet til dette polyederet?

Beslutning. Begrunnelsen i den er den samme som beskrevet i oppgave nr. 2. Bare der ble gitt en pyramide med en firkant ved bunnen, og nå er den en sekskant.

Først og fremst beregnes arealet av basen ved å bruke formelen ovenfor: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 cm^2.

Nå må du finne ut halvperimeteren til en likebenet trekant, som er sideflaten. (22 + 612): 2 \u003d 72 cm. Det gjenstår å beregne arealet av strand sliktrekanten, og gang den med seks og legg den til den som ble grunnlaget.

Beregning etter Herons formel: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 cm² . Beregninger som vil gi sideoverflatearealet: 6606=3960 cm². Det gjenstår å legge dem sammen for å finne ut hele overflaten: 5217, 47≈5217 cm^2.

Svar. Base - 726√3cm², sideflate - 3960cm², tot alt areal - 5217cm^2.