Hva er variabler? Variabel i matematikk

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Betydningen av variabler i matematikk er stor, for i løpet av dens eksistens klarte forskere å gjøre mange funn på dette området, og for å kort og tydelig angi dette eller hint teoremet bruker vi variabler for å skrive de tilsvarende formlene. For eksempel Pythagoras teorem om en rettvinklet trekant: a² =b² + c^{2. Slik skriver du hver gang når du løser et problem: ifølge Pythagoras teorem er kvadratet på hypotenusen lik summen av kvadratene til bena - vi skriver dette ned med en formel, og alt blir umiddelbart klart.}

Så, denne artikkelen vil diskutere hva variabler er, deres typer og egenskaper. Ulike matematiske uttrykk vil også bli vurdert: ulikheter, formler, systemer og algoritmer for deres løsning.

Variabelkonsept

Først av alt, hva er en variabel? Dette er en tallverdi som kan anta mange verdier. Det kan ikke være konstant, siden i forskjellige problemer og ligninger, for enkelhets skyld, tar vi løsninger somvariable forskjellige tall, det vil si at for eksempel z er en generell betegnelse for hver av mengdene den er tatt for. Vanligvis er de merket med bokstaver i det latinske eller greske alfabetet (x, y, a, b og så videre).

Det finnes forskjellige typer variabler. De setter både noen fysiske størrelser - bane (S), tid (t), og rett og slett ukjente verdier i ligninger, funksjoner og andre uttrykk.

For eksempel er det en formel: S=Vt. Her angir variablene visse størrelser relatert til den virkelige verden - banen, hastigheten og tiden.

Og det er en ligning av formen: 3x - 16=12x. Her er x allerede tatt som et abstrakt tall som gir mening i denne notasjonen.

Typer mengder

Beløp betyr noe som uttrykker egenskapene til en bestemt gjenstand, substans eller fenomen. For eksempel lufttemperatur, vekt av et dyr, prosentandel vitaminer i en tablett - dette er alle mengder hvis numeriske verdier kan beregnes.

Hver mengde har sine egne måleenheter, som til sammen danner et system. Det kalles tallsystemet (SI).

Hva er variabler og konstanter? Vurder dem med spesifikke eksempler.

La oss ta rettlinjede uniformsbevegelser. Et punkt i rommet beveger seg med samme hastighet hver gang. Det vil si at tid og avstand endres, men hastigheten forblir den samme. I dette eksemplet er tid og avstand variabler, og hastigheten er konstant.

Eller for eksempel «pi». Dette er et irrasjonelt tall som fortsetter uten å gjenta segen sekvens av sifre og kan ikke skrives i sin helhet, så i matematikk uttrykkes det med et generelt akseptert symbol som bare tar verdien av en gitt uendelig brøk. Det vil si at «pi» er en konstant verdi.

Historie

Historien til notasjonen av variabler begynner på det syttende århundre med vitenskapsmannen René Descartes.

Han utpekte de kjente verdiene med de første bokstavene i alfabetet: a, b og så videre, og for det ukjente foreslo han å bruke de siste bokstavene: x, y, z. Det er bemerkelsesverdig at Descartes betraktet slike variabler som ikke-negative tall, og når han ble møtt med negative parametere, satte han et minustegn foran variabelen eller, hvis det ikke var kjent hvilket tegn tallet var, en ellipse. Men over tid begynte navnene på variabler å angi tall på et hvilket som helst tegn, og dette begynte med matematikeren Johann Hudde.

Med variabler er beregninger i matematikk lettere å løse, for hvordan løser vi for eksempel biquadratiske likninger nå? Vi legger inn en variabel. For eksempel:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

For x2 tar vi litt k, og ligningen blir klar:

x2=k, for k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Det er hva introduksjonen av variabler bringer til matematikk.

Ulikheter, eksempler på løsninger

En ulikhet er en post der to matematiske uttrykk eller to tall er forbundet med sammenligningstegn:, ≦, ≧. De er strenge og er indikert med tegn eller ikke-strenge med tegn ≦, ≧.

For første gang ble disse skiltene introdusertThomas Harriot. Etter Thomas død ble boken hans med disse notasjonene utgitt, matematikere likte dem, og over tid ble de mye brukt i matematiske beregninger.

Det er flere regler å følge når du løser ulikheter med enkeltvariabler:

Når du overfører et tall fra en del av ulikheten til en annen, endre fortegnet til det motsatte.
Når man multipliserer eller deler deler av en ulikhet med et negativt tall, blir fortegnene deres reversert.
Hvis du multipliserer eller deler begge sider av ulikheten med et positivt tall, får du en ulikhet lik den opprinnelige.

Å løse en ulikhet betyr å finne alle gyldige verdier for en variabel.

eksempel med én variabel:

10x - 50 > 150

Vi løser det som en vanlig lineær ligning - vi flytter leddene med en variabel til venstre, uten en variabel - til høyre og gir lignende ledd:

10x > 200

Vi deler begge sider av ulikheten med 10 og får:

x > 20

For klarhets skyld, i eksemplet med å løse en ulikhet med én variabel, tegn en talllinje, merk det gjennomhullede punktet 20 på den, siden ulikheten er streng, og dette tallet ikke er inkludert i settet med løsningene.

Løsningen på denne ulikheten er intervallet (20; +∞).

Løsning av en ikke-streng ulikhet utføres på samme måte som en streng:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Men det er ett unntak. En post med formen x ≧ 5 skal forstås som følger: x er større enn eller lik fem, som betyrtallet fem er inkludert i settet med alle løsninger på ulikheten, det vil si at når vi skriver svaret setter vi en hake foran tallet fem.

x ∈ [5; +∞)

Kvadrateulikheter

Hvis vi tar en andregradsligning av formen ax2 + bx +c=0 og endrer likhetstegnet til ulikhetstegnet i den, vil vi følgelig få en kvadratisk ulikhet.

For å løse en kvadratisk ulikhet, må du kunne løse andregradsligninger.

y=ax2 + bx + c er en kvadratisk funksjon. Vi kan løse det ved å bruke diskriminanten, eller ved å bruke Vieta-teoremet. Husk hvordan disse ligningene løses:

1) y=x2 + 12x + 11 - funksjonen er en parabel. Grenene er rettet oppover, siden tegnet på koeffisienten "a" er positivt.

2) x2 + 12x + 11=0 - lik null og løs ved hjelp av diskriminanten.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 roots

I henhold til formelen til røttene til kvadratisk ligning får vi:

x₁ =-1, x_2=-11

Eller du kan løse denne ligningen ved å bruke Vieta-setningen:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Ved å bruke seleksjonsmetoden får vi de samme røttene til ligningen.

Parabola

Så, den første måten å løse en kvadratisk ulikhet på er en parabel. Algoritmen for å løse det er som følger:

1. Bestem hvor grenene til parablen er rettet.

2. Lik funksjonen til null og finn røttene til ligningen.

3. Vi bygger en talllinje, markerer røttene på den, tegner en parabel og finner gapet vi trenger, avhengig av tegnet på ulikheten.

Løs ulikheten x2 + x - 12 > 0

Skriv ut som en funksjon:

1) y=x2 + x - 12 - parabel, forgrener seg.

Sett til null.

2) x2 + x -12=0

Deretter løser vi som en kvadratisk ligning og finner nullpunktene til funksjonen:

x₁ =3, x_2=-4

3) Tegn en talllinje med punktene 3 og -4 på. Parablen vil gå gjennom dem, forgrene seg og svaret på ulikheten vil være et sett med positive verdier, det vil si (-∞; -4), (3; +∞).

Intervallmetode

Den andre måten er avstandsmetoden. Algoritme for å løse det:

1. Finn røttene til ligningen der ulikheten er lik null.

2. Vi merker dem på talllinjen. Dermed er den delt inn i flere intervaller.

3. Bestem tegnet for ethvert intervall.

4. Vi plasserer skilt med de gjenværende intervallene, og endrer dem etter ett.

Løs ulikheten (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) Ulikhetsnuller: 4, 5 og -7.

2) Tegn dem på talllinjen.

3) Bestem tegnene til intervaller.

Svar: (-∞; -7]; [4; 5].

Løs enda en ulikhet: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Ulikhetsnuller: 0, 2, -2 og 1.

2. Merk dem på talllinjen.

3. Bestem intervalltegn.

Linjen er delt inn i intervaller - fra -2 til 0, fra 0 til 1, fra 1 til 2.

Ta verdien på det første intervallet - (-1). Erstatter i ulikhet. Med denne verdien blir ulikheten positiv, noe som betyr at tegnet på dette intervallet vil være +.

Videre, fra det første gapet, ordner vi skiltene og endrer dem etter ett.

Ulikheten er større enn null, det vil si at du må finne et sett med positive verdier på linjen.

Svar: (-2; 0), (1; 2).

Ligningssystemer

Et ligningssystem med to variabler er to ligninger forbundet med en krøllete klammeparentes som det er nødvendig å finne en felles løsning for.

Systemer kan være likeverdige hvis den generelle løsningen til en av dem er løsningen til den andre, eller begge har ingen løsninger.

Vi skal studere løsningen av ligningssystemer med to variabler. Det er to måter å løse dem på - substitusjonsmetoden eller den algebraiske metoden.

Algebraisk metode

For å løse systemet vist på bildet ved hjelp av denne metoden, må du først multiplisere en av delene med et slikt tall, slik at du senere kan gjensidig kansellere én variabel fra begge deler av ligningen. Her multipliserer vi med tre, tegner en linje under systemet og legger sammen delene. Som et resultat blir x-er identiske i modul, men motsatt i fortegn, og vi reduserer dem. Deretter får vi en lineær ligning med én variabel og løser den.

Vi fant Y, men vi kan ikke stoppe der, for vi har ikke funnet X ennå. ErstatningY til delen som det vil være praktisk å trekke X fra, for eksempel:

-x + 5y=8, med y=1

-x + 5=8

Løs den resulterende ligningen og finn x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Hovedsaken i løsningen av systemet er å skrive ned svaret riktig. Mange elever gjør feilen ved å skrive:

Svar: -3, 1.

Men dette er en feil oppføring. Tross alt, som allerede nevnt ovenfor, når vi løser et ligningssystem, ser vi etter en generell løsning for delene. Riktig svar ville være:

(-3; 1)