Differensialkalkulusfunksjoner for én og flere variabler

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Kalkylen er en gren av kalkulus som studerer den deriverte, differensialer og deres bruk i studiet av en funksjon.

Utseendehistorie

Differensialregning dukket opp som en selvstendig disiplin i andre halvdel av 1600-tallet, takket være arbeidet til Newton og Leibniz, som formulerte de grunnleggende bestemmelsene i differensialregningen og la merke til sammenhengen mellom integrasjon og differensiering. Siden det øyeblikket har disiplinen utviklet seg sammen med beregningen av integraler, og dannet dermed grunnlaget for matematisk analyse. Utseendet til disse kalkulasjonene åpnet en ny moderne periode i den matematiske verden og forårsaket fremveksten av nye disipliner i vitenskapen. Det utvidet også muligheten for å anvende matematisk vitenskap i naturvitenskap og teknologi.

Grunnleggende konsepter

Differensialregning er basert på de grunnleggende begrepene i matematikk. De er: reelt antall, kontinuitet, funksjon og grense. Over tid fikk de et moderne utseende, takket være integral- og differensialregning.

Opprettingsprosess

Dannelsen av differensialregning i form av en anvendt, og deretter en vitenskapelig metode, skjedde før fremveksten av en filosofisk teori, som ble skapt av Nicholas av Cusa. Arbeidene hans regnes som en evolusjonær utvikling fra vurderingene fra gammel vitenskap. Til tross for at filosofen selv ikke var matematiker, er hans bidrag til utviklingen av matematisk vitenskap ubestridelig. Kuzansky var en av de første som gikk bort fra å betrakte aritmetikk som det mest nøyaktige vitenskapsfeltet, og satte datidens matematikk i tvil.

Gamle matematikere brukte enheten som et universelt kriterium, mens filosofen foreslo uendelighet som et nytt mål i stedet for det nøyaktige tallet. I denne forbindelse er representasjonen av presisjon i matematisk vitenskap omvendt. Vitenskapelig kunnskap er ifølge ham delt inn i rasjonell og intellektuell. Den andre er mer nøyaktig, ifølge forskeren, siden den første bare gir et omtrentlig resultat.

Idea

Hovedideen og konseptet i differensialregning er relatert til en funksjon i små nabolag med visse punkter. For å gjøre dette er det nødvendig å lage et matematisk apparat for å studere en funksjon hvis oppførsel i et lite nabolag av de etablerte punktene er nær oppførselen til et polynom eller en lineær funksjon. Dette er basert på definisjonen av en derivat og en differensial.

Utseendet til begrepet en derivativ ble forårsaket av et stort antall problemer fra naturvitenskap og matematikk,som førte til å finne verdiene til grenser av samme type.

Et av hovedproblemene som er gitt som eksempel fra videregående er å bestemme hastigheten til et punkt som beveger seg langs en rett linje og konstruere en tangentlinje til denne kurven. Differensialen er relatert til dette, siden det er mulig å tilnærme funksjonen i et lite nabolag til det betraktede punktet til den lineære funksjonen.

Sammenlignet med konseptet med den deriverte av en funksjon av en reell variabel, går definisjonen av differensialer ganske enkelt over til en funksjon av generell karakter, spesielt til bildet av ett euklidisk rom på et annet.

derivat

La punktet bevege seg i retning av Oy-aksen, for tiden vi tar x, som telles fra en bestemt begynnelse av øyeblikket. En slik bevegelse kan beskrives med funksjonen y=f(x), som tilordnes hvert tidsmoment x av koordinaten til punktet som flyttes. I mekanikk kalles denne funksjonen bevegelsesloven. Hovedkarakteristikken til bevegelse, spesielt ujevn, er den øyeblikkelige hastigheten. Når et punkt beveger seg langs Oy-aksen i henhold til mekanikkens lov, får det ved et tilfeldig tidspunkt x koordinaten f (x). På tidspunktet x + Δx, der Δx angir økningen i tid, vil koordinaten være f(x + Δx). Dette er hvordan formelen Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) dannes, som kalles inkrementet til funksjonen. Den representerer banen som reises av tidspunktet fra x til x + Δx.

På grunn av fremveksten av dettehastighet på tidspunktet, introduseres den deriverte. I en vilkårlig funksjon kalles den deriverte ved et fast punkt grensen (forutsatt at den eksisterer). Det kan angis med visse symboler:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Prosessen med å beregne den deriverte kalles differensiering.

Differensialkalkulus av en funksjon av flere variabler

Denne beregningsmetoden brukes når man undersøker en funksjon med flere variabler. I nærvær av to variable x og y, kalles den partielle deriverte med hensyn til x i punkt A den deriverte av denne funksjonen med hensyn til x med fast y.

Kan representeres med følgende tegn:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x eller ∂f(x, y)’/∂x.

Nødvendige ferdigheter

Ferdigheter i integrasjon og differensiering kreves for å lykkes med studier og for å kunne løse diffuser. For å gjøre det lettere å forstå differensialligninger, bør du ha en god forståelse av temaet for den deriverte og det ubestemte integralet. Det skader heller ikke å lære å finne den deriverte av en implisitt gitt funksjon. Dette skyldes at i prosessen med å studere integraler og differensiering ofte vil måtte brukes.

Typer differensialligninger

I nesten alle testoppgaver relatert til førsteordens differensialligninger, er det 3 typer ligninger: homogen, med separerbare variabler, lineær inhomogene.

Det finnes også sjeldnere varianter av ligninger: med totale differensialer, Bernoullis ligninger og andre.

Grunnleggende beslutninger

Først bør du huske de algebraiske ligningene fra skolekurset. De inneholder variabler og tall. For å løse en ordinær ligning, må du finne et sett med tall som tilfredsstiller en gitt betingelse. Som regel hadde slike ligninger én rot, og for å kontrollere riktigheten måtte man bare erstatte denne verdien med det ukjente.

Differensialligningen ligner på denne. Generelt inkluderer en slik førsteordens ligning:

• Uavhengig variabel.
• Den deriverte av den første funksjonen.
• En funksjon eller avhengig variabel.

I noen tilfeller kan en av de ukjente, x eller y, mangle, men dette er ikke så viktig, siden tilstedeværelsen av den første deriverte, uten høyere ordens deriverte, er nødvendig for løsningen og differensialen kalkulasjonen er riktig.

Å løse en differensialligning betyr å finne settet av alle funksjoner som samsvarer med det gitte uttrykket. Et slikt sett med funksjoner kalles ofte den generelle løsningen av DE.

Integralregning

Integralregning er en av delene av matematisk analyse som studerer konseptet med integralet, egenskapene og metodene for beregningen.

Beregningen av integralet skjer ofte når arealet til en krumlinjet figur beregnes. Dette området betyr grensen som arealet til en polygon innskrevet i en gitt figur har en tendens til med en gradvis økning i siden, mens disse sidene kan gjøres mindre enn noen tidligere spesifisert vilkårligliten verdi.

Hovedideen for å beregne arealet til en vilkårlig geometrisk figur er å beregne arealet til et rektangel, det vil si å bevise at arealet er lik produktet av lengde og bredde. Når det gjelder geometri er alle konstruksjoner laget ved hjelp av linjal og kompass, og da er forholdet mellom lengde og bredde en rasjonell verdi. Når du beregner arealet til en rettvinklet trekant, kan du bestemme at hvis du legger den samme trekanten ved siden av den, dannes et rektangel. I et parallellogram beregnes arealet ved en lignende, men litt mer komplisert metode, gjennom et rektangel og en trekant. I polygoner beregnes arealet gjennom trekantene som er inkludert i det.

Når du bestemmer sparingen av en vilkårlig kurve, vil ikke denne metoden fungere. Hvis du bryter det inn i enkle firkanter, vil det være ufylte plasser. I dette tilfellet prøver man å bruke to deksler, med rektangler øverst og nederst, som et resultat inkluderer de grafen til funksjonen og ikke. Metoden for å dele inn i disse rektanglene er fortsatt viktig her. Dessuten, hvis vi tar stadig mindre partisjoner, bør området over og under konvergere til en viss verdi.

Det bør gå tilbake til metoden for inndeling i rektangler. Det er to populære metoder.

Riemann formaliserte definisjonen av integralet skapt av Leibniz og Newton som arealet av en subgraf. I dette tilfellet ble figurer vurdert, bestående av et visst antall vertikale rektangler og oppnådd ved å delesegmentet. Når, ettersom partisjonen minker, det er en grense som arealet til en lignende figur reduseres til, kalles denne grensen Riemann-integralet til en funksjon på et gitt intervall.

Den andre metoden er konstruksjonen av Lebesgue-integralet, som består i det faktum at for stedet for å dele det definerte området inn i deler av integranden og deretter kompilere integralsummen fra verdiene oppnådd i disse delene, dens verdiområde er delt inn i intervaller, og deretter oppsummert med de tilsvarende målene for forhåndsbilder av disse integralene.

Moderne fordeler

En av hovedmanualene for studiet av differensial- og integralregning ble skrevet av Fikhtengolts - "Course of differential and integral calculus". Læreboken hans er en grunnleggende guide til studiet av matematisk analyse, som har gått gjennom mange utgaver og oversettelser til andre språk. Laget for universitetsstudenter og har lenge vært brukt i mange utdanningsinstitusjoner som et av de viktigste studiehjelpemidlene. Gir teoretiske data og praktiske ferdigheter. Først utgitt i 1948.

Funksjonsundersøkelsesalgoritme

For å undersøke en funksjon ved å bruke metodene for differensialregning, må du følge den allerede gitte algoritmen:

1. Finn omfanget av en funksjon.
2. Finn røttene til den gitte ligningen.
3. Beregn ekstremer. For å gjøre dette, beregne den deriverte og punktene der den er lik null.
4. Sett den resulterende verdien inn i ligningen.

varianter av differensialligninger

førsteordens kontroll (ellers differensialenkelt variabelberegning) og deres typer:

• Separerbar ligning: f(y)dy=g(x)dx.
• De enkleste ligningene, eller differensialregningen av en funksjon av én variabel, med formelen: y'=f(x).
• Lineær inhomogen førsteordens DE: y'+P(x)y=Q(x).
• Bernoulli differensialligning: y'+P(x)y=Q(x)ya.
• Ligning med totale differensialer: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Andre ordens differensialligninger og deres typer:

• Lineær annenordens homogen differensialligning med konstante koeffisientverdier: y +py'+qy=0 p, q tilhører R.
• Lineær inhomogen andreordens differensialligning med konstante koeffisienter: y +py'+qy=f(x).
• Lineær homogen differensialligning: y +p(x)y'+q(x)y=0, og inhomogen andreordensligning: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Differentialligninger med høyere orden og deres typer:

• Differensialligning som kan reduseres i rekkefølge: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.
• Lineær høyere ordens homogen ligning: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, og inhomogene: y⁽ⁿ⁾⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Trinn for å løse et problem med en differensialligning

Ved hjelp av fjernkontroll løses ikke bare matematiske eller fysiske spørsmål, men også ulike problemer frabiologi, økonomi, sosiologi, etc. Til tross for det store utvalget av emner, bør man holde seg til en enkelt logisk sekvens når man løser slike problemer:

1. Samling av fjernkontroll. Et av de vanskeligste trinnene som krever maksimal presisjon, siden enhver feil vil føre til helt feil resultater. Alle faktorer som påvirker prosessen bør tas i betraktning og de første betingelsene bør bestemmes. Den bør også være basert på fakta og logiske konklusjoner.
2. Løsning av den formulerte ligningen. Denne prosessen er enklere enn det første trinnet, siden den bare krever strenge matematiske beregninger.
3. Analyse og evaluering av resultatene. Den utledede løsningen bør evalueres for å fastslå den praktiske og teoretiske verdien av resultatet.

Et eksempel på bruk av differensialligninger i medisin

Bruken av fjernkontroll innen medisin skjer når man bygger en epidemiologisk matematisk modell. Samtidig skal man ikke glemme at disse ligningene også finnes i biologi og kjemi, som ligger tett opp til medisin, fordi studiet av ulike biologiske populasjoner og kjemiske prosesser i menneskekroppen spiller en viktig rolle i det.

I eksemplet ovenfor på en epidemi kan vi vurdere smittespredning i et isolert samfunn. Innbyggerne er delt inn i tre typer:

• Infisert, nummer x(t), bestående av individer, bærere av infeksjonen, som hver er smittsom (inkubasjonstiden er kort).
• Den andre typen inkluderermottakelige individer y(t) som er i stand til å bli smittet gjennom kontakt med infiserte individer.
• Den tredje arten inkluderer immune individer z(t) som er immune eller har dødd på grunn av sykdom.

Antallet individer er konstant, det er ikke tatt hensyn til fødsler, naturlige dødsfall og migrasjon. Det vil være to hypoteser i kjernen.

Prosentandelen av forekomst på et bestemt tidspunkt er x(t)y(t) (basert på teorien om at antall tilfeller er proporsjonal med antall skjæringspunkter mellom syke og mottakelige representanter, som i den første tilnærming vil være proporsjonal med x(t)y(t)), i forbindelse med dette øker antall tilfeller, og antall mottakelige reduksjoner med en hastighet som beregnes av formelen ax(t)y(t) (a > 0).

Antallet immune individer som har blitt immune eller døde øker med en hastighet som er proporsjonal med antall tilfeller, bx(t) (b > 0).

Som et resultat kan du lage et ligningssystem som tar hensyn til alle tre indikatorene og trekke konklusjoner basert på det.

Økonomieksempel

Differensialregning brukes ofte i økonomisk analyse. Hovedoppgaven i økonomisk analyse er studiet av mengder fra økonomien, som er skrevet i form av en funksjon. Dette brukes ved løsning av problemer som endringer i inntekt umiddelbart etter økt skatt, innføring av avgifter, endringer i bedriftens inntekter når produksjonskostnadene endres, i hvilken andel kan pensjonerte arbeidere erstattes med nytt utstyr. For å løse slike problemer er det nødvendigbygg en koblingsfunksjon fra inngangsvariablene, som deretter studeres ved hjelp av differensialregningen.

I den økonomiske sfæren er det ofte nødvendig å finne de mest optimale indikatorene: maksimal arbeidsproduktivitet, høyest inntekt, laveste kostnader, og så videre. Hver slik indikator er en funksjon av ett eller flere argumenter. For eksempel kan produksjon sees på som en funksjon av arbeidskraft og kapitalinnsats. I denne forbindelse kan det å finne en passende verdi reduseres til å finne maksimum eller minimum av en funksjon fra en eller flere variabler.

Problemer av denne typen skaper en klasse ekstreme problemer på det økonomiske området, hvis løsning krever differensialregning. Når en økonomisk indikator må minimeres eller maksimeres som en funksjon av en annen indikator, vil forholdet mellom økningen av funksjonen og argumentene ved maksimumspunktet ha en tendens til null hvis økningen av argumentet har en tendens til null. Ellers, når et slikt forhold har en tendens til en positiv eller negativ verdi, er det angitte punktet ikke egnet, fordi ved å øke eller redusere argumentet, kan du endre den avhengige verdien i ønsket retning. I terminologien til differensialregning vil dette bety at den nødvendige betingelsen for maksimumet til en funksjon er nullverdien til dens deriverte.

I økonomi er det ofte problemer med å finne ytterpunktet til en funksjon med flere variabler, fordi økonomiske indikatorer er bygd opp av mange faktorer. Spørsmål som dette er bra.studert i teorien om funksjoner til flere variabler, ved å bruke metoder for differensialberegning. Slike problemer inkluderer ikke bare maksimerte og minimerte funksjoner, men også begrensninger. Slike spørsmål er knyttet til matematisk programmering, og de løses ved hjelp av spesialutviklede metoder, også basert på denne vitenskapsgrenen.

Blant metodene for differensialregning som brukes i økonomi, er en viktig del marginalanalyse. I den økonomiske sfæren refererer dette begrepet til et sett med metoder for å studere variable indikatorer og resultater når du endrer volumet av skapelse, forbruk, basert på analysen av deres marginale indikatorer. Den begrensende indikatoren er de deriverte eller partielle deriverte med flere variabler.

Differensialregning av flere variabler er et viktig tema innen matematisk analyse. For en detaljert studie kan du bruke ulike lærebøker for høyere utdanning. En av de mest kjente ble opprettet av Fikhtengolts - "Kurs for differensial- og integralregning". Som navnet tilsier, er ferdigheter i å arbeide med integraler av betydelig betydning for å løse differensialligninger. Når differensialregningen til en funksjon av én variabel finner sted, blir løsningen enklere. Selv om det skal bemerkes, er det underlagt de samme grunnleggende reglene. For å studere en funksjon i praksis ved hjelp av differensialregning, er det nok å følge den allerede eksisterende algoritmen, som er gitt på videregående og bare litt komplisert når nye introduseres.variabler.