Retningsvektor direkte: definisjon og eksempler

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2024-01-02 17:53

Et viktig geometrisk objekt som studeres i flatt rom er en rett linje. I tredimensjon alt rom er det i tillegg til den rette linjen også et plan. Begge objektene er praktisk definert ved hjelp av retningsvektorer. Hva er det, hvordan brukes disse vektorene til å bestemme likningene til en rett linje og et plan? Disse og andre spørsmål dekkes i artikkelen.

Direktelinje og hvordan du definerer den

Hver elev har en god ide om hvilket geometrisk objekt de snakker om. Fra et matematikksynspunkt er en rett linje et sett med punkter, som, i tilfelle av deres vilkårlige parvise forbindelse, fører til et sett med parallelle vektorer. Denne definisjonen av en linje brukes til å skrive en ligning for den i både to og tre dimensjoner.

For å beskrive det betraktede endimensjonale objektet, brukes forskjellige typer ligninger, som er oppført i listen nedenfor:

generell visning;
parametrisk;
vektor;
kanonisk eller symmetrisk;
i segmenter.

Hver av disse artene har noen fordeler fremfor de andre. For eksempel er en ligning i segmenter praktisk å bruke når man studerer oppførselen til en rett linje i forhold til koordinataksene, en generell ligning er praktisk når man finner en retning vinkelrett på en gitt rett linje, så vel som når man beregner vinkelen til dens skjæringspunktet med x-aksen (for en flat sak).

Siden emnet for denne artikkelen er relatert til retningsvektoren til en rett linje, vil vi videre kun vurdere ligningen der denne vektoren er fundamental og er eksplisitt inneholdt, det vil si et vektoruttrykk.

Spesifisere en rett linje gjennom en vektor

Anta at vi har noen vektor v¯ med kjente koordinater (a; b; c). Siden det er tre koordinater, er vektoren gitt i rommet. Hvordan skildre det i et rektangulært koordinatsystem? Dette gjøres veldig enkelt: på hver av de tre aksene er det plottet et segment, hvis lengde er lik den tilsvarende koordinaten til vektoren. Skjæringspunktet for de tre perpendikulære gjenopprettede til xy-, yz- og xz-planene vil være slutten av vektoren. Begynnelsen er punktet (0; 0; 0).

Likevel er ikke den gitte posisjonen til vektoren den eneste. På samme måte kan man tegne v¯ ved å plassere dens opprinnelse på et vilkårlig punkt i rommet. Disse argumentene sier at det er umulig å sette en spesifikk linje ved hjelp av en vektor. Den definerer en familie med et uendelig antall parallelle linjer.

Nåfikse et punkt P(x₀; y₀; z_{0) med mellomrom. Og vi setter betingelsen: en rett linje må passere gjennom P. I dette tilfellet må vektoren v¯ også inneholde dette punktet. Det siste faktum betyr at én enkelt linje kan defineres ved å bruke P og v¯. Det vil bli skrevet som følgende ligning:}

Q=P + λ × v¯

Her er Q et hvilket som helst punkt som tilhører linjen. Dette punktet kan oppnås ved å velge riktig parameter λ. Den skrevne ligningen kalles vektorligningen, og v¯ kalles retningsvektoren til den rette linjen. Ved å ordne den slik at den går gjennom P og endre lengden med parameteren λ, får vi hvert punkt i Q som en rett linje.

I koordinatform vil ligningen skrives som følger:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ × (a; b; c)}

Og i eksplisitt (parametrisk) form kan du skrive:

x=x_{0+ λ × a;}

y=y_{0+ λ × b;}

z=z_{0+ λ × c}

Hvis vi ekskluderer den tredje koordinaten i uttrykkene ovenfor, får vi vektorligningene til den rette linjen på planet.

For hvilke oppgaver er det nyttig å kjenne retningsvektoren ?

Som regel er dette oppgaver for å bestemme parallelliteten og perpendikulariteten til linjer. Den direkte vektoren som bestemmer retningen brukes også når man beregner avstanden mellom rette linjer og et punkt og en rett linje, for å beskrive oppførselen til en rett linje i forhold til et plan.

Tolinjer vil være parallelle hvis retningsvektorene deres er. Følgelig bevises vinkelrettheten til linjer ved å bruke vinkelrettigheten til vektorene deres. I denne typen problemer er det nok å beregne skalarproduktet til de betraktede vektorene for å få svaret.

Når det gjelder oppgaver for beregning av avstander mellom linjer og punkter, er retningsvektoren eksplisitt inkludert i den tilsvarende formelen. La oss skrive det ned:

d=|[P₁P_{2¯ × v¯] | / |v¯|}

Here P₁P₂¯ - bygget på punktene P₁ og P ₂ dirigert segment. Punktet P₂ er vilkårlig, ligger på linjen med vektoren v¯, mens punktet P_{1 er det som avstanden skal til vær bestemt. Den kan enten være uavhengig eller tilhøre en annen linje eller et annet fly.}

Merk at det er fornuftig å beregne avstanden mellom linjene bare når de er parallelle eller krysser hverandre. Hvis de krysser hverandre, er d null.

Formelen ovenfor for d er også gyldig for å beregne avstanden mellom et plan og en rett linje parallelt med det, bare i dette tilfellet bør P_{1 tilhøre planet.}

La oss løse flere problemer for bedre å vise hvordan man bruker den vurderte vektoren.

Vektorligningsproblem

Det er kjent at en rett linje beskrives med følgende ligning:

y=3 × x - 4

Du bør skrive det passende uttrykket innvektorform.

Dette er en typisk ligning av en rett linje, kjent for alle skolebarn, skrevet i generell form. La oss vise hvordan du omskriver det i vektorform.

Uttrykket kan representeres som:

(x; y)=(x; 3 × x - 4)

Det kan sees at hvis du åpner det, får du den opprinnelige likheten. Nå deler vi dens høyre side i to vektorer slik at bare én av dem inneholder x, vi har:

(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)

Det gjenstår å ta x ut av parentes, angi den med et gresk symbol og bytte vektorene på høyre side:

(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)

Vi fikk vektorformen til det opprinnelige uttrykket. Retningsvektorkoordinatene til den rette linjen er (1; 3).

Oppgaven med å bestemme den relative plasseringen av linjer

To linjer er gitt i mellomrom:

(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);

(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)

Er de parallelle, kryssende eller kryssende?

Vektorer som ikke er null (-1; 3; 1) og (1; 2; 0) vil være guider for disse linjene. La oss uttrykke disse ligningene i parametrisk form og erstatte koordinatene til den første med den andre. Vi får:

x=1 - λ;

y=3 × λ;

z=-2 + λ;

x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;

y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ- 1;

z=2=-2 + λ=> λ=4

Sett inn den funnet parameteren λ i de to ligningene ovenfor, vi får:

γ=-2 - λ=-6;

γ=3 / 2 × λ - 1=5

Parameter γ kan ikke ta to forskjellige verdier samtidig. Dette betyr at linjene ikke har et eneste felles punkt, det vil si at de krysser hverandre. De er ikke parallelle, siden vektorer som ikke er null, ikke er parallelle med hverandre (for deres parallellitet må det være et tall som, ved å multiplisere med én vektor, vil føre til koordinatene til den andre).

Matematisk beskrivelse av flyet

For å sette et plan i verdensrommet gir vi en generell ligning:

A × x + B × y + C × z + D=0

Her representerer latinske store bokstaver spesifikke tall. De tre første av dem definerer koordinatene til normalvektoren til planet. Hvis det er merket med n¯, så:

n¯=(A; B; C)

Denne vektoren er vinkelrett på planet, så den kalles en guide. Dens kunnskap, så vel som de kjente koordinatene til et hvilket som helst punkt som tilhører flyet, bestemmer på en unik måte sistnevnte.

Hvis punktet P(x₁; y₁; z_{1) tilhører flyet, så beregnes skjæringspunktet D som følger:}

D=-1 × (A × x₁+ B × y₁ + C × z₁₎

La oss løse et par problemer ved å bruke den generelle ligningen for flyet.

Oppgave forfinne normalvektoren til planet

Flyet er definert som følger:

(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1

Hvordan finner jeg en retningsvektor for henne?

Av teorien ovenfor følger det at koordinatene til normalvektoren n¯ er koeffisientene foran variablene. I denne forbindelse, for å finne n¯, bør ligningen skrives i generell form. Vi har:

1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0

Da er normalvektoren til flyet:

n¯=(1/3; 1/2; -1/4)

Problemet med å tegne opp likningen til planet

Koordinatene til tre punkter er gitt:

M_{1(1; 0; 0);}

M_{2(2; -1; 5);}

M_{3(0; -2; -2)}

Hvordan vil ligningen til flyet som inneholder alle disse punktene se ut.

Gjennom tre punkter som ikke tilhører samme linje, kan kun ett plan tegnes. For å finne ligningen beregner vi først retningsvektoren til planet n¯. For å gjøre dette går vi frem som følger: vi finner vilkårlige to vektorer som tilhører planet, og beregner deres vektorprodukt. Det vil gi en vektor som vil være vinkelrett på dette planet, det vil si n¯. Vi har: