Vektor er et viktig geometrisk objekt, ved hjelp av egenskapene er det praktisk å løse mange problemer på flyet og i verdensrommet. I denne artikkelen skal vi definere den, vurdere hovedkarakteristikkene, og også vise hvordan en vektor i rommet kan brukes til å definere plan.
Hva er en vektor: todimensjonal kasus
Først av alt er det nødvendig å tydelig forstå hvilket objekt vi snakker om. I geometri kalles et rettet segment en vektor. Som ethvert segment er det preget av to hovedelementer: start- og sluttpunkt. Koordinatene til disse punktene bestemmer unikt alle egenskapene til vektoren.
La oss vurdere et eksempel på en vektor på et plan. For å gjøre dette tegner vi to innbyrdes vinkelrette akser x og y. La oss markere et vilkårlig punkt P(x, y). Hvis vi kobler dette punktet til origo (punkt O), og deretter spesifiserer retningen til P, så får vi vektoren OP¯ (senere i artikkelen indikerer linjen over symbolet at vi vurderer en vektor). Vektortegningen på planet er vist nedenfor.
Her vises også en annen vektor AB¯, og du kan se at dens egenskaper er nøyaktig de samme som OP¯, men den er i en annen del av koordinatsystemet. Ved parallell oversettelse OP¯ kan du få et uendelig antall vektorer med de samme egenskapene.
Vektor i rommet
Alle virkelige objekter som omgir oss er i tredimensjon alt rom. Studiet av de geometriske egenskapene til tredimensjonale figurer omhandler stereometri, som opererer med konseptet tredimensjonale vektorer. De skiller seg fra todimensjonale bare ved at beskrivelsen krever en ekstra koordinat, som måles langs den tredje perpendikulære x- og y-aksen z.
Figuren nedenfor viser en vektor i rommet. Koordinatene til enden langs hver akse er indikert med fargede segmenter. Begynnelsen av vektoren er plassert i skjæringspunktet for alle tre koordinataksene, det vil si at den har koordinater (0; 0; 0).
Siden en vektor på et plan er et spesi altilfelle av et romlig rettet segment, vil vi kun vurdere en tredimensjonal vektor i artikkelen.
Vektorkoordinater basert på kjente koordinater for starten og slutten
Anta at det er to punkter P(x1; y1; z1) og Q(x2; y2; z2). Hvordan bestemme koordinatene til vektoren PQ¯. Først er det nødvendig å avtale hvilket av punktene som vil være begynnelsen og hvilken slutten av vektoren. I matematikk er det vanlig å skrive det aktuelle objektet langs retningen, det vil si at P er begynnelsen, Q- slutten. For det andre beregnes koordinatene til vektoren PQ¯ som forskjellen mellom de tilsvarende koordinatene til slutten og begynnelsen, det vil si:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Merk at ved å endre retningen til vektoren, vil dens koordinater endre fortegn, som følger:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Dette betyr PQ¯=-QP¯.
Det er viktig å forstå en ting til. Det ble sagt ovenfor at i planet er det et uendelig antall vektorer lik den gitte. Dette faktum er også gyldig for det romlige tilfellet. Faktisk, da vi beregnet koordinatene til PQ¯ i eksemplet ovenfor, utførte vi operasjonen med parallelltranslasjon av denne vektoren på en slik måte at dens opprinnelse f alt sammen med opprinnelsen. Vektor PQ¯ kan tegnes som et rettet segment fra origo til punkt M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).
Vektoregenskaper
Som ethvert geometriobjekt, har en vektor noen iboende egenskaper som kan brukes til å løse problemer. La oss kort liste dem opp.
Vektormodul er lengden på det rettede segmentet. Når du kjenner koordinatene, er det enkelt å beregne det. For vektoren PQ¯ i eksemplet ovenfor er modulen:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektormodul påplanet beregnes med en lignende formel, bare uten deltakelse av den tredje koordinaten.
Summen og differansen av vektorer utføres i henhold til trekantregelen. Figuren nedenfor viser hvordan du legger til og trekker fra disse objektene.
For å få sumvektoren legger du til begynnelsen av den andre til slutten av den første vektoren. Den ønskede vektoren vil starte på begynnelsen av den første og slutte på slutten av den andre vektoren.
Differansen utføres under hensyntagen til det faktum at den subtraherte vektoren erstattes av den motsatte, og deretter utføres addisjonsoperasjonen beskrevet ovenfor.
Foruten addisjon og subtraksjon er det viktig å kunne multiplisere en vektor med et tall. Hvis tallet er lik k, oppnås en vektor hvis modul er k ganger forskjellig fra den opprinnelige, og retningen er enten den samme (k>0) eller motsatt av den opprinnelige (k<0).
Operasjonen for multiplikasjon av vektorer mellom seg er også definert. Vi vil skille ut et eget avsnitt for det i artikkelen.
Skalar og vektormultiplikasjon
Anta at det er to vektorer u¯(x1; y1; z1) og v¯(x2; y2; z2). Vektor med vektor kan multipliseres på to forskjellige måter:
- Scalar. I dette tilfellet er resultatet et tall.
- Vektor. Resultatet er en ny vektor.
Skalarproduktet av vektorene u¯ og v¯ beregnes som følger:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Hvor α er vinkelen mellom de gitte vektorene.
Det kan vises at når du kjenner koordinatene u¯ og v¯, kan punktproduktet deres beregnes ved å bruke følgende formel:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Skalarproduktet er praktisk å bruke når en vektor dekomponeres i to vinkelrett rettede segmenter. Den brukes også til å beregne parallelliteten eller ortogonaliteten til vektorer, og til å beregne vinkelen mellom dem.
Kryssproduktet av u¯ og v¯ gir en ny vektor som er vinkelrett på de opprinnelige og har modul:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Retning ned eller opp av den nye vektoren bestemmes av regelen for høyre hånd (fire fingre på høyre hånd er rettet fra slutten av den første vektoren til slutten av den andre, og tommelen stikker opp angir retningen til den nye vektoren). Figuren nedenfor viser resultatet av kryssproduktet for vilkårlig a¯ og b¯.
Tverrproduktet brukes til å beregne arealene til figurer, samt til å bestemme koordinatene til en vektor vinkelrett på et gitt plan.
Vektorer og deres egenskaper er praktiske å bruke når man definerer ligningen til et plan.
Normal og generell ligning for planet
Det er flere måter å definere et fly på. En av dem er utledningen av den generelle ligningen til planet, som følger direkte av kunnskapen om vektoren vinkelrett på det og et kjent punkt som hører til planet.
Anta at det er en vektor n¯ (A; B; C) og et punkt P (x0; y0; z 0). Hvilken betingelse vil tilfredsstille alle punktene Q(x; y; z) i planet? Denne tilstanden består i vinkelrettheten til en hvilken som helst vektor PQ¯ på normalen n¯. For to perpendikulære vektorer blir punktproduktet null (cos(90o)=0), skriv dette:
(n¯PQ¯)=0 eller
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Når vi åpner parentesene, får vi:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 eller
Ax + By + Cz +D=0 der D=-Ax0-By0-Cz0.
Denne ligningen kalles generell for flyet. Vi ser at koeffisientene foran x, y og z er koordinatene til den perpendikulære vektoren n¯. Det kalles en flyguide.
Vektorparametrisk ligning for planet
Den andre måten å definere et fly på er å bruke to vektorer som ligger i det.
Anta at det er vektorer u¯(x1; y1; z1) og v¯(x2; y2; z2). Som det ble sagt, kan hver av dem i rommet representeres av et uendelig antall identiske rettede segmenter, derfor er det nødvendig med ett punkt til for å unikt bestemme planet. La dette punktet være P(x0;y0; z0). Ethvert punkt Q(x; y; z) vil ligge i det ønskede planet hvis vektoren PQ¯ kan representeres som en kombinasjon av u¯ og v¯. Det vil si at vi har:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Hvor α og β er noen reelle tall. Fra denne likheten følger uttrykket:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Det kalles en parametrisk vektorligning av planet med hensyn til 2 vektorer u¯ og v¯. Ved å erstatte vilkårlige parametere α og β, kan man finne alle punkter (x; y; z) som hører til dette planet.
Fra denne ligningen er det lett å få det generelle uttrykket for flyet. For å gjøre dette er det nok å finne retningsvektoren n¯, som vil være vinkelrett på begge vektorene u¯ og v¯, det vil si at vektorproduktet deres skal brukes.
Problemet med å bestemme den generelle ligningen til planet
La oss vise hvordan du bruker formlene ovenfor for å løse geometriske problemer. Anta at retningsvektoren til planet er n¯(5; -3; 1). Du bør finne ligningen til planet, vel vitende om at punktet P(2; 0; 0) tilhører det.
Den generelle ligningen er skrevet som:
Ax + By + Cz +D=0.
Siden vektoren vinkelrett på planet er kjent, vil ligningen ha formen:
5x - 3y + z +D=0.
Det gjenstår å finne frileddet D. Vi regner det ut fra kunnskapen om koordinatene P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Dermed har den ønskede ligningen til flyet formen:
5x - 3y + z -10=0.
Figuren nedenfor viser hvordan det resulterende flyet ser ut.
De angitte koordinatene til punktene tilsvarer skjæringene til planet med x-, y- og z-aksene.
Problemet med å bestemme flyet gjennom to vektorer og et punkt
Anta nå at det forrige planet er definert annerledes. To vektorer u¯(-2; 0; 10) og v¯(-2; -10/3; 0) er kjent, samt punktet P(2; 0; 0). Hvordan skrive planligningen i vektorparametrisk form? Ved å bruke den betraktede tilsvarende formelen får vi:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Merk at definisjonene av denne ligningen av planet, vektorene u¯ og v¯ kan tas absolutt alle, men med én betingelse: de må ikke være parallelle. Ellers kan ikke planet bestemmes entydig, men man kan finne en ligning for en stråle eller et sett med plan.
