Ved ordet "uendelighet" har hver person sine egne assosiasjoner. Mange tegner i fantasien havet som går utover horisonten, mens andre har et bilde av en endeløs stjernehimmel foran øynene. Matematikere, vant til å operere med tall, forestiller seg uendeligheten på en helt annen måte. I mange århundrer har de forsøkt å finne den største av de fysiske mengdene som kreves for å måle. En av dem er Graham-nummeret. Hvor mange nuller som er i den og hva den brukes til, vil denne artikkelen fortelle.
uendelig stort antall
I matematikk er dette navnet på en slik variabel x , hvis man for et gitt positivt tall M kan spesifisere et naturlig tall N slik at for alle tall n er større enn N ulikheten |x | > M. Men nei, for eksempel kan heltall Z betraktes som uendelig stort, siden det alltid vil være mindre enn (Z + 1).
Noen ord om "kjemper"
De største tallene som har fysisk betydning anses å være:
- 1080. Dette tallet, som vanligvis kalles en quinquavigintillion, brukes til å angi det omtrentlige antallet kvarker og leptoner (de minste partiklene) i universet.
- 1 Google. Et slikt tall i desimalsystemet skrives som en enhet med 100 nuller. I følge noen matematiske modeller, fra tidspunktet for det store smellet til eksplosjonen av det mest massive sorte hullet, bør det gå fra 1 til 1,5 googol år, hvoretter universet vårt vil bevege seg inn i den siste fasen av sin eksistens, det vil si at vi kan anta at dette tallet har en viss fysisk betydning.
- 8, 5 x 10185. Plancks konstant er 1,616199 x 10-35 m, dvs. i desimalnotasjon ser det ut som 0,000000000000000000000000000000616199 m. Det er omtrent 1 googol Planck-lengde i en tomme. Det er anslått at ca. 8,5 x 10185 Planck-lengder kan passe i hele universet vårt.
- 277 232 917 – 1. Dette er det største kjente primtallet. Hvis den binære notasjonen har en ganske kompakt form, vil den ta ikke mindre enn 13 millioner tegn for å skildre den i desimalform. Den ble funnet i 2017 som en del av et prosjekt for å søke etter Mersenne-nummer. Hvis entusiaster fortsetter å jobbe i denne retningen, vil de på det nåværende utviklingsnivået av datateknologi, i nær fremtid neppe være i stand til å finne et Mersenne-nummer en størrelsesorden større enn 277 232 917- 1, selv om det er slikden heldige vinneren vil motta USD 150 000.
- Hugoplex. Her tar vi bare 1 og legger til nuller etter den i mengden 1 googol. Du kan skrive dette tallet som 10^10^100. Det er umulig å representere det i desimalform, for hvis hele rommet i universet er fylt med papirstykker, på hver av disse vil 0 bli skrevet med en "Word"-skriftstørrelse på 10, så er det i dette tilfellet bare halvparten av alle 0 etter 1 vil bli oppnådd for googolplex-nummeret.
- 10^10^10^10^10^1.1. Dette er et tall som viser antall år etter som, ifølge Poincaré-teoremet, vil universet vårt, som et resultat av tilfeldige kvantesvingninger, gå tilbake til en tilstand nær i dag.
Hvordan Grahams tall ble til
I 1977 publiserte den velkjente popularisatoren av vitenskap Martin Gardner en artikkel i Scientific American om Grahams bevis på et av problemene i Ramses teori. I den k alte han grensen satt av forskeren det største tallet som noen gang er brukt i seriøse matematiske resonnementer.
Hvem er Ronald Lewis Graham
Vitenskapsmannen, nå i 80-årene, ble født i California. I 1962 mottok han en doktorgrad i matematikk fra University of Berkeley. Han jobbet i Bell Labs i 37 år og flyttet senere til AT&T Labs. Forskeren samarbeidet aktivt med en av de største matematikerne på 1900-tallet, Pal Erdős, og er vinneren av mange prestisjetunge priser. Grahams vitenskapelige bibliografi inneholder mer enn 320 vitenskapelige artikler.
På midten av 70-tallet var forskeren interessert i problemet knyttet til teorienRamsey. I beviset ble den øvre grensen for løsningen bestemt, som er et veldig stort tall, senere oppk alt etter Ronald Graham.
Hypercube-problem
For å forstå essensen av Graham-nummeret, må du først forstå hvordan det ble oppnådd.
Vitenskapsmannen og hans kollega Bruce Rothschild løste følgende problem:
Det er en n-dimensjonal hyperkube. Alle par av dens toppunkter er koblet sammen på en slik måte at en fullstendig graf med 2vertekser oppnås. Hver av kantene er farget enten blå eller rød. Det var påkrevd å finne minimum antall toppunkter som en hyperkube skulle ha slik at hver slik fargelegging inneholder en komplett monokromatisk subgraf med 4 toppunkter liggende i samme plan.
Beslutning
Graham og Rothschild beviste at problemet har en løsning N' som tilfredsstiller betingelsen 6 ⩽ N' ⩽N hvor N er et veldefinert, veldig stort tall.
Den nedre grensen for N ble senere foredlet av andre forskere, som beviste at N må være større enn eller lik 13. Dermed ble uttrykket for det minste antallet hjørner av en hyperkube som tilfredsstiller betingelsene presentert ovenfor. 13 ⩽ N'⩽ N.
Knuths pilnotasjon
Før du definerer Graham-tallet, bør du gjøre deg kjent med metoden for symbolsk representasjon, siden verken desimal eller binær notasjon er absolutt egnet for dette.
For øyeblikket brukes Knuths pilnotasjon for å representere denne mengden. Ifølge henne:
ab=en "pil opp" b.
For operasjon av multippel eksponentiering ble oppføringen introdusert:
a "pil opp" "pil opp" b=ab="et tårn som består av a i antall b stykker."
Og for pentasjon, dvs. symbolsk betegnelse på gjentatt eksponentiering av den forrige operatoren, brukte Knuth allerede 3 piler.
Ved å bruke denne notasjonen for Graham-tallet har vi "pil"-sekvenser nestet i hverandre, i mengden 64 stk.
Skala
Deres berømte nummer, som pirrer fantasien og utvider grensene for menneskelig bevissthet, og tar det utover universets grenser, Graham og hans kolleger fikk det som en øvre grense for tallet N i beviset på hyperkuben problem presentert ovenfor. Det er ekstremt vanskelig for en vanlig person å forestille seg hvor stor skalaen er.
Spørsmålet om antall tegn, eller som det noen ganger feilaktig sies, nuller i Grahams tall, er av interesse for nesten alle som hører om denne verdien for første gang.
Det er nok å si at vi har å gjøre med en raskt voksende sekvens som består av 64 medlemmer. Selv den første termen er umulig å forestille seg, siden den består av n "tårn", bestående av 3-to. Allerede dens "nedre etasje" på 3 trippel er lik 7.625.597.484.987, det vil si at den overstiger 7 milliarder, det vil si omtrent 64. etasje (ikke medlem!). Dermed er det foreløpig umulig å si nøyaktig hva Graham-tallet er, siden det ikke er nok å beregne det.den samlede kraften til alle datamaskinene som finnes på jorden i dag.
Rekorden brutt?
I prosessen med å bevise Kruskals teorem, ble Grahams tall "kastet av sokkelen". Forskeren foreslo følgende problem:
Det er en uendelig rekkefølge av endelige trær. Kruskal beviste at det alltid finnes en del av en graf, som både er en del av en større graf og dens eksakte kopi. Denne uttalelsen reiser ingen tvil, siden det er åpenbart at det alltid vil være en nøyaktig gjentakende kombinasjon i det uendelige
Senere begrenset Harvey Friedman dette problemet noe ved å vurdere bare slike asykliske grafer (trær) at det for en bestemt en med koeffisient i er høyst (i + k) toppunkter. Han bestemte seg for å finne ut hvor mange asykliske grafer skulle være, slik at det med denne oppgavemetoden alltid ville være mulig å finne et undertre som ville være innebygd i et annet tre.
Som et resultat av forskning på dette problemet, ble det funnet at N, avhengig av k, vokser med en enorm hastighet. Spesielt hvis k=1, så er N=3. Men ved k=2 når N allerede 11. Det mest interessante begynner når k=3. I dette tilfellet "tar N raskt av" og når en verdi som er mange ganger større enn Graham-tallet. For å forestille seg hvor stort det er, er det nok å skrive ned tallet beregnet av Ronald Graham i form av G64 (3). Da vil Friedman-Kruskal-verdien (rev. FinKraskal(3)), være i størrelsesorden G(G(187196)). Med andre ord oppnås en megaverdi, som er uendelig mye størreet ufattelig stort Graham-tall. Samtidig vil selv det være mindre enn uendelig med et gigantisk antall ganger. Det er fornuftig å snakke om dette konseptet mer detaljert.
Infinity
Nå som vi har forklart hva Graham-tallet på fingrene er, bør vi forstå betydningen som har blitt og blir investert i dette filosofiske konseptet. Tross alt kan «uendelig» og «et uendelig stort antall» betraktes som identiske i en bestemt sammenheng.
Det største bidraget til studiet av denne saken ble gitt av Aristoteles. Antikkens store tenker delte uendelighet inn i potensiell og faktisk. Med det siste mente han virkeligheten av eksistensen av uendelige ting.
Ifølge Aristoteles er kildene til ideer om dette grunnleggende konseptet:
- time;
- separasjon av verdier;
- begrepet grensen og eksistensen av noe utenfor den;
- den kreative naturens utømmelighet;
- tenkning som ikke har noen grenser.
I den moderne tolkningen av uendelighet kan du ikke spesifisere et kvantitativt mål, så letingen etter det største tallet kan fortsette for alltid.
Konklusjon
Kan metaforen «Gaze into infinity» og Grahams nummer betraktes som synonyme på en eller annen måte? Snarere ja og nei. Begge deler er umulig å forestille seg, selv med den sterkeste fantasien. Men, som allerede nevnt, kan det ikke betraktes som "mest, mest." En annen ting er at det for øyeblikket ikke er etablert verdier som er større enn Graham-talletfysisk sans.
Det har heller ikke egenskapene til et uendelig antall, for eksempel:
- ∞ + 1=∞;
- det er et uendelig antall både oddetall og partall;
- ∞ - 1=∞;
- antall oddetall er nøyaktig halvparten av alle tall;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
For å oppsummere: Grahams tall er det største tallet i praksisen med matematisk bevis, ifølge Guinness rekordbok. Det er imidlertid tall som er mange ganger større enn denne verdien.
Sannsynligvis vil det i fremtiden være behov for enda større "giganter", spesielt hvis en person går utover solsystemet vårt eller finner opp noe utenkelig på det nåværende bevissthetsnivået vår.
