Kvadriske ligninger dukker ofte opp i en rekke problemer innen matematikk og fysikk, så alle elever bør kunne løse dem. Denne artikkelen beskriver hovedmetodene for å løse kvadratiske ligninger, og gir også eksempler på hvordan de brukes.
Hvilken ligning kalles kvadratisk
Først og fremst vil vi svare på spørsmålet i dette avsnittet for bedre å forstå hva artikkelen skal handle om. Så den andregradsligningen har følgende generelle form: c + bx+ax2=0, der a, b, c er noen tall, som kalles koeffisienter. Her er a≠0 en obligatorisk betingelse, ellers degenererer den indikerte ligningen til en lineær. De gjenværende koeffisientene (b, c) kan ha absolutt alle verdier, inkludert null. Altså uttrykk som ax2=0, hvor b=0 og c=0, eller c+ax2=0, hvor b=0, eller bx+ax2=0, hvor c=0 også er kvadratiske ligninger, som kalles ufullstendige, siden enten den lineære koeffisienten b i dem er null eller nuller en fri term c, eller begge forsvinner.
En ligning der a=1 kalles redusert, det vil si at den har formen: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Løsningen av en kvadratisk ligning er å finne slike x-verdier som tilfredsstiller dens likhet. Disse verdiene kalles røtter. Siden ligningen under vurdering er et uttrykk for andre grad, betyr dette at det maksimale antallet røtter ikke kan overstige to.
Hvilke metoder for å løse kvadratligninger finnes
Generelt er det 4 løsningsmetoder. Navnene deres er oppført nedenfor:
- Factoring.
- Tillegg til torget.
- Bruke en kjent formel (via diskriminanten).
- Løsningsmetoden er geometrisk.
Som du kan se fra listen ovenfor, er de tre første metodene algebraiske, så de brukes oftere enn den siste, som innebærer å plotte en funksjon.
Det er en annen måte å løse kvadratligninger ved å bruke Vieta-setningen. Den kan inkluderes på 5. plass i listen ovenfor, men dette er ikke gjort, siden Vietas teorem er en enkel konsekvens av den 3. metoden.
Senere i artikkelen vil vi se nærmere på de navngitte løsningsmetodene, og også gi eksempler på deres bruk for å finne røttene til spesifikke ligninger.
Metode 1. Factoring
For denne metoden i matematikk for kvadratiske ligninger, er det en vakkernavn: faktorisering. Essensen av denne metoden er som følger: det er nødvendig å presentere den kvadratiske ligningen som et produkt av to ledd (uttrykk), som må være lik null. Etter en slik representasjon kan du bruke produktegenskapen, som vil være lik null bare når ett eller flere (alle) medlemmene er null.
Vurder nå sekvensen av spesifikke handlinger som må utføres for å finne røttene til ligningen:
- Flytt alle medlemmer til én del av uttrykket (for eksempel til venstre) slik at bare 0 gjenstår i den andre delen (høyre).
- Representer summen av leddene i en del av ligningen som et produkt av to lineære ligninger.
- Sett hvert av de lineære uttrykkene til null og løs dem.
Som du kan se, er faktoriseringsalgoritmen ganske enkel, men de fleste elever har problemer under implementeringen av 2. punkt, så vi vil forklare det mer detaljert.
For å gjette hvilke 2 lineære uttrykk, multiplisert med hverandre, som vil gi den ønskede kvadratiske ligningen, må du huske to enkle regler:
- Lineære koeffisienter av to lineære uttrykk, multiplisert med hverandre, skal gi den første koeffisienten til kvadratisk ligning, det vil si tallet a.
- De frie leddene til lineære uttrykk, når multiplisert, skal gi tallet c for den ønskede ligningen.
Etter at alle tallene med faktorer er valgt, skal de multipliseres, og hvis de gir ønsket ligning, gå til trinn 3 ialgoritmen ovenfor, ellers bør du endre multiplikatorene, men du må gjøre dette slik at reglene ovenfor alltid følges.
Eksempel på løsning etter faktoriseringsmetode
La oss vise tydelig hvordan algoritmen for å løse en kvadratisk ligning er å komponere og finne ukjente røtter. La et vilkårlig uttrykk gis, for eksempel 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. La oss gå videre til løsningen, og observere rekkefølgen av punktene fra 1 til 3, som er angitt i forrige avsnitt av artikkelen.
Punkt 1. Flytt alle leddene til venstre side og ordne dem i den klassiske rekkefølgen for en andregradsligning. Vi har følgende likhet: 2x+(-8)+x2=0.
Punkt 2. Vi deler det inn i et produkt av lineære ligninger. Siden a=1, og c=-8, vil vi velge for eksempel et slikt produkt (x-2)(x+4). Den tilfredsstiller reglene for å finne de forventede faktorene angitt i avsnittet ovenfor. Hvis vi åpner parentesene får vi: -8+2x+x2, det vil si at vi får nøyaktig samme uttrykk som på venstre side av ligningen. Dette betyr at vi gjettet multiplikatorene riktig, og vi kan fortsette til det tredje trinnet i algoritmen.
Punkt 3. Lik hver faktor til null, vi får: x=-4 og x=2.
Hvis det er noen tvil om resultatet, anbefales det å sjekke ved å erstatte de funnet røttene i den opprinnelige ligningen. I dette tilfellet har vi: 22+22-8=0 og 2(-4)+(-4)2 -8=0. Røtter funnet riktig.
Dermed, ved å bruke faktoriseringsmetoden, fant vi at den gitte ligningen har to røtter av forskjelligehar: 2 og -4.
Metode 2. Komplement til hele ruten
I algebraen med kvadratiske ligninger kan ikke multiplikatormetoden alltid brukes, siden det i tilfellet med brøkverdier av koeffisientene til den kvadratiske ligningen, oppstår vanskeligheter med implementeringen av paragraf 2 i algoritmen.
Fullkvadratmetoden er på sin side universell og kan brukes på andregradsligninger av enhver type. Essensen er å utføre følgende operasjoner:
- Ledene i ligningen som inneholder koeffisientene a og b må overføres til den ene delen av ligningen, og den frie termen c til den andre.
- Deretter skal delene av likheten (høyre og venstre) divideres med koeffisienten a, det vil si presentere ligningen i redusert form (a=1).
- Summer leddene med koeffisientene a og b for å representere som kvadratet av en lineær ligning. Siden en \u003d 1, vil den lineære koeffisienten være lik 1, som for den frie termen til den lineære ligningen, så bør den være lik halvparten av den lineære koeffisienten til den reduserte kvadratiske ligningen. Etter at kvadratet til det lineære uttrykket er tegnet opp, er det nødvendig å legge til det tilsvarende tallet til høyre side av likheten, der frileddet er plassert, som fås ved å utvide kvadratet.
- Ta kvadratroten med "+" og "-"-tegn og løs den lineære ligningen som allerede er oppnådd.
Den beskrevne algoritmen kan ved første øyekast oppfattes som ganske komplisert, men i praksis er den enklere å implementere enn faktoriseringsmetoden.
Et eksempel på en løsning som bruker hele kvadratkomplementet
La oss gi et eksempel på en kvadratisk ligning for å trene opp løsningen ved hjelp av metoden beskrevet i forrige avsnitt. La andregradsligningen -10 - 6x+5x2=0. Vi begynner å løse den ved å følge algoritmen beskrevet ovenfor.
Punkt 1. Vi bruker overføringsmetoden når vi løser kvadratlikninger, vi får: - 6x+5x2=10.
Punkt 2. Den reduserte formen av denne ligningen oppnås ved å dividere med tallet 5 for hvert av medlemmene (hvis begge deler er delt eller multiplisert med samme tall, vil likheten bli bevart). Som et resultat av transformasjonene får vi: x2 - 6/5x=2.
Punkt 3. Halvparten av koeffisienten - 6/5 er -6/10=-3/5, bruk dette tallet for å fullføre kvadratet, vi får: (-3/5+x) 2 . Vi utvider den og den resulterende frie termen skal trekkes fra venstre side av likheten for å tilfredsstille den opprinnelige formen til kvadratisk ligning, som tilsvarer å legge den til høyre side. Som et resultat får vi: (-3/5+x)2=59/25.
Punkt 4. Regn ut kvadratroten med positive og negative fortegn og finn røttene: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. De to funne røttene har følgende verdier: x1=(√59+3)/5 og x1=(3-√59)/5.
Siden beregningene som utføres er relatert til røtter, er det stor sannsynlighet for å gjøre feil. Derfor anbefales det å sjekke riktigheten til røttene x2 og x1. Vi får for x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Bytt ut nåx2: 5((3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0, Dermed har vi vist at de funne røttene til ligningen er sanne.
Metode 3. Anvendelse av den velkjente formelen
Denne metoden for å løse andregradsligninger er kanskje den enkleste, siden den består i å erstatte koeffisientene i en kjent formel. For å bruke det trenger du ikke tenke på å kompilere løsningsalgoritmer, det er nok å huske bare én formel. Det er vist på bildet over.
I denne formelen kalles det radikale uttrykket (b2-4ac) diskriminanten (D). Fra verdien avhenger av hvilke røtter som oppnås. Det er 3 tilfeller:
- D>0, så har rot to-ligningen reelle og forskjellige.
- D=0, så får man roten, som kan beregnes ut fra uttrykket x=-b/(a2).
- D<0, da får du to forskjellige imaginære røtter, som er representert som komplekse tall. For eksempel er tallet 3-5i komplekst, mens den imaginære enheten i tilfredsstiller egenskapen: i2=-1.
Et eksempel på en løsning ved å beregne diskriminanten
La oss gi et eksempel på en andregradsligning for å øve på å bruke formelen ovenfor. Finn røttene for -3x2-6+3x+4x=0. Beregn først verdien av diskriminanten, vi får: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Siden D<0 er oppnådd, betyr det at røttene til den betraktede ligningen er komplekse tall. La oss finne dem ved å erstatte den funnet verdien D i formelen gitt i forrige avsnitt (den er også vist på bildet ovenfor). Vi får: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Metode 4. Bruke funksjonsgrafen
Det kalles også den grafiske metoden for å løse kvadratlikninger. Det skal sies at det som regel ikke brukes til kvantitativ, men for kvalitativ analyse av ligningen under vurdering.
Essensen av metoden er å plotte en kvadratisk funksjon y=f(x), som er en parabel. Deretter er det nødvendig å bestemme på hvilke punkter parabelen skjærer x-aksen (X), de vil være røttene til den tilsvarende ligningen.
For å finne ut om en parabel vil krysse X-aksen, er det nok å vite posisjonen til minimum (maksimum) og retningen til grenene (de kan enten øke eller redusere). Det er to egenskaper for denne kurven å huske:
- Hvis a>0 - grenens parabler er rettet oppover, tvert imot, hvis a<0, så går de ned.
- Minste (maksimum) koordinat for en parabel er alltid x=-b/(2a).
Du må for eksempel finne ut om ligningen -4x+5x2+10=0 har røtter. Den tilsvarende parabelen vil være rettet oppover, siden en=5>0. Dens ekstremum har koordinater: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Siden minimum av kurven ligger over x-aksen (y=9, 2), så skjærer den ikke sistnevnte for evt.x-verdier. Det vil si at den gitte ligningen ikke har noen reelle røtter.
Vietas teorem
Som nevnt ovenfor er denne teoremet en konsekvens av metode nr. 3, som er basert på anvendelsen av en formel med en diskriminant. Essensen av Vieta-teoremet er at det lar deg koble koeffisientene til ligningen og dens røtter inn i likhet. La oss få de tilsvarende likhetene.
La oss bruke formelen for å beregne røttene gjennom diskriminanten. Legg til to røtter, vi får: x1+x2=-b/a. La oss nå gange røttene med hverandre: x1x2, etter en rekke forenklinger får vi tallet c/a.
For å løse de kvadratiske ligningene ved hjelp av Vieta-setningen, kan du altså bruke de oppnådde to likhetene. Hvis alle tre koeffisientene til en ligning er kjent, kan røttene bli funnet ved å løse det riktige systemet av disse to ligningene.
Et eksempel på bruk av Vietas teorem
Du må skrive en kvadratisk ligning hvis du vet at den har formen x2+c=-bx og røttene er 3 og -4.
Siden a=1 i ligningen under vurdering, vil Vieta-formlene se slik ut: x2+x1=-b og x2x1=s. Ved å erstatte de kjente verdiene til røttene får vi: b=1 og c=-12. Som et resultat vil den gjenopprettede kvadratisk reduserte ligningen se slik ut: x2-12=-1x. Du kan erstatte verdien av røttene i den og sørge for at likheten holder.
Omvendt anvendelse av Vieta-setningen, det vil si beregningen av røttene vedkjent form for ligningen, tillater små heltall a, b og c for raskt (intuitivt) å finne løsninger.
