Egenskaper og metoder for å finne røttene til en andregradsligning

Innholdsfortegnelse:

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Verden er ordnet på en slik måte at løsningen av et stort antall problemer handler om å finne røttene til en kvadratisk ligning. Røttene til ligninger er viktige for å beskrive ulike mønstre. Dette var kjent selv for landmålerne i det gamle Babylon. Astronomer og ingeniører ble også tvunget til å løse slike problemer. Tilbake på 600-tallet e. Kr. utviklet den indiske forskeren Aryabhata det grunnleggende for å finne røttene til en kvadratisk ligning. Formlene ble fullført på 1800-tallet.

Generelle konsepter

Vi inviterer deg til å gjøre deg kjent med de grunnleggende regelmessighetene til kvadratiske likheter. Generelt kan likhet skrives som følger:

ax2 + bx + c=0, Antallet røtter til en kvadratisk ligning kan være lik en eller to. En rask analyse kan gjøres ved å bruke begrepet diskriminant:

D=b2 - 4ac

Avhengig av den beregnede verdien får vi:

Når D > 0 er det to forskjellige røtter. Den generelle formelen for å bestemme røttene til en kvadratisk ligning ser ut som (-b± √D) / (2a).
D=0, i dette tilfellet er roten én og tilsvarer verdien x=-b / (2a)
D < 0, for en negativ verdi av diskriminanten er det ingen løsning på ligningen.

Merk: hvis diskriminanten er negativ, har ligningen ingen røtter bare i området for reelle tall. Hvis algebra utvides til begrepet komplekse røtter, har ligningen en løsning.

La oss gi en kjede av handlinger som bekrefter formelen for å finne røtter.

Fra den generelle formen til ligningen følger det:

ax2 + bx=-c

Vi multipliserer høyre og venstre del med 4a og legger til b2, vi får

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Forvandle venstre side til kvadratet av polynomet (2akse + b)². Vi trekker ut kvadratroten av begge sider av ligningen 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), overfører koeffisienten b til høyre side, vi får:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Herfra følger:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Hva som kreves for å vise.

Spesi altilfelle

I noen tilfeller kan løsningen av problemet forenkles. Så for en jevn koeffisient b får vi en enklere formel.

Betegn k=1/2b, så har formelen for den generelle formen til røttene til den kvadratiske ligningen formen:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Når D=0, får vi x=-k / a

Et annet spesi altilfelle er løsningen av ligningen med a=1.

For formen x² + bx + c=0 vil røttene være x=-k ± √(k^{2 - c) med diskriminant større enn 0. For tilfellet når D=0, vil roten bli bestemt av en enkel formel: x=-k.}

Bruk diagrammer

Enhver person, uten engang å vite det, blir konstant møtt med fysiske, kjemiske, biologiske og til og med sosiale fenomener som er godt beskrevet av en kvadratisk funksjon.

Merk: kurven bygget på grunnlag av en kvadratisk funksjon kalles en parabel.

Her er noen eksempler.

Når man beregner banen til et prosjektil, brukes egenskapen for bevegelse langs en parabel av et legeme som er avfyrt i en vinkel mot horisonten.
Egenskapen til en parabel for å fordele belastningen jevnt er mye brukt i arkitektur.

For å forstå viktigheten av den parabolske funksjonen, la oss finne ut hvordan du bruker grafen til å utforske egenskapene ved å bruke begrepene "diskriminant" og "røtter til en kvadratisk ligning".

Avhengig av verdien av koeffisientene a og b, er det bare seks alternativer for posisjonen til kurven:

Diskriminanten er positiv, a og b har forskjellige fortegn. Parabolens grener slår opp, kvadratisk ligning har to løsninger.
Diskriminant og koeffisient b er lik null, koeffisient a er større enn null. Grafen er i den positive sonen, ligningen har 1 rot.
Diskriminanten og alle koeffisientene er positive. Andregradsligningen har ingen løsning.
Diskriminant og koeffisient a er negative, b er større enn null. Grenene til grafen er rettet nedover, ligningen har to røtter.
Diskriminerende ogkoeffisient b er lik null, koeffisient a er negativ. Parablen ser ned, ligningen har én rot.
Verdiene til diskriminanten og alle koeffisienter er negative. Det er ingen løsninger, funksjonsverdiene er helt i den negative sonen.

Merk: alternativet a=0 vurderes ikke, siden parablen i dette tilfellet degenererer til en rett linje.

Alt ovenfor er godt illustrert av figuren nedenfor.

Eksempler på problemløsning

Betingelse: bruk de generelle egenskapene, lag en kvadratisk ligning hvis røtter er lik hverandre.

Løsning:

i henhold til problemets tilstand x₁ =x₂, eller -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Forenkling av notasjonen:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, åpne parentesene og gi like termer. Ligningen blir 2√(b² - 4ac)=0. Denne setningen er sann når b² - 4ac=0, derav b ^{2=4ac, deretter erstattes verdien b=2√(ac) i ligningen}

ax² + 2√(ac)x + c=0, i redusert form får vi x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Svar:

for a som ikke er lik 0 og en hvilken som helst c, er det bare én løsning hvis b=2√(c / a).

Kvadriske ligninger, i all sin enkelhet, er av stor betydning i ingeniørberegninger. Nesten enhver fysisk prosess kan beskrives med noen tilnærming ved hjelp avpotensfunksjoner av orden n. Andregradsligningen vil være den første slike tilnærming.

Anbefalt:

Hvordan finne minimums- og maksimumspoengene til en funksjon: funksjoner, metoder og eksempler

Et av de viktigste temaene i matematikk, som ofte antas å være vanskelig. Faktisk er alt mye enklere. Så hvordan finner du minimums- og maksimumspoengene til en funksjon?

Kvadratrot: beregningsformler. Formelen for å finne røttene til en kvadratisk ligning

Noen matematiske oppgaver krever evnen til å beregne kvadratroten. Disse problemene inkluderer å løse andreordens ligninger. I denne artikkelen presenterer vi en effektiv metode for å beregne kvadratrøtter og bruke den når du arbeider med formler for røttene til en kvadratisk ligning