Noen matematiske oppgaver krever evnen til å beregne kvadratroten. Disse problemene inkluderer å løse andreordens ligninger. I denne artikkelen presenterer vi en effektiv metode for å beregne kvadratrøtter og bruke den når vi arbeider med formler for røttene til en kvadratisk ligning.
Hva er en kvadratrot?
I matematikk tilsvarer dette konseptet symbolet √. Historiske data sier at det begynte å bli brukt for første gang rundt første halvdel av 1500-tallet i Tyskland (det første tyske verket om algebra av Christoph Rudolf). Forskere tror at dette symbolet er en forvandlet latinsk bokstav r (radix betyr "rot" på latin).
Roten til et hvilket som helst tall er lik en slik verdi, hvis kvadrat tilsvarer rotuttrykket. På matematikkspråket vil denne definisjonen se slik ut: √x=y hvis y2=x.
Roten av et positivt tall (x > 0) er ogsået positivt tall (y > 0), men hvis roten er tatt fra et negativt tall (x < 0), vil resultatet allerede være et komplekst tall, inkludert den imaginære enheten i.
Her er to enkle eksempler:
√9=3 fordi 32 =9; √(-9)=3i fordi i2=-1.
Herons iterative formel for å finne kvadratrøtter
Eksemplene ovenfor er veldig enkle, og det er ikke vanskelig å beregne røttene i dem. Vanskeligheter begynner å dukke opp allerede når man finner rotverdiene for enhver verdi som ikke kan representeres som kvadratet av et naturlig tall, for eksempel √10, √11, √12, √13, for ikke å nevne det faktum at det i praksis er nødvendig for å finne røtter for ikke-heltall: for eksempel √(12, 15), √(8, 5) og så videre.
I alle de ovennevnte tilfellene bør en spesiell metode for å beregne kvadratroten brukes. For tiden er flere slike metoder kjent: for eksempel utvidelse i en Taylor-serie, deling etter en kolonne og noen andre. Av alle kjente metoder er kanskje den enkleste og mest effektive bruken av Herons iterative formel, som også er kjent som den babylonske metoden for å bestemme kvadratrøtter (det er bevis for at de gamle babylonerne brukte den i sine praktiske beregninger).
La det være nødvendig å bestemme verdien av √x. Formelen for å finne kvadratroten er som følger:
an+1=1/2(a+x/a), hvor limn->∞(a)=> x.
Dechiffrer denne matematiske notasjonen. For å beregne √x bør du ta et tall a0 (det kan være vilkårlig, men for et raskt resultat bør du velge det slik at (a0) 2 var så nær x som mulig, og bytt den inn i den angitte kvadratrotformelen og få et nytt tall a1, som allerede vil være nærmere ønsket verdi. Det er nødvendig å erstatte a1 i uttrykket og få en2 Denne prosedyren bør gjentas til den nødvendige nøyaktigheten er oppnådd.
Et eksempel på bruk av Herons iterative formel
Algorithmen beskrevet ovenfor for å få kvadratroten av et gitt tall kan høres ganske komplisert og forvirrende ut for mange, men i virkeligheten viser alt seg å være mye enklere, siden denne formelen konvergerer veldig raskt (spesielt hvis et lykketall er valgt a0).
La oss ta et enkelt eksempel: vi må regne ut √11. Vi velger en0=3, siden 32=9, som er nærmere 11 enn 42=16. Setter vi inn i formelen får vi:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Det er ingen vits i å fortsette beregningene, siden vi har fått at a2 og a3 begynner å avvike bare med 5. desimal plass. Dermed var det nok å bruke bare 2 ganger formelen tilberegne √11 til innenfor 0,0001.
For tiden er kalkulatorer og datamaskiner mye brukt til å beregne røtter, men det er nyttig å huske den merkede formelen for å kunne beregne den nøyaktige verdien manuelt.
Andre ordens ligninger
Forståelse av hva en kvadratrot er og evnen til å regne ut den brukes ved løsning av andregradsligninger. Disse ligningene er likheter med én ukjent, hvis generelle form er vist i figuren nedenfor.
Her er c, b og a noen tall, og a må ikke være lik null, og verdiene til c og b kan være helt vilkårlige, inkludert null.
Alle verdier av x som tilfredsstiller likheten angitt i figuren kalles røttene (dette konseptet må ikke forveksles med kvadratroten √). Siden ligningen som vurderes har 2. orden (x2), kan det ikke være mer enn to tall for røttene. La oss se på hvordan du finner disse røttene senere i artikkelen.
Finne røttene til en andregradsligning (formel)
Denne metoden for å løse den betraktede typen likheter kalles også universell, eller metoden gjennom diskriminanten. Det kan brukes på alle andregradsligninger. Formelen for diskriminanten og røttene til den kvadratiske ligningen er som følger:
Det viser at røttene avhenger av verdien av hver av de tre koeffisientene i ligningen. Dessuten regnestykketx1 skiller seg fra beregningen x2 bare med tegnet før kvadratroten. Det radikale uttrykket, som er lik b2 - 4ac, er ikke annet enn diskriminanten til den betraktede likheten. Diskriminanten i formelen for røttene til en kvadratisk ligning spiller en viktig rolle fordi den bestemmer antall og type løsninger. Så hvis den er null, vil det bare være én løsning, hvis den er positiv, så har ligningen to reelle røtter, til slutt fører den negative diskriminanten til to komplekse røtter x1 og x 2.
Vietas teorem eller noen egenskaper til røttene til andreordens ligninger
På slutten av 1500-tallet var en av grunnleggerne av moderne algebra, franskmannen Francois Viet, som studerte andreordens ligninger, i stand til å oppnå egenskapene til røttene. Matematisk kan de skrives slik:
x1 + x2=-b / a og x1 x 2=c / a.
Begge likheter kan enkelt oppnås av hvem som helst, for dette er det bare nødvendig å utføre de riktige matematiske operasjonene med røttene oppnådd gjennom formelen med diskriminanten.
Kombinasjonen av disse to uttrykkene kan med rette kalles den andre formelen av røttene til en kvadratisk ligning, som gjør det mulig å gjette løsningene uten å bruke diskriminanten. Det skal bemerkes her at selv om begge uttrykkene alltid er gyldige, er det praktisk å bruke dem til å løse en ligning bare hvis den kan faktoriseres.
Oppgaven med å konsolidere den ervervede kunnskapen
La oss løse et matematisk problem der vi skal demonstrere alle teknikkene som er omt alt i artikkelen. Betingelsene for problemet er som følger: du må finne to tall der produktet er -13, og summen er 4.
Denne tilstanden minner umiddelbart om Vietas teorem, ved å bruke formlene for summen av kvadratrøtter og deres produkt, skriver vi:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Forutsatt at a=1, så er b=-4 og c=-13. Disse koeffisientene lar oss skrive en andreordens ligning:
x2 - 4x - 13=0.
Bruk formelen med diskriminanten, vi får følgende røtter:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Det vil si at oppgaven ble redusert til å finne tallet √68. Legg merke til at 68=417, og ved å bruke kvadratrotegenskapen får vi: √68=2√17.
La oss nå bruke den betraktede kvadratrotformelen: a0=4, deretter:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Det er ikke nødvendig å beregne en3 fordi de funnet verdiene avviker med bare 0,02. Dermed er √68=8,246. Setter inn i formelen for x 1, 2, vi får:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 og x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Som du kan se, er summen av tallene faktisk 4, men hvis du finner produktet deres, vil det være lik -12,999, som tilfredsstiller problemets tilstand med en nøyaktighet på 0,001.
