Polyedre inntar ikke bare en fremtredende plass i geometri, men forekommer også i det daglige livet til enhver person. For ikke å nevne kunstig skapte husholdningsartikler i form av forskjellige polygoner, som starter med en fyrstikkeske og slutter med arkitektoniske elementer, krystaller i form av en kube (s alt), prisme (krystall), pyramide (scheelitt), oktaeder (diamant), osv. e.
Konseptet med et polyeder, typer polyeder i geometri
Geometri som vitenskap inneholder en del av stereometri som studerer egenskapene og egenskapene til tredimensjonale figurer. Geometriske legemer, hvis sider i tredimensjon alt rom er dannet av begrensede plan (ansikter), kalles "polyeder". Typer polyedre inkluderer mer enn et dusin representanter, forskjellige i antall og form på ansikter.
Men alle polyedre har felles egenskaper:
- De har alle 3 viktige komponenter: ansikt(overflate av en polygon), toppunkt (hjørner dannet ved krysset mellom flater), kant (siden av en figur eller et segment dannet ved krysset mellom to flater).
- Hver polygonkant forbinder to og bare to flater som er ved siden av hverandre.
- Konveksitet betyr at kroppen er fullstendig plassert kun på den ene siden av planet som ett av ansiktene ligger på. Regelen gjelder for alle overflater av polyederet. Slike geometriske figurer i stereometri kalles konvekse polyedre. Unntaket er stjerneformede polyedre, som er derivater av vanlige polyedriske geometriske faste stoffer.
Polyhedra kan betinget deles inn i:
- Typer av konvekse polyedre, bestående av følgende klasser: ordinære eller klassiske (prisme, pyramide, parallellepiped), regulære (også k alt platoniske faste stoffer), semi-regulære (andre navn - arkimedeiske faste stoffer).
- Ikke-konvekse polyeder (stjerneformet).
Prism og dets egenskaper
Stereometri som en gren av geometri studerer egenskapene til tredimensjonale figurer, typer polyedre (et prisme er et av dem). Et prisme er et geometrisk legeme som nødvendigvis har to helt identiske flater (de kalles også baser) som ligger i parallelle plan, og det n-te antallet sideflater i form av parallellogrammer. På sin side har prismet også flere varianter, inkludert slike typer polyedre som:
- Parallellepipedum - dannet hvis basen er et parallellogram -polygon med 2 par like motsatte vinkler og 2 par kongruente motsatte sider.
- Et rett prisme har kanter vinkelrett på basen.
- Tilt prisme er preget av tilstedeværelsen av ikke-rette vinkler (annet enn 90) mellom flatene og basen.
- Et regulært prisme kjennetegnes av baser i form av en regulær polygon med like sideflater.
Grunnleggende egenskaper til et prisme:
- Kongruente baser.
- Alle kanter av prismet er like og parallelle med hverandre.
- Alle sideflater er parallellogramformede.
Pyramid
Pyramid er en geometrisk kropp, som består av en base og n-te antall trekantede flater, koblet sammen på ett punkt - toppen. Det skal bemerkes at hvis sideflatene til pyramiden nødvendigvis er representert av trekanter, kan basen enten være en trekantet polygon, eller en firkant, eller en femkant, og så videre i det uendelige. I dette tilfellet vil navnet på pyramiden tilsvare polygonen ved basen. For eksempel, hvis en trekant ligger ved bunnen av en pyramide, er det en trekantet pyramide, en firkant er en firkantet, osv.
Pyramider er kjeglelignende polyeder. Typene polyedre i denne gruppen, i tillegg til de som er oppført ovenfor, inkluderer også følgende representanter:
- En vanlig pyramide har en vanlig polygon ved bunnen, og høyden er projisert til midtenen sirkel innskrevet i basen eller omskrevet rundt den.
- En rektangulær pyramide dannes når en av sidekantene skjærer bunnen i rett vinkel. I dette tilfellet er det også rimelig å kalle denne kanten høyden på pyramiden.
Pyramideegenskaper:
- Hvis alle sidekanter av pyramiden er kongruente (med samme høyde), så skjærer de alle med basen i samme vinkel, og rundt basen kan du tegne en sirkel med et senter som faller sammen med projeksjonen av toppen av pyramiden.
- Hvis bunnen av pyramiden er en vanlig polygon, er alle sidekanter kongruente, og flatene er likebente trekanter.
Vanlig polyeder: typer og egenskaper til polyeder
I stereometri er en spesiell plass okkupert av geometriske kropper med absolutt like flater, hvor det samme antall kanter er koblet sammen. Disse faste stoffene kalles platoniske faste stoffer, eller vanlige polyeder. Typer polyedre med slike egenskaper har bare fem former:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Vanlige polyeder skylder navnet sitt til den antikke greske filosofen Platon, som beskrev disse geometriske legemer i sine skrifter og koblet dem sammen med de naturlige elementene: jord, vann, ild, luft. Den femte figuren ble tildelt likheten med universets struktur. Etter hans mening ligner atomene til naturlige elementer i form typene vanlige polyedere. På grunn av sin mest spennende eiendom -symmetri var disse geometriske kroppene av stor interesse ikke bare for gamle matematikere og filosofer, men også for arkitekter, kunstnere og skulptører til alle tider. Tilstedeværelsen av bare 5 typer polyedre med absolutt symmetri ble ansett som en grunnleggende oppdagelse, de ble til og med tildelt en forbindelse med det guddommelige prinsippet.
Hexahedron og dets egenskaper
I form av en sekskant antok Platons etterfølgere en likhet med strukturen til jordens atomer. Selvfølgelig er denne hypotesen for øyeblikket fullstendig tilbakevist, noe som imidlertid ikke hindrer figurene i å tiltrekke hodet til kjente figurer med sin estetikk i moderne tid.
I geometri regnes et heksaeder, også kjent som en kube, som et spesi altilfelle av et parallellepiped, som igjen er et slags prisme. Følgelig er egenskapene til kuben relatert til egenskapene til prismet, med den eneste forskjellen at alle flatene og hjørnene til kuben er like med hverandre. Følgende egenskaper følger av dette:
- Alle kanter på kuben er kongruente og ligger i parallelle plan i forhold til hverandre.
- Alle flater er kongruente firkanter (det er tot alt 6 i en kube), alle kan tas som en base.
- Alle grensesnittvinkler er 90.
- Et like antall kanter kommer fra hvert toppunkt, nemlig 3.
- Terningen har 9 symmetriakser, som alle skjærer hverandre i skjæringspunktet for diagonalene til sekskantet, k alt symmetrisenteret.
Tetrahedron
Et tetraeder er et tetraeder med like flater i form av trekanter, hvor hvert av hjørneneer koblingspunktet for tre flater.
Egenskaper til vanlig tetraeder:
- Alle flater av et tetraeder er likesidede trekanter, noe som betyr at alle flater av et tetraeder er kongruente.
- Siden grunnflaten er representert av en regulær geometrisk figur, det vil si at den har like sider, konvergerer flatene til tetraederet i samme vinkel, det vil si at alle vinkler er like.
- Summen av flate vinkler ved hvert av toppunktene er 180, siden alle vinkler er like, så er enhver vinkel i et regulært tetraeder 60.
- Hvert av toppunktene projiseres til skjæringspunktet for høydene til den motsatte (ortosenter) flaten.
Oktaederet og dets egenskaper
Når man beskriver typene vanlige polyedre, kan man ikke unngå å legge merke til et slikt objekt som et oktaeder, som visuelt kan representeres som to firkantede regulære pyramider limt sammen av baser.
Properties of the octahedron:
- Selve navnet på en geometrisk kropp antyder antallet ansikter. Oktaederet består av 8 kongruente likesidede trekanter, i hvert av toppunktene hvor et likt antall flater konvergerer, nemlig 4.
- Siden alle flatene til et oktaeder er like, er grensesnittvinklene også like, som hver er lik 60, og summen av planvinklene til noen av toppunktene er dermed 240.
Dodecahedron
Hvis vi forestiller oss at alle ansiktene til en geometrisk kropp er en vanlig femkant, så får vi et dodekaeder -en figur på 12 polygoner.
Properties of the dodecahedron:
- Tre ansikter skjærer hverandre ved hvert toppunkt.
- Alle flater er like og har samme kantlengde og likt areal.
- Dodekaederet har 15 akser og symmetriplan, og hvilken som helst av dem passerer gjennom toppen av ansiktet og midten av den motsatte kanten.
Icosahedron
Ikke mindre interessant enn dodekaederet, figuren til ikosaederet er en tredimensjonal geometrisk kropp med 20 like flater. Blant egenskapene til en vanlig tjuehedron kan følgende nevnes:
- Alle overflater av icosahedron er likebenede trekanter.
- Fem flater konvergerer ved hvert toppunkt av polyederet, og summen av de tilstøtende vinklene til toppunktet er 300.
- Icosahedron, i likhet med dodecahedron, har 15 akser og symmetriplan som går gjennom midtpunktene til motsatte flater.
Semi-regulære polygoner
Foruten platoniske faste stoffer, inkluderer gruppen av konvekse polyedre også arkimedeiske faste stoffer, som er avkortede vanlige polyedre. Polyedretypene i denne gruppen har følgende egenskaper:
- Geometriske legemer har parvis like flater av flere typer, for eksempel har et avkortet tetraeder 8 flater, som et vanlig tetraeder, men i tilfellet med et arkimedesk legeme, vil 4 flater være trekantede og 4 vil være sekskantede.
- Alle vinkler i ett toppunkt er kongruente.
Stjernepolyeder
Representanter for ikke-volumetriske typer geometriske legemer er stjerneformede polyedere hvis ansikter krysser hverandre. De kan dannes ved å slå sammen to vanlige 3D-faste stoffer eller ved å utvide ansiktene deres.
Slike stjerneformet polyedre er derfor kjent som: stjerneformede former av oktaeder, dodekaeder, icosahedron, cuboctahedron, icosododecahedron.
