En av de grunnleggende delene av matematisk analyse er integralregning. Den dekker det bredeste feltet av objekter, der den første er den ubestemte integralen. Det er verdt å posisjonere den som en nøkkel, som selv på videregående avslører et økende antall perspektiver og muligheter som høyere matematikk beskriver.
Utseende
Ved første øyekast virker integralet helt moderne, relevant, men i praksis viser det seg at det dukket opp allerede i 1800 f. Kr. Egypt regnes offisielt som hjemlandet, siden tidligere bevis på dets eksistens ikke har nådd oss. Han, på grunn av mangel på informasjon, ble hele denne tiden posisjonert ganske enkelt som et fenomen. Han bekreftet nok en gang utviklingsnivået for vitenskap blant folkene på den tiden. Til slutt ble verkene til antikke greske matematikere som dateres tilbake til det 4. århundre f. Kr. funnet. De beskrev en metode der en ubestemt integral ble brukt, hvis essens var å finne volumet eller arealet til en krumlinjet figur (tredimensjonalog todimensjonale plan, henholdsvis). Beregningsprinsippet var basert på å dele den opprinnelige figuren i uendelig små komponenter, forutsatt at volumet (arealet) deres allerede er kjent. Over tid har metoden vokst, Archimedes brukte den til å finne arealet til en parabel. Lignende beregninger ble utført på samme tid av forskere i det gamle Kina, og de var helt uavhengige av sine greske motparter innen vitenskap.
Utvikling
Det neste gjennombruddet på 1000-tallet e. Kr. var arbeidet til den arabiske vitenskapsmannen-"universelle" Abu Ali al-Basri, som flyttet grensene for det som allerede var kjent, ved å utlede formler basert på integralet for å beregne summene av rader og summen av potenser fra den første til den fjerde, ved å bruke metoden for matematisk induksjon kjent for oss for dette.
Sinnene i moderne tid beundrer hvordan de gamle egypterne skapte fantastiske arkitektoniske monumenter uten noen spesielle innretninger, bortsett fra kanskje hendene, men er ikke sinnskraften til datidens forskere ikke mindre et mirakel? Sammenlignet med i dag virker livet deres nesten primitivt, men løsningen av ubestemte integraler ble avledet over alt og brukt i praksis for videre utvikling.
Neste trinn fant sted på 1500-tallet, da den italienske matematikeren Cavalieri utviklet metoden for udelelige, som ble plukket opp av Pierre Fermat. Det var disse to personlighetene som la grunnlaget for den moderne integralregningen, som er kjent for øyeblikket. De koblet sammen begrepene differensiering og integrasjon, som tidligere varbehandles som autonome enheter. I det store og hele var matematikken fra den tiden fragmentert, partiklene av konklusjoner eksisterte på egen hånd, med et begrenset omfang. Veien til forening og søken etter felles grunnlag var den eneste sanne på den tiden, takket være hvilken moderne matematisk analyse fikk muligheten til å vokse og utvikle seg.
Alt har endret seg over tid, inkludert notasjonen til integralet. I det store og hele betegnet forskerne det med alle midler, for eksempel brukte Newton et firkantet ikon der han plasserte en integrerbar funksjon eller bare satte den ved siden av.
Denne inkonsekvensen fortsatte til 1600-tallet, da vitenskapsmannen Gottfried Leibniz, et landemerke for hele teorien om matematisk analyse, introduserte symbolet som var så kjent for oss. Den langstrakte "S" er faktisk basert på denne bokstaven i det latinske alfabetet, da den angir summen av antiderivater. Integralen fikk navnet sitt takket være Jacob Bernoulli 15 år senere.
Formell definisjon
Det ubestemte integralet avhenger direkte av definisjonen av antideriverten, så la oss vurdere det først.
En antiderivativ er en funksjon som er invers av en derivert, i praksis kalles den også primitiv. Ellers: antideriverten til en funksjon d er en funksjon D hvis deriverte er lik v V'=v. Søket etter antideriverten er beregningen av det ubestemte integralet, og selve prosessen kalles integrasjon.
Eksempel:
Funksjon s(y)=y3, og dens antiderivative S(y)=(y4/4).
Sammen med alle antideriverte av funksjonen som vurderes er det ubestemte integralet, det er betegnet som følger: ∫v(x)dx.
På grunn av det faktum at V(x) bare er en antiderivert av den opprinnelige funksjonen, finner uttrykket sted: ∫v(x)dx=V(x) + C, hvor C er en konstant. En vilkårlig konstant er en hvilken som helst konstant, siden dens deriverte er lik null.
Properties
Egenskapene som det ubestemte integralet har er basert på hoveddefinisjonen og egenskapene til derivater.
La oss se på hovedpunktene:
- integralet fra den deriverte av antideriverten er selve antideriverten pluss en vilkårlig konstant С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- deriverten av funksjonsintegralet er den opprinnelige funksjonen (∫v(x)dx)'=v(x);
- konstant er tatt ut under integrertegnet ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, der k er vilkårlig;
- integralet tatt fra summen er identisk lik summen av integralene ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Fra de to siste egenskapene kan vi konkludere med at det ubestemte integralet er lineært. Takket være dette har vi: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
For å konsolidere, vurder eksempler på løsning av ubestemte integraler.
Det er nødvendig å finne integralet ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx + C
Fra eksemplet kan vi konkludere:vet ikke hvordan man løser ubestemte integraler? Bare finn alle primitivene! Men prinsippene for søket vil bli vurdert nedenfor.
Metoder og eksempler
For å løse integralet kan du ty til følgende metoder:
- bruk det forberedte bordet;
- integrer etter deler;
- integrer ved å endre variabelen;
- bringing under the differential sign.
Tables
Den enkleste og morsomste måten. For øyeblikket har matematisk analyse ganske omfattende tabeller der de grunnleggende formlene for ubestemte integraler er skrevet. Det er med andre ord maler som er utviklet før deg og for deg gjenstår det bare å bruke dem. Her er en liste over hovedtabellposisjonene du kan utlede nesten alle eksempler som har en løsning:
- ∫0dy=C, der C er en konstant;
- ∫dy=y + C, der C er en konstant;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, hvor C er en konstant og n - ikke-ett nummer;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, der C er en konstant;
- ∫eydy=ey + C, der C er en konstant;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, der C er en konstant;
- ∫cosydy=siny + C, der C er en konstant;
- ∫sinydy=-koselig + C, der C er en konstant;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, der C er en konstant;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, der C er en konstant;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, der C er en konstant;
- ∫chydy=sjenert + C, hvor C -konstant;
- ∫shydy=chy + C, der C er en konstant.
Om nødvendig, ta et par skritt, bring integranden til en tabellform og nyt seieren. Eksempel: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
I følge løsningen er det klart at for det tabellformede eksempelet mangler integranden en faktor på 5. Vi adderer den, multipliserer den med 1/5 parallelt slik at det generelle uttrykket ikke endres.
Integrasjon etter deler
Tenk på to funksjoner - z(y) og x(y). De må være kontinuerlig differensierbare over hele definisjonsdomenet. I henhold til en av differensieringsegenskapene har vi: d(xz)=xdz + zdx. Ved å integrere begge deler av ligningen får vi: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Når vi skriver om den resulterende likheten, får vi en formel som beskriver metoden for integrering av deler: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Hvorfor trengs det? Poenget er at noen eksempler kan forenkles, betinget sett, redusere ∫zdx til ∫xdz hvis sistnevnte er nær tabellform. Denne formelen kan også brukes mer enn én gang, for å oppnå optimale resultater.
Hvordan løser du ubestemte integraler på denne måten:
need to calculate ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
behov for å beregne ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variabelbytte
Dette prinsippet om å løse ubestemte integraler er ikke mindre etterspurt enn de to foregående, selv om det er mer komplisert. Metoden er som følger: la V(x) være integralet av en funksjon v(x). I tilfelle selve integralet i eksemplet fremstår som komplekst, er det stor sannsynlighet for å bli forvirret og ta feil løsningsvei. For å unngå dette øves overgangen fra variabelen x til z, der det generelle uttrykket forenkles visuelt samtidig som avhengigheten av z på x opprettholdes.
Matematisk ser det slik ut: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), hvor x=y(z) er en erstatning. Og, selvfølgelig, den inverse funksjonen z=y-1(x) beskriver fullstendig avhengigheten og forholdet mellom variabler. Viktig merknad - differensialen dx erstattes nødvendigvis med en ny differensial dz, siden erstatning av en variabel i det ubestemte integralet innebærer at den erstattes over alt, og ikke bare i integranden.
Eksempel:
need to find ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Bruk erstatningen z=(s+1)/(s2+2s-5). Deretter dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Som et resultat får vi følgende uttrykk, som er veldig enkelt å beregne:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
need to find the integral∫2sesdx
For å løse, omskriver vi uttrykket i følgende form:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Betegn med a=2e (dette trinnet er ikke en erstatning for argumentet, det er fortsatt s), vi bringer vår tilsynelatende komplekse integral til en elementær tabellform:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Bringing under the differential sign
I det store og hele er denne metoden med ubestemte integraler en tvillingbror til prinsippet om variabel endring, men det er forskjeller i designprosessen. La oss ta en nærmere titt.
Hvis ∫v(x)dx=V(x) + C og y=z(x), så ∫v(y)dy=V(y) + C.
I dette tilfellet bør man ikke glemme de trivielle integrerte transformasjonene, blant annet:
- dx=d(x + a), der a er en hvilken som helst konstant;
- dx=(1 / a)d(ax + b), der a igjen er en konstant, men ikke lik null;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Hvis vi tar for oss det generelle tilfellet når vi beregner det ubestemte integralet, kan eksempler oppsummeres under den generelle formelen w'(x)dx=dw(x).
Eksempler:
need to find ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
onlinehjelp
I noen tilfeller, hvis feil kan være enten latskap eller et presserende behov, kan du bruke tips på nettet, eller snarere bruke den ubestemte integralkalkulatoren. Til tross for all den tilsynelatende kompleksiteten og omstridbarheten til integraler, er løsningen deres underlagt en viss algoritme, som er basert på prinsippet "hvis ikke …, så …".
Selvfølgelig vil en slik kalkulator ikke mestre spesielt intrikate eksempler, siden det er tilfeller der løsningen må finnes kunstig, "tvangsmessig" introdusere visse elementer i prosessen, fordi resultatet ikke kan oppnås i åpenbare måter. Til tross for all kontroversen i denne uttalelsen, er det sant, siden matematikk i prinsippet er en abstrakt vitenskap, og anser behovet for å utvide grensene for muligheter som sin primære oppgave. Det er faktisk ekstremt vanskelig å bevege seg opp og utvikle i henhold til jevne, innkjørte teorier, så du bør ikke anta at eksemplene på å løse ubestemte integraler som vi har gitt er høyden av muligheter. Men tilbake til den tekniske siden. I det minste for å sjekke beregningene kan du bruke tjenestene der alt ble skrevet før oss. Hvis det er behov for automatisk beregning av et komplekst uttrykk, kan de ikke unnlates, du må ty til mer seriøs programvare. Det er verdt å ta hensyn først og fremst til MatLab-miljøet.
Application
Løsningen av ubestemte integraler virker ved første øyekast fullstendig ute av kontakt med virkeligheten, da det er vanskelig å se de åpenbare bruksområdene. De kan faktisk ikke brukes direkte hvor som helst, men de anses som et nødvendig mellomelement i prosessen med å utlede løsninger som brukes i praksis. Så integrasjon er omvendt til differensiering, på grunn av dette deltar den aktivt i prosessen med å løse ligninger.
Disse ligningene har i sin tur direkte innvirkning på løsningen av mekaniske problemer, beregningen av baner og termisk ledningsevne – kort sagt alt som utgjør nåtiden og former fremtiden. Det ubestemte integralet, eksempler som vi har undersøkt ovenfor, er bare trivielt ved første øyekast, siden det er grunnlaget for å gjøre flere og flere nye funn.
