Beregning av massen til en sylinder - homogen og hul

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

En sylinder er en av de enkle tredimensjonale figurene som studeres i skolegeometrikurset (seksjon solid geometri). I dette tilfellet oppstår det ofte problemer med å beregne volumet og massen til en sylinder, samt å bestemme overflaten. Svar på de merkede spørsmålene er gitt i denne artikkelen.

Hva er en sylinder?

Før du går videre til svaret på spørsmålet, hva er massen til sylinderen og volumet, er det verdt å vurdere hva denne romlige figuren er. Det bør bemerkes med en gang at en sylinder er et tredimensjon alt objekt. Det vil si at i rommet kan du måle tre av parameterne langs hver av aksene i et kartesisk rektangulært koordinatsystem. Faktisk, for entydig å bestemme dimensjonene til en sylinder, er det nok å kjenne bare to av parameterne.

Sylinder er en tredimensjonal figur formet av to sirkler og en sylindrisk overflate. For å tydeligere representere dette objektet, er det nok å ta et rektangel og begynne å rotere det rundt noen av sidene, som vil være rotasjonsaksen. I dette tilfellet vil det roterende rektangelet beskrive formenrotasjon - sylinder.

To runde flater kalles sylinderens baser, de er preget av en viss radius. Avstanden mellom basene kalles høyden. De to basene er forbundet med en sylindrisk overflate. Linjen som går gjennom sentrene til begge sirkler kalles sylinderens akse.

Volum og overflate

Som du kan se ovenfor, er sylinderen definert av to parametere: høyden h og radiusen til basen r. Når du kjenner disse parametrene, er det mulig å beregne alle andre egenskaper ved den betraktede kroppen. Nedenfor er de viktigste:

• Arealet til basene. Denne verdien beregnes ved hjelp av formelen: S₁=2pir², der pi er pi lik 3, 14. Siffer 2 i formel vises fordi sylinderen har to identiske baser.
• Sylindrisk overflate. Det kan beregnes slik: S₂=2pirh. Det er lett å forstå denne formelen: hvis en sylindrisk overflate kuttes vertik alt fra en base til en annen og utvides, vil et rektangel bli oppnådd, hvis høyde vil være lik høyden på sylinderen, og bredden vil tilsvare omkretsen av basen til den tredimensjonale figuren. Siden arealet til det resulterende rektangelet er produktet av sidene, som er lik h og 2pir, oppnås formelen ovenfor.
• Sylinderoverflate. Den er lik summen av arealene til S₁ og S₂, vi får: S₃=S ₁ + S₂=2pir² + 2pir h=2pi r(r+h).
• Volum. Denne verdien er lett å finne, du trenger bare å multiplisere arealet til én base med høyden på figuren: V=(S₁/2)h=pir ² h.

Bestemme massen til en sylinder

Til slutt er det verdt å gå direkte til emnet for artikkelen. Hvordan bestemme massen til en sylinder? For å gjøre dette, må du kjenne volumet, formelen for beregning som ble presentert ovenfor. Og tettheten til stoffet den består av. Massen bestemmes av en enkel formel: m=ρV, hvor ρ er tettheten til materialet som danner den aktuelle gjenstanden.

Begrepet tetthet karakteriserer massen til et stoff som er i en enhetsvolum av rommet. For eksempel. Det er kjent at jern har høyere tetthet enn tre. Dette betyr at ved like store mengder jern og tremateriale vil førstnevnte ha mye større masse enn sistnevnte (ca. 16 ganger).

Beregning av massen til en kobbersylinder

Tenk på et enkelt problem. Det er nødvendig å finne massen til en sylinder laget av kobber. For ordens skyld, la sylinderen ha en diameter på 20 cm og en høyde på 10 cm.

Før du begynner å løse problemet, bør du forholde deg til kildedataene. Radiusen til sylinderen er lik halvparten av diameteren, som betyr r=20/2=10 cm, mens høyden er h=10 cm. Siden sylinderen som vurderes i oppgaven er laget av kobber, refererer til referansedata, skriver vi ut tetthetsverdien til dette materialet: ρ=8, 96 g/cm³ (for temperatur 20 °C).

Nå kan du begynne å løse problemet. La oss først beregne volumet: V=pir²h=3, 14(10)²10=3140 cm^{3. Da vil sylinderens masse være: m=ρV=8,963140=28134 gram eller omtrent 28 kilogram.}

Du bør være oppmerksom på dimensjonene til enhetene når de brukes i de tilsvarende formlene. Så i oppgaven ble alle parametere presentert i centimeter og gram.

homogene og hule sylindre

Fra resultatet ovenfor kan man se at en kobbersylinder med relativt små dimensjoner (10 cm) har en stor masse (28 kg). Dette skyldes ikke bare det faktum at det er laget av tungt materiale, men også at det er homogent. Dette faktum er viktig å forstå, siden formelen ovenfor for å beregne massen bare kan brukes hvis sylinderen er helt (utenfor og innvendig) laget av samme materiale, det vil si at den er homogen.

I praksis brukes ofte hule sylindre (for eksempel sylindriske fat for vann). Det vil si at de er laget av tynne ark av noe materiale, men innvendig er de tomme. For en hul sylinder kan den angitte formelen for beregning av massen ikke brukes.

Beregning av massen til en hul sylinder

Det er interessant å beregne hvilken masse en kobbersylinder vil ha hvis den er tom inni. La den for eksempel lages av en tynn kobberplate med en tykkelse på bare d=2 mm.

For å løse dette problemet må du finne volumet til selve kobberet som objektet er laget av. Ikke volumet på sylinderen. Fordi tykkelsenarket er lite sammenlignet med dimensjonene til sylinderen (d=2 mm og r=10 cm), da kan volumet av kobber som gjenstanden er laget av finnes ved å multiplisere hele overflaten til sylinderen med tykkelse på kobberplaten får vi: V=dS ₃=d2pir(r+h). Ved å erstatte dataene fra forrige oppgave får vi: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm³. Massen til en hul sylinder kan oppnås ved å multiplisere det oppnådde volumet av kobber, som var nødvendig for fremstillingen, med tettheten av kobber: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g eller 2,3 kg. Det vil si at den betraktede hule sylinderen veier 12 (28, 1/2, 3) ganger mindre enn en homogen.