I praksis dukker det ofte opp oppgaver som krever evnen til å bygge seksjoner av geometriske former av ulike former og finne arealet av snitt. I denne artikkelen skal vi se på hvor viktige deler av et prisme, en pyramide, en kjegle og en sylinder er bygget, og hvordan man kan beregne arealene deres.
3D-figurer
Fra stereometri er det kjent at en tredimensjonal figur av absolutt enhver type begrenses av en rekke overflater. For eksempel, for slike polyedre som et prisme og en pyramide, er disse overflatene de polygonale sidene. For en sylinder og en kjegle snakker vi om omdreiningsflater av sylindriske og koniske figurer.
Hvis vi tar et plan og vilkårlig skjærer overflaten til en tredimensjonal figur, får vi et snitt. Arealet er lik arealet til den delen av flyet som vil være innenfor volumet av figuren. Minimumsverdien for dette området er null, som realiseres når flyet berører figuren. For eksempel oppnås en seksjon som er dannet av et enkelt punkt hvis flyet passerer gjennom toppen av en pyramide eller kjegle. Den maksimale verdien av tverrsnittsarealet avhenger avden relative posisjonen til figuren og planet, samt figurens form og størrelse.
Nedenfor vil vi vurdere hvordan vi beregner arealet av dannede seksjoner for to omdreiningsfigurer (sylinder og kjegle) og to polyedre (pyramide og prisme).
Sylinder
Sirkulær sylinder er en rotasjonsfigur av et rektangel rundt en hvilken som helst av sidene. Sylinderen er preget av to lineære parametere: basisradius r og høyde h. Diagrammet nedenfor viser hvordan en sirkulær rett sylinder ser ut.
Det er tre viktige seksjonstyper for denne figuren:
- runde;
- rektangulær;
- elliptisk.
Elliptisk er dannet som et resultat av at planet skjærer sideoverflaten til figuren i en vinkel i forhold til bunnen. Rund er resultatet av skjæringspunktet mellom skjæreplanet til sideflaten parallelt med sylinderens base. Til slutt oppnås en rektangulær hvis skjæreplanet er parallelt med sylinderens akse.
Sirkulært areal beregnes ved hjelp av formelen:
S1=pir2
Arealet av det aksiale snittet, dvs. rektangulært, som går gjennom sylinderens akse, er definert som følger:
S2=2rh
kjegleseksjoner
En kjegle er en rotasjonsfigur av en rettvinklet trekant rundt et av bena. Kjeglen har én topp og en rund base. Parametrene er også radius r og høyde h. Et eksempel på en papirkjegle er vist nedenfor.
Det finnes flere typer kjeglesnitt. La oss liste dem opp:
- runde;
- elliptisk;
- parabolic;
- hyperbolsk;
- triangular.
De erstatter hverandre hvis du øker helningsvinkelen til sekantplanet i forhold til den runde basen. Den enkleste måten er å skrive ned formlene for tverrsnittsarealet av sirkulært og trekantet.
Et sirkulært snitt dannes som et resultat av skjæringen av en konisk flate med et plan som er parallelt med basen. For området er følgende formel gyldig:
S1=pir2z2/h 2
Her er z avstanden fra toppen av figuren til den dannede delen. Det kan sees at hvis z=0, så går planet bare gjennom toppunktet, så arealet S1 vil være lik null. Siden z < h, vil arealet av seksjonen som studeres alltid være mindre enn verdien for basen.
Trekantet oppnås når planet skjærer figuren langs rotasjonsaksen. Formen på den resulterende seksjonen vil være en likebenet trekant, hvis sider er diameteren til basen og to generatorer av kjeglen. Hvordan finne tverrsnittsarealet til en trekant? Svaret på dette spørsmålet vil være følgende formel:
S2=rh
Denne likheten oppnås ved å bruke formelen for arealet av en vilkårlig trekant gjennom lengden av basen og høyden.
prismeseksjoner
Prism er en stor klasse figurer som er preget av tilstedeværelsen av to identiske polygonale baser parallelle med hverandre,forbundet med parallellogrammer. Enhver del av et prisme er en polygon. Med tanke på mangfoldet av figurene som vurderes (skrå, rette, n-gonale, regelmessige, konkave prismer), er variasjonen av seksjonene deres også stor. Nedenfor ser vi bare på noen spesielle tilfeller.
Hvis skjæreplanet er parallelt med basen, vil tverrsnittsarealet til prismet være lik arealet til denne basen.
Hvis planet går gjennom de geometriske sentrene til de to basene, det vil si at det er parallelt med sidekantene på figuren, dannes det et parallellogram i snittet. Når det gjelder rette og regulære prismer, vil den betraktede snittvisningen være et rektangel.
Pyramid
Pyramid er et annet polyeder som består av en n-gon og n trekanter. Et eksempel på en trekantet pyramide er vist nedenfor.
Hvis snittet er tegnet av et plan parallelt med den n-gonale basen, vil formen være nøyaktig lik formen til basen. Arealet til en slik seksjon beregnes ved hjelp av formelen:
S1=So(h-z)2/h 2
Hvor z er avstanden fra basen til seksjonsplanet, er So arealet av basen.
Hvis skjæreplanet inneholder toppen av pyramiden og skjærer bunnen av den, får vi et trekantet snitt. For å beregne arealet må du bruke riktig formel for en trekant.
