Sylinderdefinisjon. Formel for volum. Løser problemet med en messingsylinder

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Romlig geometri, som forløpet studeres i 10-11 klassetrinn på skolen, vurderer egenskapene til tredimensjonale figurer. Artikkelen gir en geometrisk definisjon av en sylinder, gir en formel for å beregne volumet, og løser også et fysisk problem der det er viktig å kjenne dette volumet.

Hva er en sylinder?

Fra et stereometrisk synspunkt kan definisjonen av en sylinder gis som følger: det er en figur dannet som et resultat av en parallell forskyvning av et rett segment langs en viss flat lukket kurve. Det navngitte segmentet må ikke tilhøre samme plan som kurven. Hvis kurven er en sirkel, og segmentet er vinkelrett på det, kalles sylinderen dannet på den beskrevne måten rett og rund. Det vises på bildet nedenfor.

Det er ikke vanskelig å gjette at denne formen kan oppnås ved å rotere et rektangel rundt hvilken som helst av sidene.

Sylinderen har to identiske baser, som er sirkler, og en sidesylindrisk overflate. Basens sirkel kalles retningslinjen, og det vinkelrette segmentet som forbinder sirklene til forskjellige baser er generatoren til figuren.

Hvordan finner jeg volumet til en rund, rett sylinder?

Etter å ha blitt kjent med definisjonen av en sylinder, la oss vurdere hvilke parametere du trenger å vite for å matematisk beskrive dens egenskaper.

Avstanden mellom de to basene er høyden på figuren. Det er åpenbart at det er lik lengden på generatoratrisen. Vi vil betegne høyden med den latinske bokstaven h. Radiusen til sirkelen ved basen er angitt med bokstaven r. Det kalles også sylinderens radius. De to parameterne som er introdusert er nok til entydig å beskrive alle egenskapene til den aktuelle figuren.

Gitt den geometriske definisjonen av en sylinder, kan volumet beregnes ved å bruke følgende formel:

V=Sh

Her er S arealet av basen. Merk at for enhver sylinder og for ethvert prisme er den skrevne formelen gyldig. Likevel, for en rund rett sylinder, er det ganske praktisk å bruke den, siden høyden er en generatrise, og arealet S av basen kan bestemmes ved å huske formelen for arealet av en sirkel:

S=pir²

Dermed vil arbeidsformelen for volumet V til den aktuelle figuren skrives som:

V=pir²h

Oppdriftskraft

Alle elever vet at hvis en gjenstand senkes i vann, vil vekten bli mindre. Grunnen til dette faktumer fremveksten av en flytende, eller arkimedeisk styrke. Den virker på enhver kropp, uavhengig av form og materiale de er laget av. Styrken til Archimedes kan bestemmes av formelen:

F_A=ρ_lgV_l

Her er ρ_l og V_l tettheten til væsken og volumet fortrengt av kroppen. Det er viktig å ikke forveksle dette volumet med volumet på kroppen. De vil matche bare hvis kroppen er helt nedsenket i væsken. For enhver delvis nedsenking er V_l alltid mindre enn V i kroppen.

Driftkraften F_A kalles fordi den er rettet vertik alt oppover, det vil si at den er motsatt i retning av tyngdekraften. Ulike retninger av kraftvektorene fører til at vekten av kroppen i enhver væske er mindre enn i luft. For rettferdighets skyld merker vi at i luften påvirkes også alle kropper av en flytende kraft, men den er ubetydelig sammenlignet med den arkimedeiske kraften i vann (800 ganger mindre).

Forskjellen i vekt av legemer i væske og i luft brukes til å bestemme tettheten til faste og flytende stoffer. Denne metoden kalles hydrostatisk veiing. Ifølge legenden ble den først brukt av Arkimedes for å bestemme tettheten til metallet som kronen ble laget av.

Bruk formelen ovenfor for å bestemme oppdriftskraften som virker på en messingsylinder.

Problemet med å beregne Arkimedes-kraften som virker på en messingsylinder

Det er kjent at en messingsylinder har en høyde på 20 cm og en diameter på 10 cm. Hva blir den arkimedeiske kraften,som vil begynne å virke på ham hvis sylinderen kastes i destillert vann.

For å bestemme oppdriftskraften på en messingsylinder, se først på tettheten av messing i tabellen. Den er lik 8600 kg/m³ (dette er gjennomsnittsverdien for tettheten). Siden denne verdien er større enn tettheten til vann (1000 kg/m³), vil objektet synke.

For å bestemme Arkimedes-kraften er det nok å finne volumet til sylinderen, og deretter bruke formelen ovenfor for F_A. Vi har:

V=pir²h=3, 145²20=1570 cm ³

Vi har erstattet radiusverdien på 5 cm i formelen, siden den er to ganger mindre enn den gitte i tilstanden til diameterproblemet.

For oppdriftsstyrken får vi:

F_A=ρ_lgV=10009, 81157010^-6 =15, 4 H

Her har vi konvertert bind V til m³.

Dermed vil en oppadgående kraft på 15,4 N virke på en messingsylinder med kjente dimensjoner, nedsenket i vann.