Matematikk stammer fra antikken. Takket være henne ga arkitektur, konstruksjon og militærvitenskap en ny runde med utvikling, prestasjonene som ble oppnådd ved hjelp av matematikk førte til fremskrittsbevegelsen. Frem til i dag er matematikk den viktigste vitenskapen som finnes i alle andre grener.
For å bli utdannet begynner barn fra første klasse gradvis å smelte sammen i dette miljøet. Det er veldig viktig å forstå matematikk, da det, i en eller annen grad, forekommer for hver person gjennom hele livet. Denne artikkelen vil analysere et av nøkkelelementene - å finne og bruke derivater. Ikke alle kan forestille seg hvor mye dette konseptet brukes. Vurder mer enn 10 anvendelser av derivater innen visse felt eller vitenskaper.
Anvendelse av den deriverte til studiet av en funksjon
Deriverten er en slik grenseforholdet mellom økningen av en funksjon og økningen av argumentet når eksponenten til argumentet har en tendens til null. Den deriverte er en uunnværlig ting i studiet av en funksjon. For eksempel kan den brukes til å bestemme økningen og reduksjonen av sistnevnte, ekstrema, konveksitet og konkavitet. Differensialregning er inkludert i den obligatoriske læreplanen for 1. og 2. års studenter ved matematiske universiteter.
Omfang og funksjonnuller
Det første trinnet i enhver studie av grafen begynner med å finne ut definisjonsdomenet, i mer sjeldne tilfeller - verdien. Definisjonsdomenet er satt langs abscisse-aksen, med andre ord, dette er numeriske verdier på OX-aksen. Ofte er omfanget allerede satt, men hvis det ikke er det, bør verdien av x-argumentet evalueres. Anta at hvis funksjonen ikke gir mening for noen verdier av argumentet, er dette argumentet ekskludert fra omfanget.
Nuller for funksjonen finnes på en enkel måte: funksjonen f(x) skal likestilles med null og den resulterende ligningen skal løses med hensyn til én variabel x. De oppnådde røttene til ligningen er nullpunktene til funksjonen, det vil si at i disse x er funksjonen 0.
Øk og reduser
Bruken av den deriverte for å studere funksjoner for monotonisitet kan vurderes fra to posisjoner. En monoton funksjon er en kategori som bare har positive verdier av den deriverte, eller bare negative verdier. Med enkle ord, funksjonen øker eller reduseres bare over hele intervallet som studeres:
- Øk parameter. Funksjonf(x) vil øke hvis den deriverte av f`(x) er større enn null.
- Synkende parameter. Funksjonen f(x) vil reduseres hvis den deriverte av f`(x) er mindre enn null.
Tangent and Slope
Anvendelsen av den deriverte til studiet av en funksjon bestemmes også av tangenten (rett linje rettet i en vinkel) til grafen til funksjonen i et gitt punkt. Tangent i et punkt (x0) - en linje som går gjennom et punkt og tilhører funksjonen hvis koordinater er (x0, f(x) 0 )) og har skråning f`(x0).
y=f(x0) + f`(x0)(x - x0) - ligningen for tangenten til det gitte punktet på grafen til funksjonen.
Geometrisk betydning av den deriverte: den deriverte av funksjonen f(x) er lik helningen til den dannede tangenten til grafen til denne funksjonen i et gitt punkt x. Vinkelkoeffisienten er på sin side lik tangenten til helningsvinkelen til tangenten til OX-aksen (abscissen) i positiv retning. Denne konsekvensen er grunnleggende for anvendelsen av den deriverte på grafen til en funksjon.
Ekstremepoeng
Å bruke et derivat på en studie innebærer å finne høye og lave punkter.
For å finne og bestemme minimums- og maksimumspoengene må du:
- Finn den deriverte av funksjonen f(x).
- Sett den resulterende ligningen til null.
- Finn røttene til ligningen.
- Finn høye og lave punkter.
For å finne ytterpunkterfunksjoner:
- Finn minimums- og maksimumspoengene ved å bruke metoden ovenfor.
- Sett disse punktene inn i den opprinnelige ligningen og beregn ymax og ymin
Maksimumspunktet for funksjonen er den største verdien av funksjonen f(x) på intervallet, med andre ord xmax.
Minimumspunktet for funksjonen er den minste verdien av funksjonen f(x) på intervallet, med andre ord xnavn
Ekstrempoeng er de samme som maksimums- og minimumspoeng og funksjonens ytterpunkt (ymax. and yminimum) - funksjonsverdier som tilsvarer ekstremumpunkter.
Konveksitet og konkavitet
Du kan bestemme konveksiteten og konkavitet ved å ty til bruken av den deriverte for plotting:
- En funksjon f(x) undersøkt i intervallet (a, b) er konkav hvis funksjonen er plassert under alle tangentene innenfor dette intervallet.
- Funksjonen f(x) studert på intervallet (a, b) er konveks hvis funksjonen er plassert over alle tangentene innenfor dette intervallet.
Punkten som skiller konveksitet og konkavitet kalles funksjonens bøyningspunkt.
For å finne bøyningspunkter:
- Finn kritiske punkter av den andre typen (andre deriverte).
- Bøyepunkter er de kritiske punktene som skiller to motsatte tegn.
- Beregn funksjonsverdier ved funksjonsbøyepunkter.
Delvise derivater
Søknaddet finnes derivater av denne typen i problemer der mer enn én ukjent variabel brukes. Oftest støter man på slike deriverte når man plotter en funksjonsgraf, for å være mer presis, overflater i rommet, der det i stedet for to akser er tre, derfor tre størrelser (to variable og en konstant).
Grunnregelen ved beregning av partielle deriverte er å velge én variabel og behandle resten som konstanter. Derfor, når du beregner den partielle deriverte, blir konstanten som om en numerisk verdi (i mange tabeller med deriverte er de betegnet som C=const). Betydningen av en slik derivert er endringshastigheten til funksjonen z=f(x, y) langs OX- og OY-aksene, det vil si at den karakteriserer brattheten til forsenkningene og bulene på den konstruerte overflaten.
Derivat i fysikk
Bruken av den deriverte i fysikk er utbredt og viktig. Fysisk betydning: den deriverte av banen med hensyn til tid er hastigheten, og akselerasjonen er den deriverte av hastigheten med hensyn til tid. Fra den fysiske betydningen kan mange grener trekkes til ulike grener av fysikken, samtidig som man fullstendig bevarer betydningen av den deriverte.
Ved hjelp av den deriverte finnes følgende verdier:
- Hastighet i kinematikk, der den deriverte av tilbakelagt avstand beregnes. Hvis den andre deriverte av banen eller den første deriverte av hastigheten blir funnet, blir kroppens akselerasjon funnet. I tillegg er det mulig å finne den øyeblikkelige hastigheten til et materialpunkt, men for dette er det nødvendig å vite inkrementet ∆t og ∆r.
- I elektrodynamikk:beregning av den øyeblikkelige styrken til vekselstrømmen, samt EMF for elektromagnetisk induksjon. Ved å beregne den deriverte kan du finne maksimal effekt. Den deriverte av mengden elektrisk ladning er strømstyrken i lederen.
Derivat i kjemi og biologi
Kjemi: Deriverten brukes til å bestemme hastigheten på en kjemisk reaksjon. Den kjemiske betydningen av den deriverte: funksjon p=p(t), i dette tilfellet er p mengden av et stoff som går inn i en kjemisk reaksjon i tiden t. ∆t - tidsøkning, ∆p - stoffmengdeøkning. Grensen for forholdet mellom ∆p og ∆t, der ∆t har en tendens til null, kalles hastigheten på en kjemisk reaksjon. Gjennomsnittsverdien av en kjemisk reaksjon er forholdet ∆p/∆t. Når du bestemmer hastigheten, er det nødvendig å vite nøyaktig alle nødvendige parametere, betingelser, for å kjenne den samlede tilstanden til stoffet og strømningsmediet. Dette er et ganske stort aspekt innen kjemi, som er mye brukt i ulike bransjer og menneskelige aktiviteter.
Biologi: konseptet med et derivat brukes til å beregne gjennomsnittlig reproduksjonshastighet. Biologisk betydning: vi har en funksjon y=x(t). ∆t - tidsøkning. Deretter får vi ved hjelp av noen transformasjoner funksjonen y`=P(t)=x`(t) - den vitale aktiviteten til populasjonen av tid t (gjennomsnittlig reproduksjonshastighet). Denne bruken av derivatet lar deg føre statistikk, spore reproduksjonshastigheten og så videre.
Derivat i geografi og økonomi
Deriverten lar geografer bestemmeoppgaver som å finne populasjon, beregne verdier i seismografi, beregne radioaktivitet av kjernefysiske geofysiske indikatorer, beregne interpolasjon.
I økonomi er en viktig del av beregninger differensialregningen og beregningen av den deriverte. Først av alt lar dette oss bestemme grensene for de nødvendige økonomiske verdiene. For eksempel den høyeste og laveste arbeidsproduktiviteten, kostnader, fortjeneste. I utgangspunktet er disse verdiene beregnet fra funksjonsgrafer, hvor de finner ekstrema, bestemmer monotoniteten til funksjonen i ønsket område.
Konklusjon
Rollen til denne differensialregningen er, som nevnt i artikkelen, involvert i ulike vitenskapelige strukturer. Bruk av avledede funksjoner er et viktig element i den praktiske delen av vitenskap og produksjon. Det er ikke for ingenting at vi ble lært på videregående skole og universitet å bygge komplekse grafer, utforske og jobbe med funksjoner. Som du kan se, uten derivater og differensialberegninger, ville det være umulig å beregne vitale indikatorer og mengder. Menneskeheten har lært å modellere ulike prosesser og utforske dem, for å løse komplekse matematiske problemer. Faktisk er matematikk dronningen av alle vitenskaper, fordi denne vitenskapen ligger til grunn for alle andre naturlige og tekniske disipliner.
