Vanlig femkant: det nødvendige minimum av informasjon

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Ozhegov's Explanatory Dictionary sier at en femkant er en geometrisk figur avgrenset av fem kryssende rette linjer som danner fem indre vinkler, samt ethvert objekt med lignende form. Hvis en gitt polygon har de samme sidene og vinklene, kalles den en regulær (femkant).

Hva er interessant med en vanlig femkant?

Det var i denne formen den velkjente bygningen til USAs forsvarsdepartement ble bygget. Av de voluminøse regulære polyedrene er det bare dodekaederet som har femkantformede ansikter. Og i naturen er krystaller helt fraværende, hvis ansikter vil ligne en vanlig femkant. I tillegg er denne figuren en polygon med et minimum antall hjørner som ikke kan brukes til å flislegge et område. Bare en femkant har samme antall diagonaler som sidene. Enig, det er interessant!

Grunnleggende egenskaper og formler

Bruke formlene forvilkårlig regulær polygon, kan du bestemme alle nødvendige parametere som femkanten har.

• Sentralvinkel α=360 / n=360/5=72°.
• Intern vinkel β=180°(n-2)/n=180°3/5=108°. Følgelig er summen av de indre vinklene 540°.
• Forholdet mellom diagonalen og siden er (1+√5) /2, det vil si det "gyldne snittet" (omtrent 1, 618).
• Lengden på siden som en vanlig femkant har kan beregnes ved hjelp av en av tre formler, avhengig av hvilken parameter som allerede er kjent:
• hvis en sirkel er omskrevet rundt den og dens radius R er kjent, så er a=2Rsin (α/2)=2Rsin(72°/2) ≈1, 1756R;
• i tilfellet når en sirkel med radius r er innskrevet i en regulær femkant, a=2rtg(α/2)=2rtg(α/2) ≈ 1, 453r;
• det hender at i stedet for radier er verdien av diagonalen D kjent, da bestemmes siden som følger: a ≈ D/1, 618.
• Arealet til en vanlig femkant bestemmes, igjen, avhengig av hvilken parameter vi kjenner:
• hvis det er en innskrevet eller omskrevet sirkel, brukes en av to formler:

S=(nar)/2=2, 5ar eller S=(nR²sin α)/2 ≈ 2, 3776R²;

området kan også bestemmes ved kun å vite lengden på siden a:

S=(5a²tg54°)/4 ≈ 1, 7205 a².

Vanlig femkant: konstruksjon

Denne geometriske figuren kan bygges på forskjellige måter. For eksempel, skriv den inn i en sirkel med en gitt radius, eller bygg den på grunnlag av en gitt sideside. Rekkefølgen av handlinger ble beskrevet i Euclid's Elements rundt 300 f. Kr. Uansett trenger vi et kompass og en linjal. Vurder konstruksjonsmetoden ved å bruke en gitt sirkel.

1. Velg en vilkårlig radius og tegn en sirkel, og merk midten med en O.

2. På sirkellinjen velger du et punkt som vil tjene som en av toppunktene til femkanten vår. La dette være punkt A. Koble punktene O og A med en rett linje.

3. Tegn en linje gjennom punktet O vinkelrett på linjen OA. Angi skjæringspunktet mellom denne linjen med sirkellinjen som punkt B.

4. Midt i avstanden mellom punktene O og B, bygg punkt C.

5. Tegn nå en sirkel hvis sentrum vil være i punktet C og som vil passere gjennom punktet A. Skjæringsstedet med linjen OB (det vil være innenfor den aller første sirkelen) vil være punktet D.

6. Konstruer en sirkel som går gjennom D, hvis sentrum vil være i A. Stedene for dens skjæringspunkt med den opprinnelige sirkelen må merkes med punktene E og F.

7. Konstruer nå en sirkel, hvis sentrum vil være i E. Du må gjøre dette slik at den går gjennom A. Dens andre skjæringspunkt av den opprinnelige sirkelen må være indikert med punktet G.

8. Tegn til slutt en sirkel gjennom A sentrert ved punkt F. Marker et annet skjæringspunkt for den opprinnelige sirkelen med punktet H.

9. Nå igjenbare koble til hjørnene A, E, G, H, F. Vår vanlige femkant vil være klar!