Tallsystemer - hva er det? Selv uten å vite svaret på dette spørsmålet, bruker hver av oss ufrivillig tallsystemer i livene våre og mistenker det ikke. Det stemmer, flertall! Det vil si ikke én, men flere. Før vi gir eksempler på ikke-posisjonelle tallsystemer, la oss forstå dette problemet, la oss snakke om posisjonelle systemer også.
Faktura nødvendig
Siden antikken har folk hatt et behov for telling, det vil si at de intuitivt innså at de på en eller annen måte måtte uttrykke en kvantitativ visjon om ting og hendelser. Hjernen antydet at det var nødvendig å bruke gjenstander for telling. Fingre har alltid vært det mest praktiske, og dette er forståelig, fordi de alltid er tilgjengelige (med sjeldne unntak).
Så de gamle representantene for menneskeslekten måtte bøye fingrene i bokstavelig forstand - for å indikere antall drepte mammuter, for eksempel. Slike elementer i kontoen hadde ennå ikke navn, men bare et visuelt bilde, en sammenligning.
Moderne posisjonsnummersystemer
Tallsystemet er en metode (måte) for å representere kvantitative verdier og mengder ved å bruke bestemte tegn (symboler eller bokstaver).
Det er nødvendig å forstå hva som er posisjonelt og ikke-posisjonelt i telling før du gir eksempler på ikke-posisjonelle tallsystemer. Det er mange posisjonsnummersystemer. Nå brukes følgende innen ulike kunnskapsfelt: binær (inkluderer bare to signifikante elementer: 0 og 1), heksadesimal (antall tegn - 6), oktal (tegn - 8), duodesimal (tolv tegn), heksadesimal (inkluderer seksten tegn). Dessuten starter hver rad med tegn i systemene fra null. Moderne datateknologier er basert på bruk av binære koder – det binære posisjonelle tallsystemet.
Desim altallsystem
Posisjonalitet er tilstedeværelsen av betydelige posisjoner i ulik grad, som tegnene til tallet er plassert på. Dette kan best demonstreres ved å bruke eksemplet med desim altallsystemet. Vi er tross alt vant til å bruke det fra barndommen. Det er ti tegn i dette systemet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ta tallet 327. Det har tre tegn: 3, 2, 7. Hvert av dem er plassert i sin egen posisjon (sted). De syv tar posisjonen som er reservert for enkeltverdier (enheter), de to - tiere og de tre - hundrevisene. Siden tallet er tresifret, er det derfor bare tre posisjoner i det.
Basert på ovenstående, detteet tresifret desim altall kan beskrives som følger: tre hundre, to tiere og syv enheter. Dessuten telles betydningen (viktigheten) av posisjoner fra venstre til høyre, fra en svak posisjon (én) til en sterkere (hundrevis).
Vi føler oss veldig komfortable i desim altallsystemet. Vi har ti fingre på hendene, og det samme på føttene. Fem pluss fem - så takket være fingrene forestiller vi oss lett et dusin fra barndommen. Derfor er det lett for barn å lære multiplikasjonstabellene for fem og ti. Og det er også så enkelt å lære å telle sedler, som oftest er multipler (det vil si dividert uten en rest) med fem og ti.
Andre posisjonsnummersystemer
Til manges overraskelse skal det sies at ikke bare i desim altellesystemet er hjernen vår vant til å gjøre noen beregninger. Frem til nå har menneskeheten brukt seks og duodesimale tallsystemer. Det vil si at i et slikt system er det bare seks tegn (i heksadesimal): 0, 1, 2, 3, 4, 5. I duodesimal er det tolv av dem: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, hvor A - betegner tallet 10, B - tallet 11 (siden tegnet må være ett).
Døm selv. Vi teller tid i seksere, gjør vi ikke? En time er seksti minutter (seks tiere), en dag er tjuefire timer (to ganger tolv), et år er tolv måneder, og så videre… Alle tidsintervaller passer lett inn i seks- og duodesimale serier. Men vi er så vant til det at vi ikke engang tenker på det når vi teller tid.
Ikke-posisjonelle tallsystemer. Unary
Det er nødvendig å definere hva det er - et ikke-posisjonelt tallsystem. Dette er et slikt tegnsystem der det ikke er posisjoner for tegnene til et tall, eller prinsippet om å "lese" et tall ikke er avhengig av posisjonen. Den har også sine egne regler for skriving eller beregning.
La oss gi eksempler på ikke-posisjonelle tallsystemer. La oss gå tilbake til antikken. Folk trengte en konto og kom opp med den enkleste oppfinnelsen - knuter. Det ikke-posisjonelle tallsystemet er nodulært. Én gjenstand (en pose med ris, en okse, en høystakk osv.) ble telt med for eksempel ved kjøp eller salg, og knyttet en knute på en snor.
Som et resultat ble det laget like mange knuter på tauet som mange poser med ris (som et eksempel). Men det kan også være hakk på en trepinne, på en steinhelle osv. Et slikt tallsystem ble kjent som nodulært. Hun har et andrenavn - unært, eller singel ("uno" på latin betyr "en").
Det blir åpenbart at dette tallsystemet er ikke-posisjonelt. Tross alt, hva slags stillinger kan vi snakke om når den (stillingen) bare er én! Merkelig nok, i enkelte deler av jorden er det unære ikke-posisjonelle tallsystemet fortsatt i bruk.
I tillegg inkluderer ikke-posisjonsnummersystemer:
- romersk (bokstaver brukes til å skrive tall - latinske tegn);
- gamle egyptiske (lik romersk, symboler ble også brukt);
- alfabetisk (bokstaver i alfabetet ble brukt);
- Babylonsk (kileskrift - brukt direkte oginvertert "kile");
- gresk (også referert til som alfabetisk).
romertallsystem
Det gamle Romerriket, så vel som dets vitenskap, var veldig progressivt. Romerne ga verden mange nyttige oppfinnelser innen vitenskap og kunst, inkludert deres tellesystem. For to hundre år siden ble romertall brukt for å angi beløp i forretningsdokumenter (dermed ble forfalskning unngått).
Romertall er et eksempel på et ikke-posisjonelt tallsystem, vi kjenner det nå. Også det romerske systemet brukes aktivt, men ikke for matematiske beregninger, men for snevert fokuserte handlinger. For eksempel, ved hjelp av romerske tall, er det vanlig å angi historiske datoer, århundrer, antall bind, seksjoner og kapitler i bokpublikasjoner. Romerske tegn brukes ofte til å dekorere urskiver. Og også romertall er et eksempel på et ikke-posisjonelt tallsystem.
Romerne betegnet tall med latinske bokstaver. Dessuten skrev de ned tallene i henhold til visse regler. Det er en liste over nøkkelsymboler i romertallsystemet, ved hjelp av disse ble alle tall skrevet uten unntak.
| Tall (desimal) | romertall (bokstaven i det latinske alfabetet) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Regler for å komponere tall
Det nødvendige tallet ble oppnådd ved å legge til tegn (latinske bokstaver) og beregne summen deres. La oss vurdere hvordan tegn er symbolsk skrevet i det romerske systemet og hvordan de skal "leses". La oss liste opp hovedlovene for talldannelse i det romerske ikke-posisjonelle tallsystemet.
- Tall fire - IV, består av to tegn (I, V - en og fem). Det oppnås ved å trekke det mindre tegnet fra det større hvis det er til venstre. Når det mindre skiltet er plassert til høyre, må du legge til, så får du tallet seks - VI.
- Det er nødvendig å legge til to identiske tegn ved siden av hverandre. For eksempel: SS er 200 (C er 100), eller XX er 20.
- Hvis det første tegnet i et tall er mindre enn det andre, kan det tredje tegnet i denne raden være et tegn hvis verdi er enda mindre enn det første. For å unngå forvirring, her er et eksempel: CDX - 410 (i desimal).
- Noen store tall kan representeres på forskjellige måter, noe som er en av ulempene med det romerske tellesystemet. Her er noen eksempler: MVM (romersk)=1000 + (1000 - 5)=1995 (desimal) eller MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. Og det er ikke alt.
Aritmetikktriks
Ikke-posisjonelt tallsystem er noen ganger et komplekst sett med regler for dannelsen av tall, deres behandling (handlinger på dem). Aritmetiske operasjoner i ikke-posisjonelle tallsystemer er ikke enklefor moderne mennesker. Vi misunner ikke de gamle romerske matematikerne!
Eksempel på tillegg. La oss prøve å legge til to tall: XIX + XXVI=XXXV, denne oppgaven utføres i to trinn:
- Først - ta og legg til de mindre brøkene av tall: IX + VI=XV (I etter V og I før X "ødelegger" hverandre).
- Second – legg til store brøkdeler av to tall: X + XX=XXX.
Subtraksjon er noe mer komplisert. Tallet som skal reduseres må deles inn i dets bestanddeler, og deretter de dupliserte tegnene som skal reduseres i tallet som skal reduseres og trekkes fra. Trekk fra 263 fra 500:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
romertallsmultiplikasjon. Forresten, det er nødvendig å nevne at romerne ikke hadde tegn til aritmetiske operasjoner, de bare betegnet dem med ord.
Multippeltallet måtte multipliseres med hvert enkelt symbol i multiplikatoren, noe som resulterte i flere produkter som måtte legges til. Dette er hvordan polynomer multipliseres.
Når det gjelder deling, var og forblir denne prosessen i romertallsystemet den vanskeligste. Den gamle romerske kulerammen ble brukt her. For å jobbe med ham ble folk spesi altrent (og ikke alle klarte å mestre en slik vitenskap).
Om ulempene ved ikke-posisjonelle systemer
Som nevnt ovenfor har ikke-posisjonsnummersystemer sine ulemper, ulemper ved bruk. Unary er enkelt nok for enkel telling, men for aritmetiske og komplekse beregninger er det ikke detbra nok.
I romersk er det ingen enhetlige regler for dannelsen av store tall og det oppstår forvirring, og det er også svært vanskelig å gjøre beregninger i det. Dessuten var det største tallet de gamle romerne kunne skrive ned med metoden deres 100 000.
