I artikkelen du ble gjort oppmerksom på, tilbyr vi eksempler på matematiske modeller. I tillegg vil vi ta hensyn til stadiene for å lage modeller og analysere noen av oppgavene knyttet til matematisk modellering.
Et til av spørsmålene våre handler om matematiske modeller i økonomien, eksempler som vi skal se nærmere på litt senere. Vi foreslår å starte samtalen med selve konseptet "modell", vurdere kort klassifiseringen og gå videre til hovedspørsmålene våre.
Konseptet med "modell"
Vi hører ofte ordet "modell". Hva er det? Dette begrepet har mange definisjoner, her er bare tre av dem:
- et spesifikt objekt som er laget for å motta og lagre informasjon, som gjenspeiler noen egenskaper eller egenskaper, og så videre, til originalen til dette objektet (dette spesifikke objektet kan uttrykkes i forskjellige former: ment alt, beskrivelse ved bruk av tegn, og så videre);
- modell betyr også visning av enhver spesifikk situasjon, liv ellerledelsesmessig;
- modellen kan tjene som en redusert kopi av ethvert objekt (de er laget for mer detaljerte studier og analyser, ettersom modellen gjenspeiler strukturen og sammenhengene).
Basert på alt som ble sagt tidligere, kan vi trekke en liten konklusjon: modellen lar deg studere et komplekst system eller objekt i detalj.
Alle modeller kan klassifiseres i henhold til en rekke kriterier:
- etter bruksområde (pedagogisk, eksperimentell, vitenskapelig og teknisk, spill, simulering);
- av dynamikk (statisk og dynamisk);
- etter kunnskapsgren (fysisk, kjemisk, geografisk, historisk, sosiologisk, økonomisk, matematisk);
- i form av presentasjon (materiell og informasjon).
Informasjonsmodeller er på sin side delt inn i tegn og verbal. Og ikonisk - på datamaskin og ikke-datamaskin. La oss nå gå videre til en detaljert vurdering av eksempler på en matematisk modell.
Matematisk modell
Som du kanskje gjetter, reflekterer en matematisk modell noen trekk ved et objekt eller fenomen ved å bruke spesielle matematiske symboler. Matematikk er nødvendig for å modellere mønstrene til omverdenen på sitt eget spesifikke språk.
Metoden for matematisk modellering oppsto for ganske lenge siden, for tusenvis av år siden, sammen med fremkomsten av denne vitenskapen. Drivkraften for utviklingen av denne modelleringsmetoden ble imidlertid gitt av utseendet til datamaskiner (elektroniske datamaskiner).
La oss nå gå videre til klassifiseringen. Det kan også utføres i henhold til noen tegn. De erpresenteres i tabellen nedenfor.
| Klassifisering etter vitenskapsgren | Anvendelse av matematiske modeller i fysikk, sosiologi, kjemi og så videre |
| I følge det matematiske apparatet som brukes i modelleringsprosessen | Modeller basert på differensialligninger, diskrete algebraiske transformasjoner og lignende |
| Ved å modellere mål | I henhold til dette prinsippet finnes det beskrivende, optimaliserings-, multikriterie-, spill- og simuleringsmodeller |
Vi foreslår å stoppe opp og se nærmere på den siste klassifiseringen, da den gjenspeiler de generelle modelleringsmønstrene og målene for modellene som lages.
Beskrivende modeller
I dette kapittelet foreslår vi å dvele mer detaljert ved beskrivende matematiske modeller. For å gjøre alt veldig klart, vil det bli gitt et eksempel.
Til å begynne med kan dette synet kalles beskrivende. Dette skyldes at vi bare gjør beregninger og prognoser, men vi kan ikke påvirke utfallet av arrangementet på noen måte.
Et slående eksempel på en beskrivende matematisk modell er beregningen av flyveien, hastigheten, avstanden fra jorden til en komet som invaderte det store solsystemet vårt. Denne modellen er beskrivende, siden alle oppnådde resultater bare kan advare oss om en form for fare. Påvirke utfallet av arrangementet, dessverre, det gjør vi ikkeKan. Basert på de innhentede beregningene er det imidlertid mulig å iverksette tiltak for å redde liv på jorden.
Optimaliseringsmodeller
Nå skal vi snakke litt om økonomiske og matematiske modeller, eksempler på det kan være ulike situasjoner. I dette tilfellet snakker vi om modeller som hjelper til med å finne det riktige svaret under visse forhold. De må ha noen parametere. For å gjøre det veldig tydelig, tenk på et eksempel fra landbruksdelen.
Vi har et kornmagasin, men kornet ødelegges veldig raskt. I dette tilfellet må vi velge riktig temperaturregime og optimalisere lagringsprosessen.
Dermed kan vi definere konseptet "optimeringsmodell". I matematisk forstand er dette et ligningssystem (både lineært og ikke), hvis løsning bidrar til å finne den optimale løsningen i en bestemt økonomisk situasjon. Vi har vurdert et eksempel på en matematisk modell (optimering), men jeg vil gjerne legge til: denne typen tilhører klassen av ekstreme problemer, de er med på å beskrive hvordan det økonomiske systemet fungerer.
Merk en nyanse til: modeller kan være av forskjellig karakter (se tabellen nedenfor).
| deterministisk | I dette tilfellet avhenger resultatet av inndataene |
| stokastisk | Beskrivelse av tilfeldige prosesser. I dette tilfellet forblir resultatet udefinert |
Multicriteria-modeller
Nå inviterer vi deg til å snakke litt ommatematisk modell for multiobjektiv optimalisering. Før det ga vi et eksempel på en matematisk modell for å optimalisere en prosess i henhold til et hvilket som helst kriterium, men hva om det er mange av dem?
Et slående eksempel på en multikriteriumoppgave er organisering av riktig, sunn og samtidig økonomisk ernæring for store grupper mennesker. Slike oppgaver finnes ofte i hæren, skolekantiner, sommerleirer, sykehus og så videre.
Hvilke kriterier får vi i denne oppgaven?
- Maten skal være sunn.
- Matforbruk bør holdes på et minimum.
Som du kan se, er ikke disse målene sammenfallende i det hele tatt. Dette betyr at når man løser et problem, er det nødvendig å se etter den optimale løsningen, en balanse mellom to kriterier.
Spillmodeller
Apropos spillmodeller er det nødvendig å forstå konseptet "spillteori". Enkelt sagt, disse modellene reflekterer matematiske modeller for virkelige konflikter. Bare vær oppmerksom på at, i motsetning til en ekte konflikt, har den matematiske modellen for spillet sine egne spesifikke regler.
Nå vil det være et minimum av informasjon fra spillteori som vil hjelpe deg å forstå hva en spillmodell er. Og så, i modellen er det nødvendigvis partier (to eller flere), som vanligvis kalles spillere.
Alle modeller har noen egenskaper.
| Subjects | Antall spillere |
| Strategi | Alternativer for mulige handlinger |
| Betaling | Utfallet av konflikten (vinn eller tap). |
Spillmodellen kan være sammenkoblet eller flere. Hvis vi har to fag, er konflikten sammenkoblet, hvis flere - flere. Et antagonistisk spill kan også skilles ut, det kalles også et nullsumspill. Dette er en modell der gevinsten til en av deltakerne er lik tapet til den andre.
Simuleringsmodeller
I denne delen vil vi ta hensyn til matematiske simuleringsmodeller. Eksempler på oppgaver er:
- modell av dynamikken til antall mikroorganismer;
- modell for bevegelse av molekyler, og så videre.
I dette tilfellet snakker vi om modeller som er nærmest mulig reelle prosesser. I det store og hele imiterer de enhver manifestasjon i naturen. I det første tilfellet kan vi for eksempel modellere dynamikken til antall maur i en koloni. I dette tilfellet kan du observere skjebnen til hvert individ. I dette tilfellet brukes den matematiske beskrivelsen sjelden, oftere er det skriftlige forhold:
- etter fem dager legger hunnen egg;
- 20 dager senere dør mauren, og så videre.
Dermed brukes simuleringsmodeller for å beskrive et stort system. Matematisk konklusjon er behandlingen av de mottatte statistiske dataene.
Requirements
Veldig viktigVær oppmerksom på at det er noen krav til denne typen modeller, blant annet de som er gitt i tabellen nedenfor.
| Allsidighet | Denne egenskapen lar deg bruke samme modell når du beskriver grupper av objekter av samme type. Det er viktig å merke seg at universelle matematiske modeller er fullstendig uavhengige av den fysiske naturen til objektet som studeres |
| Adequacy | Det er viktig å forstå her at denne egenskapen lar deg reprodusere virkelige prosesser så nøyaktig som mulig. I driftsproblemer er denne egenskapen til matematisk modellering svært viktig. Et eksempel på en modell er prosessen med å optimalisere bruken av et gasssystem. I dette tilfellet sammenlignes beregnede og faktiske indikatorer, som et resultat av dette kontrolleres riktigheten av den kompilerte modellen |
| Nøyaktighet | Dette kravet innebærer sammenfall av verdiene vi får når vi beregner den matematiske modellen og inngangsparametrene til vårt virkelige objekt |
| Økonomi | Kostnadseffektivitetskravet for enhver matematisk modell er preget av implementeringskostnader. Hvis arbeidet med modellen utføres manuelt, er det nødvendig å beregne hvor mye tid det vil ta å løse ett problem ved å bruke denne matematiske modellen. Hvis vi snakker om datastøttet design, beregnes indikatorene for tidskostnad og dataminne |
Stagesmodellering
Tot alt er det vanlig å skille mellom fire stadier i matematisk modellering.
- Formuler lovene som knytter sammen delene av modellen.
- Forskning av matematiske problemer.
- Tydeliggjøring av sammenfallet mellom praktiske og teoretiske resultater.
- Analyse og modernisering av modellen.
Økonomisk og matematisk modell
I denne delen vil vi kort belyse spørsmålet om økonomiske og matematiske modeller. Eksempler på oppgaver er:
- dannelse av et produksjonsprogram for produksjon av kjøttprodukter, som sikrer maksimal fortjeneste av produksjonen;
- maksimer fortjenesten til organisasjonen ved å beregne det optimale antallet bord og stoler som skal produseres i en møbelfabrikk, og så videre.
Den økonomisk-matematiske modellen viser en økonomisk abstraksjon, som uttrykkes ved hjelp av matematiske termer og tegn.
matematisk datamaskinmodell
Eksempler på en matematisk datamaskinmodell er:
- problemer med hydraulikk ved bruk av flytskjemaer, diagrammer, tabeller og så videre;
- problemer med solid mekanikk, og så videre.
Datamaskinmodell er et bilde av et objekt eller system presentert som:
- tables;
- flytskjemaer;
- diagrams;
- grafikk, og så videre.
Samtidig gjenspeiler denne modellen strukturen og sammenkoblingene til systemet.
Bygge en økonomisk-matematisk modell
Vi har allerede snakket om hva økonomiskmatematisk modell. Et eksempel på løsning av problemet vil bli vurdert akkurat nå. Vi må analysere produksjonsprogrammet for å identifisere reserven for å øke fortjenesten med et skifte i sortimentet.
Vi skal ikke vurdere problemet fullt ut, men bare bygge en økonomisk og matematisk modell. Kriteriet for vår oppgave er profittmaksimering. Da har funksjonen formen: Л=р1х1+р2х2… tenderer til maksimum. I denne modellen er p fortjenesten per enhet, x er antall produserte enheter. Videre, basert på den konstruerte modellen, er det nødvendig å gjøre beregninger og oppsummere.
Et eksempel på å bygge en enkel matematisk modell
Oppgave. Fiskeren kom tilbake med følgende fangst:
- 8 fisk - innbyggere i de nordlige hav;
- 20 % av fangsten - innbyggerne i de sørlige hav;
- ikke en eneste fisk ble funnet fra den lokale elven.
Hvor mange fisk kjøpte han i butikken?
Så et eksempel på å konstruere en matematisk modell av dette problemet er som følger. Vi betegner det totale antallet fisk som x. Etter tilstanden er 0,2x antallet fisk som lever på sørlige breddegrader. Nå kombinerer vi all tilgjengelig informasjon og får den matematiske modellen av problemet: x=0, 2x+8. Vi løser ligningen og får svar på hovedspørsmålet: han kjøpte 10 fisk i butikken.
