Bertrands paradoks er et problem i den klassiske tolkningen av sannsynlighetsteori. Joseph introduserte det i sitt arbeid Calcul des probabilités (1889) som et eksempel på at sannsynligheter ikke kan defineres godt hvis en mekanisme eller metode produserer en tilfeldig variabel.
Problem Statement
Bertrands paradoks er som følger.
Tenk først en likesidet trekant innskrevet i en sirkel. I dette tilfellet velges diameteren tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at den er lengre enn siden av trekanten?
Bertrand kom med tre argumenter, som alle ser ut til å være riktige, men gir forskjellige resultater.
Tilfeldig endepunktmetode
Du må velge to steder på sirkelen og tegne en bue som forbinder dem. For beregningen vurderes Bertrands sannsynlighetsparadoks. Det er nødvendig å forestille seg at trekanten roteres slik at toppunktet faller sammen med et av endepunktene til akkorden. Verdt å betalemerk at hvis den andre delen er i en bue mellom to steder, er sirkelen lengre enn siden av trekanten. Lengden på buen er en tredjedel av sirkelen, så sannsynligheten for at en tilfeldig akkord er lengre er 1/3.
Utvalgsmetode
Det er nødvendig å velge radius til sirkelen og et punkt på den. Etter det må du bygge en akkord gjennom dette stedet, vinkelrett på diameteren. For å beregne det betraktede paradokset til Bertrand av sannsynlighetsteori, må man forestille seg at trekanten roteres slik at siden er vinkelrett på radius. Akkorden er lengre enn benet hvis det valgte punktet er nærmere midten av sirkelen. Og i dette tilfellet halverer siden av trekanten radiusen. Derfor er sannsynligheten for at akkorden er lengre enn siden av den innskrevne figuren 1/2.
Tilfeldige akkorder
Midpunktsmetode. Det er nødvendig å velge et sted på sirkelen og lage en akkord med en gitt midten. Aksen er lengre enn kanten av den innskrevne trekanten, hvis den valgte plasseringen er innenfor en konsentrisk sirkel med radius 1/2. Arealet til den mindre sirkelen er en fjerdedel av den større figuren. Derfor er sannsynligheten for en tilfeldig akkord lengre enn siden av den innskrevne trekanten og er lik 1/4.
Som presentert ovenfor, skiller valgmetodene seg i vekten de gir til visse akkorder, som er diametre. I metode 1 kan hver akkord velges på nøyaktig én måte, enten det er en diameter eller ikke.
I metode 2 kan hver rett linje velges på to måter. Mens enhver annen akkord vil bli valgtbare én av mulighetene.
I metode 3 har hvert midtpunktvalg en enkelt parameter. Bortsett fra sentrum av sirkelen, som er midtpunktet til alle diametre. Disse problemene kan unngås ved å "ordre" alle spørsmål til å ekskludere parametere uten å påvirke de resulterende sannsynlighetene.
Velgte metoder kan også visualiseres som følger. En akkord som ikke er en diameter identifiseres unikt av midtpunktet. Hver av de tre utvalgsmetodene presentert ovenfor gir en annen fordeling av midten. Og alternativene 1 og 2 gir to forskjellige ikke-uniforme partisjoner, mens metode 3 gir en enhetlig fordeling.
Det klassiske paradokset med å løse Bertrands problem avhenger av metoden som akkorden velges på "tilfeldig". Det viser seg at hvis en metode for tilfeldig utvalg er spesifisert på forhånd, har problemet en veldefinert løsning. Dette er fordi hver enkelt metode har sin egen fordeling av akkorder. De tre kjennelsene Bertrand har vist samsvarer med forskjellige utvelgelsesmåter, og i mangel av ytterligere informasjon er det ingen grunn til å favorisere den ene fremfor den andre. Følgelig har det oppgitte problemet ikke én enkelt løsning.
Et eksempel på hvordan man kan gjøre et generelt svar unikt er å spesifisere at endepunktene til akkorden er jevnt fordelt mellom 0 og c, der c er omkretsen av sirkelen. Denne fordelingen er den samme som i Bertrands første argument, og den resulterende unike sannsynligheten vil være 1/3.
Dette Bertrand Russell-paradokset og andre særtrekk ved klassisktolkninger av mulighet rettferdiggjør strengere formuleringer. Inkludert sannsynlighetsfrekvens og subjektivistisk Bayesiansk teori.
Hva ligger til grunn for Bertrands paradoks
I sin artikkel fra 1973 "The Well-posed Problem" tilbød Edwin Jaynes sin unike løsning. Han bemerket at Bertrands paradoks er basert på et premiss basert på prinsippet om "maksimal uvitenhet". Dette betyr at du ikke skal bruke informasjon som ikke er gitt i problemformuleringen. Jaynes påpekte at Bertrands problem ikke bestemmer plasseringen eller størrelsen på sirkelen. Og hevdet at derfor må enhver bestemt og objektiv avgjørelse være "likegyldig" til størrelse og posisjon.
Til illustrasjon
Forutsatt at alle akkordene er plassert tilfeldig på en 2 cm sirkel, må du nå kaste sugerør på avstand.
Deretter må du ta en sirkel til med mindre diameter (for eksempel 1 centimeter), som passer inn i en større figur. Da bør fordelingen av akkorder på denne mindre sirkelen være den samme som på den maksimale. Hvis den andre figuren også beveger seg innenfor den første, bør sannsynligheten i prinsippet ikke endres. Det er veldig lett å se at for metode 3 vil følgende endring skje: fordelingen av akkorder på den lille røde sirkelen vil være kvalitativt forskjellig fra fordelingen på den store sirkelen.
Det samme skjer for metode 1. Selv om det er vanskeligere å se i den grafiske visningen.
Metode 2 er den enestesom viser seg å være både en skala og en oversettelsesinvariant.
Metode nummer 3 ser ut til å være enkelt å utvide.
Metode 1 er verken.
Janes brukte imidlertid ikke invarianter lett for å akseptere eller avvise disse metodene. Dette vil etterlate muligheten for at det er en annen ubeskrevet metode som passer til aspektene av rimelig mening. Jaynes brukte integralligninger som beskrev invarianser. For direkte å bestemme sannsynlighetsfordelingen. I oppgaven hans har integralligningene faktisk en unik løsning, og dette er akkurat det som ble k alt den andre tilfeldige radiusmetoden ovenfor.
I en artikkel fra 2015 argumenterer Alon Drory for at Jaynes' prinsipp også kan gi to andre Bertrand-løsninger. Forfatteren forsikrer at den matematiske implementeringen av de ovennevnte egenskapene til invarians ikke er unik, men avhenger av den grunnleggende tilfeldige utvalgsprosedyren som en person bestemmer seg for å bruke. Han viser at hver av de tre Bertrand-løsningene kan oppnås ved bruk av rotasjons-, skalerings- og translasjonsinvarians. Samtidig konkluderer med at Jaynes-prinsippet er like gjenstand for tolkning som selve likegyldigheten.
Fysiske eksperimenter
Metode 2 er den eneste løsningen som tilfredsstiller transformasjonsinvariantene som finnes i spesifikke fysiologiske konsepter som statistisk mekanikk og gassstruktur. Også i det foreslåtteJanes' eksperiment med å kaste sugerør fra en liten sirkel.
Det kan imidlertid utformes andre praktiske eksperimenter som gir svar etter andre metoder. For å komme frem til en løsning på den første tilfeldige endepunktmetoden, kan du for eksempel feste en teller til midten av området. Og la resultatene av to uavhengige rotasjoner fremheve de siste plassene til akkorden. For å komme frem til en løsning på den tredje metoden kan man dekke sirkelen med for eksempel melasse og markere det første punktet som flua lander på som midtre korde. Flere kontemplatorer har laget studier for å trekke forskjellige konklusjoner og har bekreftet resultatene empirisk.
Siste arrangementer
I sin artikkel fra 2007 «The Bertrand Paradox and the Indifference Principle» argumenterer Nicholas Shackel for at mer enn et århundre senere er problemet fortsatt uløst. Hun fortsetter med å tilbakevise prinsippet om likegyldighet. Videre, i sin artikkel fra 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical," viser Darrell R. Robottom at alle de foreslåtte kjennelsene ikke har noe å gjøre med hans eget spørsmål. Så det viste seg at paradokset ville være mye vanskeligere å løse enn tidligere antatt.
Shackel understreker at så langt har mange forskere og mennesker langt fra vitenskapen forsøkt å løse Bertrands paradoks. Det er fortsatt overvunnet ved hjelp av to forskjellige tilnærminger.
De der forskjellen mellom ikke-ekvivalente problemer ble vurdert, og de der problemet alltid ble ansett som riktige. Shackel siterer Louis i bøkene sineMarinoff (som en typisk eksponent for differensieringsstrategien) og Edwin Jaynes (som forfatteren av en gjennomtenkt teori).
I deres ferske arbeid Solving a Complex Problem mener Diederik Aerts og Massimiliano Sassoli de Bianchi imidlertid at for å løse Bertrand-paradokset må premissene søkes i en blandet strategi. I følge disse forfatterne er det første trinnet å fikse problemet ved å tydelig angi arten til enheten som blir randomisert. Og først etter at dette er gjort, kan ethvert problem anses som riktig. Det er hva Janes mener.
Så prinsippet om maksimal uvitenhet kan brukes til å løse det. For dette formål, og siden oppgaven ikke spesifiserer hvordan en akkord skal velges, brukes prinsippet ikke på nivå med de ulike mulighetene, men på et mye dypere nivå.
Utvalg av deler
Denne delen av oppgaven krever beregning av et meta-gjennomsnitt over alle mulige måter, som forfatterne kaller det universelle gjennomsnittet. For å håndtere dette bruker de diskretiseringsmetoden. Inspirert av det som gjøres for å definere sannsynlighetsloven i Wiener-prosesser. Resultatet deres stemmer overens med den numeriske konsekvensen til Jaynes, selv om deres velformulerte problem er forskjellig fra den opprinnelige forfatterens.
I økonomi og handel beskriver Bertrand-paradokset, oppk alt etter dets skaper Joseph Bertrand, en situasjon der to aktører (firmaer) når en Nash-likevekt. Når begge firmaer setter en pris lik marginalkostnad(MS).
Bertrands paradoks er basert på et premiss. Det ligger i det faktum at i modeller som Cournot-konkurranse er en økning i antall firmaer forbundet med konvergens av priser med marginalkostnader. I disse alternative modellene er Bertrands paradoks i et oligopol av et lite antall firmaer som tjener positiv fortjeneste ved å kreve priser over kostnadene.
Til å begynne med er det verdt å anta at to firmaer A og B selger et homogent produkt, som hver har samme produksjons- og distribusjonskostnad. Det følger at kjøpere velger et produkt utelukkende på grunnlag av pris. Dette betyr at etterspørselen er uendelig priselastisk. Verken A eller B vil sette en høyere pris enn de andre, fordi det ville få hele Bertrand-paradokset til å kollapse. En av markedsaktørene vil gi etter for sin konkurrent. Hvis de setter samme pris, vil selskapene dele overskuddet.
På den annen side, hvis et firma senker prisen enda litt, vil det få hele markedet og en betydelig høyere avkastning. Siden A og B vet dette, vil de prøve å underby konkurrenten hver for seg til produktet selges for null økonomisk fortjeneste.
Nyligere arbeid har vist at det kan være en ekstra likevekt i Bertrands blandede strategiparadoks, med positive økonomiske overskudd, forutsatt at monopolsummen er uendelig. For endelig fortjeneste ble det vist at en positiv økning under priskonkurranse er umulig i blandede likevekter og selv i det mer generelle tilfelletkorrelerte systemer.
Faktisk er Bertrands paradoks i økonomi sjelden sett i praksis, fordi ekte produkter nesten alltid differensieres på en annen måte enn pris (for eksempel overbetaling for en etikett). Bedrifter har begrensninger på deres evne til å produsere og distribuere. Dette er grunnen til at to virksomheter sjelden har de samme kostnadene.
Bertrands resultat er paradoks alt fordi dersom antallet bedrifter øker fra én til to, faller prisen fra monopol til konkurransedyktig og forblir på samme nivå som antall bedrifter som øker deretter. Dette er lite realistisk, for i realiteten har markeder med få bedrifter med markedsmakt en tendens til å kreve priser over marginalkostnaden. Empirisk analyse viser at de fleste bransjer med to konkurrenter genererer positiv fortjeneste.
I den moderne verden prøver forskere å finne løsninger på paradokset som er mer konsistente med Cournot-konkurransemodellen. Hvor to firmaer i et marked tjener positivt som er et sted mellom perfekt konkurranse- og monopolnivå.
Noen grunner til at Bertrands paradoks ikke er direkte relatert til økonomi:
- Kapasitetsgrenser. Noen ganger har ikke bedrifter tilstrekkelig kapasitet til å møte all etterspørsel. Dette punktet ble først tatt opp av Francis Edgeworth og ga opphav til Bertrand-Edgeworth-modellen.
- heltallspriser. Priser over MC er ekskludert fordi ett firma kan underby et annet tilfeldig.en liten mengde. Hvis prisene er diskrete (for eksempel må de ha heltallsverdier), må det ene firmaet underby det andre med minst én rubel. Dette innebærer at verdien av den småvalutaen er over MC. Hvis et annet firma setter prisen høyere, kan et annet firma senke den og fange hele markedet, Bertrands paradoks består nettopp i dette. Det vil ikke gi henne noen fortjeneste. Denne virksomheten vil foretrekke å dele salg 50/50 med et annet firma og motta en rent positiv inntekt.
- Produktdifferensiering. Hvis produktene til forskjellige firmaer er forskjellige fra hverandre, kan det hende at forbrukerne ikke helt bytter til produkter med lavere pris.
- Dynamisk konkurranse. Gjentatt interaksjon eller gjentatt priskonkurranse kan føre til en verdilikevekt.
- Flere varer for et høyere beløp. Dette følger av gjentatt interaksjon. Hvis ett selskap setter prisen litt høyere, vil den fortsatt få omtrent like mange kjøp, men mer fortjeneste per vare. Derfor vil det andre selskapet øke påslag osv. (Bare i reprise, ellers går dynamikken i andre retningen).
Oligopol
Hvis to selskaper kan bli enige om en pris, er det i deres langsiktige interesse å holde avtalen: verdireduksjonsinntekter er mindre enn det dobbelte av inntektene fra overholdelse av avtalen og varer bare til det andre selskapet kutter sin egne priser.
Teorisannsynligheter (som resten av matematikken) er faktisk en nylig oppfinnelse. Og utviklingen har ikke vært jevn. De første forsøkene på å formalisere sannsynlighetsberegningen ble gjort av Marquis de Laplace, som foreslo å definere konseptet som forholdet mellom antall hendelser som fører til et utfall.
Dette gir selvfølgelig bare mening hvis antallet av alle mulige hendelser er begrenset. Dessuten er alle hendelser like sannsynlige.
Den gang virket det som om disse konseptene ikke hadde noe solid fundament. Forsøk på å utvide definisjonen til å gjelde et uendelig antall hendelser har ført til enda større vanskeligheter. Bertrands paradoks er en slik oppdagelse som har gjort matematikere på vakt mot hele begrepet sannsynlighet.
