Ulikheter og ulikhetssystemer er et av temaene som undervises i algebra på videregående. Når det gjelder vanskelighetsgrad, er det ikke det vanskeligste, fordi det har enkle regler (om dem litt senere). Som regel lærer skolebarn løsningen av ulikhetssystemer ganske enkelt. Dette skyldes også at lærere rett og slett «lærer opp» elevene sine på dette temaet. Og de kan ikke annet enn å gjøre dette, fordi det studeres i fremtiden med bruk av andre matematiske størrelser, og er også sjekket for OGE og Unified State Examination. I skolebøker er temaet ulikheter og ulikhetssystemer dekket i stor detalj, så hvis du skal studere det, er det best å ty til dem. Denne artikkelen er bare en omskrivning av mye materiale og kan inneholde noen utelatelser.
Konseptet med et system av ulikheter
Hvis vi vender oss til det vitenskapelige språket, kan vi definere begrepet "systemulikheter". Dette er en slik matematisk modell som representerer flere ulikheter. Selvfølgelig krever denne modellen en løsning, og den vil være det generelle svaret for alle ulikhetene i systemet som er foreslått i oppgaven (vanligvis er det skrevet slik, for eksempel: "Løs systemet med ulikheter 4 x + 1 > 2 og 30 - x > 6… ").
Systemer av ulikheter og likningssystemer
I prosessen med å lære et nytt emne oppstår ofte misforståelser. På den ene siden er alt klart og jeg vil heller begynne å løse oppgaver, men på den andre siden forblir noen øyeblikk i "skyggen", de blir ikke godt forstått. Noen elementer av allerede ervervet kunnskap kan også flettes sammen med nye. Feil oppstår ofte som følge av denne overlappingen.
Derfor, før vi går videre til analysen av emnet vårt, bør vi huske forskjellene mellom likninger og ulikheter, deres systemer. For å gjøre dette er det nødvendig å avklare igjen hva disse matematiske begrepene er. En ligning er alltid en likhet, og den er alltid lik noe (i matematikk er dette ordet betegnet med tegnet "="). Ulikhet er en modell der en verdi enten er større eller mindre enn en annen, eller inneholder påstanden om at de ikke er like. I det første tilfellet er det altså på sin plass å snakke om likhet, og i det andre, uansett hvor åpenbart det kan høres ut fraselve navnet, om ulikheten i de opprinnelige dataene. Systemene med likninger og ulikheter skiller seg praktisk t alt ikke fra hverandre, og metodene for deres løsning er de samme. Den eneste forskjellen er at førstnevnte bruker likheter mens sistnevnte bruker ulikheter.
Typer ulikheter
Det finnes to typer ulikheter: numeriske og med en ukjent variabel. Den første typen er gitt verdier (tall) som ikke er lik hverandre, for eksempel 8 > 10. Den andre typen er ulikheter som inneholder en ukjent variabel (indikert med en eller annen bokstav i det latinske alfabetet, oftest X). Denne variabelen må finnes. Avhengig av hvor mange det er, skiller den matematiske modellen mellom ulikheter med én (de utgjør et system av ulikheter med én variabel) eller flere variabler (de utgjør et system av ulikheter med flere variabler).
De to siste typene, i henhold til graden av konstruksjon og kompleksitetsnivået til løsningen, er delt inn i enkle og komplekse. De enkle kalles også lineære ulikheter. De er på sin side delt inn i strenge og ikke-strenge. Strengt spesifikt "si" at en verdi enten må være mindre eller mer, så dette er ren ulikhet. Det er flere eksempler: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 osv. Ikke-strenge inkluderer også likestilling. Det vil si at én verdi kan være større enn eller lik en annen verdi (tegn "≧") eller mindre enn eller lik en annen verdi (tegn "≦"). Fortsatt i køI ulikheter står variabelen ikke ved roten, kvadratet, er ikke delelig med noe, og det er derfor de kalles "enkle". Komplekse inkluderer ukjente variabler, hvis funnet krever mer matematiske operasjoner. De er ofte i kvadrat, terning eller under roten, de kan være modulære, logaritmiske, brøkdeler osv. Men siden vår oppgave er å forstå løsningen av ulikhetssystemer, vil vi snakke om et system med lineære ulikheter. Men før det bør det sies noen ord om egenskapene deres.
Properties of inequalities
Egenskapene til ulikheter inkluderer følgende bestemmelser:
- Ulikhetstegnet blir reversert hvis operasjonen for å endre sekvensen av sider brukes (for eksempel hvis t1 ≦ t2, deretter t 2 ≧ t1).
- Begge deler av ulikheten lar deg legge til det samme tallet til deg selv (for eksempel hvis t1 ≦ t2, deretter t 1 + tall ≦ t2 + tall).
- To eller flere ulikheter med tegnet i samme retning lar deg legge til venstre og høyre del (for eksempel hvis t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, deretter t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Begge deler av ulikheten lar seg multiplisere eller dividere med det samme positive tallet (for eksempel hvis t1 ≦ t2og nummer ≦ 0, deretter nummer t1 ≧ nummer t2).
- To eller flere ulikheter som har positive vilkår og et tegn på samme retning tillatermultipliser hverandre (for eksempel hvis t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0 deretter t1 t3 ≦ t2 t4).
- Begge deler av ulikheten lar seg multiplisere eller dividere med det samme negative tallet, men ulikhetstegnet endres (for eksempel hvis t1 ≦ t2 og nummer ≦ 0, deretter nummer t1 ≧ nummer t2).
- Alle ulikheter er transitive (for eksempel hvis t1 ≦ t2 og t2≦ t3, deretter t1 ≦ t3).
Nå, etter å ha studert hovedbestemmelsene i teorien knyttet til ulikheter, kan vi gå direkte videre til vurderingen av reglene for å løse systemene deres.
Løsning av ulikhetssystemer. Generell informasjon. Løsninger
Som nevnt ovenfor er løsningen verdiene til variabelen som passer til alle ulikhetene i det gitte systemet. Løsningen av ulikhetssystemer er implementeringen av matematiske operasjoner som til slutt fører til løsningen av hele systemet eller beviser at det ikke har noen løsninger. I dette tilfellet sies variabelen å referere til den tomme tallmengden (skrevet som følger: bokstaven som angir variabelen ∈ (tegnet "tilhører") ø (tegnet "tomt sett"), for eksempel x ∈ ø (det leses slik: "Variabelen "x" tilhører det tomme settet"). Det er flere måter å løse ulikhetssystemer på:grafisk, algebraisk, substitusjonsmetode. Det er verdt å merke seg at de refererer til de matematiske modellene som har flere ukjente variabler. I tilfellet der det bare er én, vil avstandsmetoden fungere.
Grafisk metode
Lar deg løse et system av ulikheter med flere ukjente (fra to eller flere). Takket være denne metoden løses systemet med lineære ulikheter ganske enkelt og raskt, så det er den vanligste metoden. Dette er fordi plotting reduserer mengden av å skrive matematiske operasjoner. Det blir spesielt hyggelig å ta en liten pause fra pennen, plukke opp en blyant med en linjal og fortsette med videre handlinger med deres hjelp når mye arbeid er gjort og du vil ha litt variasjon. Noen liker imidlertid ikke denne metoden på grunn av det faktum at du må bryte deg fra oppgaven og bytte mental aktivitet til tegning. Det er imidlertid en veldig effektiv måte.
For å løse et system med ulikheter ved hjelp av en grafisk metode, er det nødvendig å overføre alle medlemmer av hver ulikhet til venstre side. Tegnene vil bli reversert, null skal skrives til høyre, så skal hver ulikhet skrives separat. Som et resultat vil funksjoner oppnås fra ulikheter. Etter det kan du få en blyant og en linjal: nå må du tegne en graf for hver oppnådd funksjon. Hele settet med tall som vil være i skjæringsintervallet deres vil være løsningen på systemet med ulikheter.
algebraisk måte
Lar deg løse et system av ulikheter med to ukjente variabler. Ulikheter må også ha det samme ulikhetstegnet (det vil si at de må inneholde enten bare «større enn»-tegnet, eller bare «mindre enn»-tegnet osv.) Til tross for sine begrensninger er denne metoden også mer komplisert. Den brukes i to trinn.
Den første innebærer å bli kvitt en av de ukjente variablene. Først må du velge det, og deretter sjekke for tilstedeværelsen av tall foran denne variabelen. Hvis det ikke er noen (da vil variabelen se ut som en enkelt bokstav), så endrer vi ikke noe, hvis det er det (typen av variabelen vil for eksempel være 5y eller 12y), så er det nødvendig å sørge for at i hver ulikhet er tallet foran den valgte variabelen det samme. For å gjøre dette må du multiplisere hvert medlem av ulikhetene med en felles faktor, for eksempel hvis 3y er skrevet i den første ulikheten og 5y i den andre, må du multiplisere alle medlemmene av den første ulikheten med 5, og den andre med 3. Du får henholdsvis 15y og 15y.
Den andre fasen av avgjørelsen. Det er nødvendig å overføre venstre side av hver ulikhet til deres høyre side med en endring i tegnet for hvert ledd til det motsatte, skriv null til høyre. Så kommer den morsomme delen: å bli kvitt den valgte variabelen (ellers kjent som "reduksjon") mens du legger sammen ulikhetene. Du vil få en ulikhet med én variabel som må løses. Etter det bør du gjøre det samme, bare med en annen ukjent variabel. Resultatene som oppnås vil være løsningen til systemet.
erstatningsmetode
Lar deg løse et system med ulikheter når du har mulighet til å introdusere en ny variabel. Vanligvis brukes denne metoden når den ukjente variabelen i ett ledd av ulikheten heves til fjerde potens, og i det andre leddet kvadres. Dermed er denne metoden rettet mot å redusere graden av ulikheter i systemet. Prøveulikheten x4 - x2 - 1 ≦ 0 løses på denne måten som følger. En ny variabel introduseres, for eksempel t. De skriver: «La t=x2», så skrives modellen om i ny form. I vårt tilfelle får vi t2 - t - 1 ≦0. Denne ulikheten må løses med intervallmetoden (om det litt senere), så gå tilbake til variabelen X, og gjør det samme med en annen ulikhet. Svarene som mottas vil være systemets avgjørelse.
Intervallmetode
Dette er den enkleste måten å løse ulikhetssystemer på, og samtidig er den universell og utbredt. Det brukes på videregående, og til og med på videregående. Essensen ligger i det faktum at studenten leter etter intervaller med ulikhet på talllinjen, som er tegnet i en notatbok (dette er ikke en graf, men bare en vanlig rett linje med tall). Der ulikhetsintervallene skjærer hverandre, finnes løsningen til systemet. Følg disse trinnene for å bruke mellomromsmetoden:
- Alle medlemmer av hver ulikhet overføres til venstre side med en endring av fortegn til motsatt (null er skrevet til høyre).
- Ulikheter skrives ut separat, løsningen for hver av dem bestemmes.
- Skjæringspunktene mellom ulikheter på det numeriskerett. Alle tall i disse kryssene vil være løsningen.
Hvilken måte å bruke?
Selvsagt den som virker enklest og mest praktisk, men det er tider når oppgaver krever en bestemt metode. Oftest sier de at du må løse enten ved hjelp av en graf eller ved hjelp av intervallmetoden. Den algebraiske metoden og substitusjonen brukes ekstremt sjelden eller ikke i det hele tatt, siden de er ganske komplekse og forvirrende, og dessuten er de mer brukt til å løse likningssystemer i stedet for ulikheter, så du bør ty til å tegne grafer og intervaller. De gir synlighet, som ikke kan annet enn å bidra til effektiv og rask gjennomføring av matematiske operasjoner.
Hvis noe ikke fungerer
Under studiet av et bestemt emne i algebra kan det selvfølgelig være problemer med forståelsen av det. Og dette er norm alt, fordi hjernen vår er utformet på en slik måte at den ikke er i stand til å forstå komplekst materiale på en gang. Ofte må du lese et avsnitt på nytt, ta hjelp av en lærer eller trene på å løse typiske problemer. I vårt tilfelle ser de for eksempel slik ut: "Løs systemet med ulikheter 3 x + 1 ≧ 0 og 2 x - 1 > 3". Derfor hjelper personlig streben, hjelp fra utenforstående og praksis til å forstå et komplekst tema.
Reshebnik?
Og løsningsboken er også veldig bra, men ikke for jukselekser, men til selvhjelp. I dem kan du finne ulikhetssystemer med en løsning, se pådem (som maler), prøv å forstå nøyaktig hvordan forfatteren av løsningen taklet oppgaven, og prøv deretter å gjøre det på egen hånd.
Konklusjoner
Algebra er et av de vanskeligste fagene på skolen. Vel, hva kan du gjøre? Matematikk har alltid vært slik: for noen kommer det lett, og for andre er det vanskelig. Men i alle fall bør det huskes at det generelle utdanningsprogrammet er utformet på en slik måte at enhver student kan takle det. I tillegg må du huske på et stort antall assistenter. Noen av dem er nevnt ovenfor.
