Selv på skolen studerte hver av oss ligninger og, helt sikkert, ligningssystemer. Men det er ikke mange som vet at det er flere måter å løse dem på. I dag skal vi analysere i detalj alle metodene for å løse et system med lineære algebraiske ligninger, som består av mer enn to likheter.
Historie
I dag er det kjent at kunsten å løse ligninger og deres systemer oppsto i det gamle Babylon og Egypt. Imidlertid dukket likheter i sin vanlige form opp etter utseendet av likhetstegnet "=", som ble introdusert i 1556 av den engelske matematikeren Record. Forresten, dette tegnet ble valgt av en grunn: det betyr to parallelle like segmenter. Det finnes faktisk ikke noe bedre eksempel på likhet.
Grunner av moderne bokstavbetegnelser på ukjente og tegn på grader er den franske matematikeren Francois Viet. Betegnelsene hans skilte seg imidlertid betydelig fra dagens. For eksempel betegnet han kvadratet til et ukjent tall med bokstaven Q (lat. "quadratus"), og kuben med bokstaven C (lat. "cubus"). Disse betegnelsene virker nå upraktiske, men altsådet var den mest forståelige måten å skrive systemer med lineære algebraiske ligninger på.
Men ulempen med de daværende løsningsmetodene var at matematikere kun vurderte positive røtter. Kanskje dette skyldes det faktum at negative verdier ikke hadde noen praktisk bruk. På en eller annen måte var det de italienske matematikerne Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano og Rafael Bombelli som var de første som vurderte negative røtter på 1500-tallet. Og det moderne utseendet, hovedmetoden for å løse kvadratiske ligninger (gjennom diskriminanten) ble skapt først på 1600-tallet takket være arbeidet til Descartes og Newton.
På midten av 1700-tallet fant den sveitsiske matematikeren Gabriel Cramer en ny måte å gjøre det lettere å løse systemer med lineære ligninger. Denne metoden ble senere oppk alt etter ham, og den dag i dag bruker vi den. Men vi skal snakke om Cramer-metoden litt senere, men foreløpig vil vi diskutere lineære ligninger og metoder for å løse dem separat fra systemet.
Lineære ligninger
Lineære ligninger er de enkleste likhetene med variabel(er). De er klassifisert som algebraiske. Lineære ligninger skrives i generell form som følger: 2+…a x =b. Vi trenger deres representasjon i denne formen når vi kompilerer systemer og matriser videre.
Systemer med lineære algebraiske ligninger
Definisjonen av dette begrepet er denne: det er et sett med ligninger som har felles ukjente og en felles løsning. Som regel ble alt på skolen bestemt av systemermed to eller til og med tre ligninger. Men det finnes systemer med fire eller flere komponenter. La oss først finne ut hvordan du skriver dem ned slik at det er praktisk å løse dem senere. For det første vil systemer med lineære algebraiske ligninger se bedre ut hvis alle variabler skrives som x med passende indeks: 1, 2, 3 og så videre. For det andre skal alle ligninger reduseres til den kanoniske formen: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Etter alle disse trinnene kan vi begynne å snakke om hvordan vi finner en løsning på systemer med lineære ligninger. Matriser vil være svært nyttige for dette.
Matriser
En matrise er en tabell som består av rader og kolonner, og dens elementer er plassert i skjæringspunktet. Disse kan enten være spesifikke verdier eller variabler. Som oftest, for å utpeke elementer, plasseres abonnenter under dem (for eksempel a11 eller a23). Den første indeksen betyr radnummeret og den andre kolonnenummeret. På matriser, så vel som på et hvilket som helst annet matematisk element, kan du utføre forskjellige operasjoner. Så du kan:
1) Trekk fra og legg til tabeller av samme størrelse.
2) Multipliser en matrise med et tall eller vektor.
3) Transponer: Gjør matriserader til kolonner og kolonner til rader.
4) Multipliser matriser hvis antall rader i en av dem er lik antall kolonner i den andre.
Vi vil diskutere alle disse teknikkene mer detaljert, da de vil være nyttige for oss i fremtiden. Å trekke fra og legge til matriser er veldig enkelt. SåNår vi tar matriser av samme størrelse, tilsvarer hvert element i en tabell hvert element i en annen. Dermed legger vi til (trekker fra) disse to elementene (det er viktig at de er på samme plass i matrisene). Når du multipliserer en matrise med et tall eller vektor, trenger du ganske enkelt å multiplisere hvert element i matrisen med det tallet (eller vektoren). Transponering er en veldig interessant prosess. Noen ganger er det veldig interessant å se det i det virkelige liv, for eksempel når du endrer retningen til et nettbrett eller en telefon. Ikonene på skrivebordet er en matrise, og når du endrer posisjonen, transponeres den og blir bredere, men reduseres i høyden.
La oss ta en ny titt på en slik prosess som matrisemultiplikasjon. Selv om det ikke vil være nyttig for oss, vil det likevel være nyttig å vite det. Du kan multiplisere to matriser bare hvis antall kolonner i en tabell er lik antall rader i den andre. La oss nå ta elementene i en rad med en matrise og elementene i den tilsvarende kolonnen i en annen. Vi multipliserer dem med hverandre og legger dem til (det vil for eksempel være produktet av elementene a11 og a12 med b 12og b22 vil være lik: a11b12 + a 12 b22). Dermed oppnås ett element i tabellen, og det fylles videre med en lignende metode.
Nå kan vi begynne å se på hvordan systemet med lineære ligninger er løst.
Gauss-metoden
Dette emnet begynner å bestå selv på skolen. Vi kjenner godt til konseptet "system av to lineære ligninger" og vet hvordan vi skal løse dem. Men hva om antallet ligninger er mer enn to? Gauss-metoden vil hjelpe oss med dette.
Selvfølgelig er denne metoden praktisk å bruke hvis du lager en matrise av systemet. Men du kan ikke transformere det og løse det i sin reneste form.
Så hvordan løser denne metoden systemet med lineære Gauss-ligninger? Forresten, selv om denne metoden er oppk alt etter ham, ble den oppdaget i eldgamle tider. Gauss foreslår følgende: å utføre operasjoner med ligninger for til slutt å redusere hele settet til en trinnvis form. Det vil si at det er nødvendig at fra topp til bunn (hvis plassert riktig) fra den første ligningen til den siste, minker en ukjent. Med andre ord, vi må sørge for at vi får, for eksempel, tre ligninger: i den første - tre ukjente, i den andre - to, i den tredje - en. Fra den siste ligningen finner vi den første ukjente, erstatter verdien med den andre eller første ligningen, og finner deretter de resterende to variablene.
Cramer-metode
For å mestre denne metoden er det viktig å mestre ferdighetene til addisjon, subtraksjon av matriser, og du må også kunne finne determinanter. Derfor, hvis du gjør alt dette dårlig eller ikke vet hvordan i det hele tatt, må du lære og øve.
Hva er essensen av denne metoden, og hvordan gjøre det slik at et system med lineære Cramer-ligninger oppnås? Alt er veldig enkelt. Vi må konstruere en matrise fra numeriske (nesten alltid) koeffisienter til et system med lineære algebraiske ligninger. For å gjøre dette, ta bare tallene foran de ukjente og ordne dem inntabellen i den rekkefølgen de er registrert i systemet. Hvis tallet innledes med et "-"-tegn, skriver vi ned en negativ koeffisient. Så vi har satt sammen den første matrisen fra koeffisientene til de ukjente, ikke inkludert tallene etter likhetstegnet (naturligvis skal ligningen reduseres til den kanoniske formen, når bare tallet er til høyre, og alle ukjente med koeffisienter til venstre). Deretter må du lage flere matriser - en for hver variabel. For å gjøre dette erstatter vi på sin side hver kolonne med koeffisienter i den første matrisen med en kolonne med tall etter likhetstegnet. Dermed får vi flere matriser og finner deretter deres determinanter.
Etter at vi har funnet determinantene, er saken liten. Vi har en startmatrise, og det er flere resulterende matriser som tilsvarer forskjellige variabler. For å få løsningene til systemet deler vi determinanten til den resulterende tabellen med determinanten til den opprinnelige tabellen. Det resulterende tallet er verdien av en av variablene. På samme måte finner vi alle ukjente.
Andre metoder
Det finnes flere metoder for å få løsningen av systemer med lineære ligninger. For eksempel den såk alte Gauss-Jordan-metoden, som brukes for å finne løsninger på et system av kvadratiske ligninger og også er knyttet til bruk av matriser. Det finnes også en Jacobi-metode for å løse et system med lineære algebraiske ligninger. Det er det enkleste å tilpasse til en datamaskin og brukes i databehandling.
Vanskelige saker
Kompleksitet oppstår vanligvis når antallet ligninger er mindre enn antallet variabler. Da kan vi med sikkerhet si at enten er systemet inkonsekvent (det vil si at det ikke har noen røtter), eller at antallet løsninger har en tendens til uendelig. Hvis vi har det andre tilfellet, må vi skrive ned den generelle løsningen av systemet med lineære ligninger. Den vil inneholde minst én variabel.
Konklusjon
Her kommer vi til slutten. For å oppsummere: vi har analysert hva et system og en matrise er, vi har lært hvordan vi finner en generell løsning på et system med lineære ligninger. I tillegg ble andre alternativer vurdert. Vi fant ut hvordan systemet med lineære ligninger er løst: Gauss-metoden og Cramer-metoden. Vi snakket om vanskelige saker og andre måter å finne løsninger på.
Faktisk er dette emnet mye mer omfattende, og hvis du ønsker å forstå det bedre, anbefaler vi deg å lese mer spesialisert litteratur.
