For å bestemme parallelliteten og perpendikulæriteten til plan, samt for å beregne avstandene mellom disse geometriske objektene, er det praktisk å bruke en eller annen type numeriske funksjoner. For hvilke problemer er det praktisk å bruke ligningen til et plan i segmenter? I denne artikkelen skal vi se på hva det er og hvordan du kan bruke det i praktiske oppgaver.
Hva er en ligning i linjesegmenter?
Et plan kan defineres i 3D-rom på flere måter. I denne artikkelen vil noen av dem bli gitt mens du løser problemer av ulike typer. Her gir vi en detaljert beskrivelse av ligningen i segmenter av planet. Den har vanligvis følgende form:
x/p + y/q + z/r=1.
Hvor symbolene p, q, r angir noen spesifikke tall. Denne ligningen kan enkelt oversettes til et generelt uttrykk og til andre former for numeriske funksjoner for planet.
Bekvemmeligheten med å skrive likningen i segmenter ligger i at den inneholder de eksplisitte koordinatene til skjæringspunktet mellom planet med vinkelrette koordinatakser. På x-akseni forhold til origo, skjærer planet av et segment med lengden p, på y-aksen - lik q, på z - av lengden r.
Hvis noen av de tre variablene ikke er inneholdt i ligningen, betyr dette at planet ikke går gjennom den tilsvarende aksen (matematikere sier at det krysser i uendelig).
Deretter, her er noen problemer der vi skal vise hvordan man arbeider med denne ligningen.
Kommunikasjon av det generelle og i segmenter av ligninger
Det er kjent at flyet er gitt av følgende likhet:
2x - 3y + z - 6=0.
Det er nødvendig å skrive ned denne generelle ligningen for planet i segmenter.
Når et lignende problem oppstår, må du følge denne teknikken: vi overfører fribegrepet til høyre side av likestillingen. Deretter deler vi hele ligningen med dette begrepet, og prøver å uttrykke det i formen gitt i forrige avsnitt. Vi har:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Vi har oppnådd i segmentene ligningen til planet, gitt innledningsvis i en generell form. Det er merkbart at planet skjærer av segmenter med lengder på 3, 2 og 6 for henholdsvis x-, y- og z-aksene. Y-aksen skjærer planet i det negative koordinatområdet.
Når du tegner en ligning i segmenter, er det viktig at alle variabler innledes med et "+"-tegn. Bare i dette tilfellet vil tallet som denne variabelen er delt med vise koordinaten avskjært på aksen.
Normal vektor og punkt på flyet
Det er kjent at et plan har retningsvektor (3; 0; -1). Det er også kjent at den går gjennom punktet (1; 1; 1). For dette planet, skriv en ligning i segmenter.
For å løse dette problemet bør du først bruke den generelle formen for dette todimensjonale geometriske objektet. Den generelle formen er skrevet som:
Ax + By + Cz + D=0.
De tre første koeffisientene her er koordinatene til guidevektoren, som er spesifisert i problemformuleringen, det vil si:
A=3;
B=0;
C=-1.
Det gjenstår å finne fribegrepet D. Det kan bestemmes med følgende formel:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Hvor koordinatverdiene med indeks 1 tilsvarer koordinatene til et punkt som tilhører planet. Vi erstatter verdiene deres fra tilstanden til problemet, vi får:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nå kan du skrive hele ligningen:
3x - z - 2=0.
Teknikken for å konvertere dette uttrykket til en ligning i segmenter av planet er allerede demonstrert ovenfor. Bruk det:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Svaret på problemet er mottatt. Merk at dette planet bare skjærer x- og z-aksene. For y er den parallell.
To rette linjer som definerer et plan
Fra løpet av romlig geometri vet hver elev at to vilkårlige linjer unikt definerer et plan itredimensjon alt rom. La oss løse et lignende problem.
To linjelikninger er kjent:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Det er nødvendig å skrive ned ligningen til planet i segmenter som går gjennom disse linjene.
Siden begge linjene må ligge i planet, betyr dette at deres vektorer (guider) må være vinkelrett på vektoren (guiden) for planet. Samtidig er det kjent at vektorproduktet av vilkårlige to rettede segmenter gir resultatet i form av koordinater til den tredje, vinkelrett på de to opprinnelige. Gitt denne egenskapen får vi koordinatene til en vektor normal til ønsket plan:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Siden det kan multipliseres med et vilkårlig tall, danner dette et nytt rettet segment parallelt med det opprinnelige, vi kan erstatte tegnet for de oppnådde koordinatene med det motsatte (multipliser med -1), får vi:
(1; 2; 1).
Vi kjenner retningsvektoren. Det gjenstår å ta et vilkårlig punkt på en av de rette linjene og tegne opp den generelle ligningen til planet:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Når vi oversetter denne likheten til et uttrykk i segmenter, får vi:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Dermed skjærer planet alle tre aksene i det positive området av koordinatsystemet.
Tre poeng og et fly
Akkurat som to rette linjer, definerer tre punkter et plan unikt i tredimensjon alt rom. Vi skriver den tilsvarende ligningen i segmenter hvis følgende koordinater for punkter som ligger i planet er kjent:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
La oss gjøre følgende: beregne koordinatene til to vilkårlige vektorer som forbinder disse punktene, og finn deretter vektoren n¯ normal til planet ved å beregne produktet av de funnet rettede segmentene. Vi får:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Ta punktet P som eksempel, komponer ligningen til planet:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 eller z=0.
Vi fikk et enkelt uttrykk som tilsvarer xy-planet i det gitte rektangulære koordinatsystemet. Det kan ikke skrives i segmenter, siden x- og y-aksene tilhører planet, og lengden på segmentet avskåret på z-aksen er null (punktet (0; 0; 0) tilhører planet).
