Jeg tror vi bør starte med historien til et så strålende matematisk verktøy som differensialligninger. Som all differensial- og integralregning ble disse ligningene oppfunnet av Newton på slutten av 1600-tallet. Han anså nettopp denne oppdagelsen av ham som så viktig at han til og med krypterte meldingen, som i dag kan oversettes omtrent slik: «Alle naturlover er beskrevet av differensialligninger». Dette kan virke som en overdrivelse, men det er sant. Enhver lov om fysikk, kjemi, biologi kan beskrives med disse ligningene.
Matematikere Euler og Lagrange ga et stort bidrag til utviklingen og opprettelsen av teorien om differensialligninger. Allerede på 1700-tallet oppdaget og utviklet de det de nå studerer på seniorkursene ved universitetene.
En ny milepæl i studiet av differensialligninger begynte takket være Henri Poincare. Han opprettet en "kvalitativ teori om differensialligninger", som, i kombinasjon med teorien om funksjoner til en kompleks variabel, ga et betydelig bidrag til grunnlaget for topologi - vitenskapen om rommet og detseiendommer.
Hva er differensialligninger?
Mange mennesker er redde for én setning "differensialligning". Imidlertid vil vi i denne artikkelen detaljere hele essensen av dette svært nyttige matematiske apparatet, som faktisk ikke er så komplisert som det ser ut fra navnet. For å begynne å snakke om førsteordens differensialligninger, bør du først gjøre deg kjent med de grunnleggende begrepene som er iboende relatert til denne definisjonen. Og vi starter med differensialen.
Differensial
Mange kjenner til dette konseptet fra skolen. La oss imidlertid se nærmere på det. Tenk deg en graf av en funksjon. Vi kan øke den i en slik grad at hvilken som helst av segmentene vil ha form av en rett linje. På den tar vi to punkter som er uendelig nær hverandre. Forskjellen mellom deres koordinater (x eller y) vil være en uendelig liten verdi. Det kalles en differensial og er betegnet med tegnene dy (differensial fra y) og dx (differensial fra x). Det er veldig viktig å forstå at differensialen ikke er en endelig verdi, og dette er dens betydning og hovedfunksjon.
Og nå må vi vurdere det neste elementet, som vil være nyttig for oss for å forklare konseptet med en differensialligning. Dette er den deriverte.
derivat
Vi har sikkert alle hørt på skolen og dette konseptet. Den deriverte sies å være vekst eller reduksjon av en funksjon. Imidlertid fra denne definisjonenmye blir uklart. La oss prøve å forklare den deriverte i form av differensialer. La oss gå tilbake til et infinitesim alt segment av en funksjon med to punkter som er i minimumsavstand fra hverandre. Men selv for denne avstanden klarer funksjonen å endre seg noe. Og for å beskrive denne endringen kom de opp med en derivert, som ellers kan skrives som et forhold mellom differensialer: f(x)'=df/dx.
Nå er det verdt å vurdere de grunnleggende egenskapene til derivatet. Det er bare tre av dem:
- Den deriverte av summen eller differansen kan representeres som summen eller differansen av deriverte: (a+b)'=a'+b' og (a-b)'=a'-b'.
- Den andre egenskapen er relatert til multiplikasjon. Den deriverte av et produkt er summen av produktene til en funksjon og den deriverte av en annen: (ab)'=a'b+ab'.
- Differansen av forskjellen kan skrives som følgende likhet: (a/b)'=(a'b-ab')/b2.
Alle disse egenskapene vil være nyttige for å finne løsninger på førsteordens differensialligninger.
Det finnes også partielle derivater. La oss si at vi har en funksjon z som avhenger av variablene x og y. For å beregne den partielle deriverte av denne funksjonen, for eksempel med hensyn til x, må vi ta variabelen y som en konstant og ganske enkelt differensiere.
Integral
Et annet viktig konsept er integralen. Faktisk er dette det direkte motsatte av derivatet. Det finnes flere typer integraler, men for å løse de enkleste differensialligningene trenger vi de mest trivielle ubestemte integralene.
Så hva er en integral? La oss si at vi har en viss avhengighet ffra x. Vi tar integralet fra det og får funksjonen F (x) (ofte k alt antideriverten), hvis deriverte er lik den opprinnelige funksjonen. Dermed F(x)'=f(x). Det følger også av dette at integralet til den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.
Når du løser differensialligninger, er det veldig viktig å forstå betydningen og funksjonen til integralet, siden du må ta dem veldig ofte for å finne løsningen.
Likninger er forskjellige avhengig av deres natur. I neste avsnitt vil vi vurdere typene førsteordens differensialligninger, og deretter lære hvordan vi løser dem.
Klasser av differensialligninger
"Diffury" er delt i henhold til rekkefølgen på derivatene involvert i dem. Dermed er det første, andre, tredje og flere ordre. De kan også deles inn i flere klasser: ordinære og partielle derivater.
I denne artikkelen vil vi vurdere vanlige differensialligninger av første orden. Vi vil også diskutere eksempler og måter å løse dem på i de følgende avsnittene. Vi vil kun vurdere ODE-er, fordi dette er de vanligste ligningstypene. Vanlige er delt inn i underarter: med separerbare variabler, homogene og heterogene. Deretter vil du lære hvordan de skiller seg fra hverandre, og lære hvordan du løser dem.
I tillegg kan disse likningene kombineres, slik at vi etterpå får et system med differensialligninger av første orden. Vi vil også vurdere slike systemer og lære hvordan vi løser dem.
Hvorfor vurderer vi kun den første bestillingen? Fordi du må begynne med en enkel en, og beskrive alt relatert til differensialligninger, i én artikkel er rett og slett umulig.
Separerbare variabelligninger
Dette er kanskje de enkleste førsteordens differensialligningene. Disse inkluderer eksempler som kan skrives slik: y'=f(x)f(y). For å løse denne ligningen trenger vi en formel for å representere den deriverte som et forhold mellom differensialer: y'=dy/dx. Ved å bruke den får vi følgende ligning: dy/dx=f(x)f(y). Nå kan vi gå til metoden for å løse standardeksempler: vi deler variablene i deler, det vil si at vi overfører alt med y-variabelen til delen der dy er plassert, og vi vil gjøre det samme med x-variabelen. Vi får en likning av formen: dy/f(y)=f(x)dx, som løses ved å ta integralene til begge deler. Ikke glem konstanten som må stilles inn etter å ha tatt integralen.
Løsningen til enhver "diffuranse" er en funksjon av avhengigheten til x av y (i vårt tilfelle) eller, hvis det er en numerisk betingelse, så er svaret i form av et tall. La oss analysere hele løsningen ved å bruke et spesifikt eksempel:
y'=2ysin(x)
Flytt variabler i forskjellige retninger:
dy/y=2sin(x)dx
Nå tar vi integraler. Alle kan finnes i en spesiell tabell over integraler. Og vi får:
ln(y)=-2cos(x) + C
Om nødvendig kan vi uttrykke "y" som en funksjon av "x". Nå kan vi si at vår differensialligning er løst hvis ingen betingelse er gitt. En betingelse kan gis, for eksempel y(n/2)=e. Deretter erstatter vi bare verdien av disse variablene i løsningen ogfinn verdien av konstanten. I vårt eksempel er det lik 1.
Førsteordens homogene differensialligninger
Nå til den vanskeligere delen. Homogene differensialligninger av første orden kan skrives i generell form som følger: y'=z(x, y). Det skal bemerkes at den riktige funksjonen til to variabler er homogen, og den kan ikke deles inn i to avhengigheter: z på x og z på y. Å sjekke om ligningen er homogen eller ikke er ganske enkelt: vi gjør substitusjonen x=kx og y=ky. Nå kansellerer vi alle k. Hvis alle disse bokstavene er redusert, er ligningen homogen, og du kan trygt fortsette å løse den. Når vi ser fremover, la oss si: prinsippet for å løse disse eksemplene er også veldig enkelt.
Vi må gjøre en erstatning: y=t(x)x, der t er en funksjon som også avhenger av x. Da kan vi uttrykke den deriverte: y'=t'(x)x+t. Ved å erstatte alt dette i vår opprinnelige ligning og forenkle den, får vi et eksempel med separerbare variabler t og x. Vi løser det og får avhengigheten t(x). Når vi fikk det, erstatter vi ganske enkelt y=t(x)x i vår forrige erstatning. Da får vi avhengigheten av y til x.
For å gjøre det klarere, la oss se på et eksempel: xy'=y-xey/x.
Ved kontroll med utskifting reduseres alt. Så ligningen er egentlig homogen. Nå gjør vi en annen erstatning som vi snakket om: y=t(x)x og y'=t'(x)x+t(x). Etter forenkling får vi følgende ligning: t'(x)x=-et. Vi løser det resulterende eksemplet med separerte variabler og får: e-t=ln(Cx). Vi trenger bare å erstatte t med y/x (tross alt, hvis y=tx, så t=y/x), og vi fårsvar: e-y/x=ln(xC).
Førsteordens lineære differensialligninger
Det er på tide med nok et stort tema. Vi vil analysere inhomogene differensialligninger av første orden. Hvordan er de forskjellige fra de to foregående? La oss finne ut av det. Lineære differensialligninger av første orden i generell form kan skrives som følger: y' + g(x)y=z(x). Det er verdt å presisere at z(x) og g(x) kan være konstanter.
Og nå et eksempel: y' - yx=x2.
Det er to måter å løse det på, og vi vil håndtere begge i rekkefølge. Den første er metoden for variasjon av vilkårlige konstanter.
For å løse ligningen på denne måten må du først likestille høyresiden til null og løse den resulterende ligningen, som etter å ha flyttet delene vil ha formen:
y'=yx;
dy/dx=yx;
dy/y=xdx;
ln|y|=x2/2 + C;
y=ex2/2yC=C1ex2/2.
Nå må vi erstatte konstanten C1 med funksjonen v(x) som vi må finne.
y=vex2/2.
La oss endre den deriverte:
y'=v'ex2/2-xvex2/2.
Og sett inn disse uttrykkene i den opprinnelige ligningen:
v'ex2/2 - xvex2/2 + xvex2 /2 =x2.
Du kan se at to termer kanselleres på venstre side. Hvis i et eksempel dette ikke skjedde, så har du gjort noe g alt. Fortsett:
v'ex2/2 =x2.
Nå løser vi den vanlige ligningen der vi må skille variablene:
dv/dx=x2/ex2/2;
dv=x2e-x2/2dx.
For å trekke ut integralet, må vi bruke integrering etter deler her. Dette er imidlertid ikke temaet for artikkelen vår. Hvis du er interessert, kan du lære hvordan du utfører slike handlinger selv. Det er ikke vanskelig, og med tilstrekkelig dyktighet og oppmerksomhet tar det ikke mye tid.
La oss gå til den andre metoden for å løse inhomogene ligninger: Bernoulli-metoden. Hvilken tilnærming som er raskere og enklere er opp til deg.
Så, når vi løser ligningen med denne metoden, må vi gjøre en erstatning: y=kn. Her er k og n noen x-avhengige funksjoner. Da vil den deriverte se slik ut: y'=k'n+kn'. Sett inn begge erstatningene i ligningen:
k'n+kn'+xkn=x2.
Gruppe:
k'n+k(n'+xn)=x2.
Nå må vi sette lik null det som står i parentes. Nå, hvis du kombinerer de to resulterende ligningene, får du et system med førsteordens differensialligninger som du må løse:
n'+xn=0;
k'n=x2.
Den første likheten løses som en vanlig ligning. For å gjøre dette må du skille variablene:
dn/dx=xv;
dn/n=xdx.
Ta integralet og få: ln(n)=x2/2. Deretter, hvis vi uttrykker n:
n=ex2/2.
Nå erstatter vi den resulterende likheten med den andre ligningen i systemet:
k'ex2/2=x2.
Og forvandling får vi samme likhet som i den første metoden:
dk=x2/ex2/2.
Vi vil heller ikke gå inn i flere skritt. Det er verdt å si at løsningen av førsteordens differensialligninger først forårsaker betydelige vanskeligheter. Men etter hvert som du dykker dypere inn i emnet, begynner det å bli bedre og bedre.
Hvor brukes differensialligninger?
Differensialligninger brukes veldig aktivt i fysikk, siden nesten alle grunnleggende lover er skrevet i differensialform, og formlene vi ser er løsningen av disse likningene. I kjemi brukes de av samme grunn: grunnleggende lover er avledet fra dem. I biologi brukes differensialligninger for å modellere oppførselen til systemer, for eksempel rovdyr-byttedyr. De kan også brukes til å lage reproduksjonsmodeller av for eksempel en koloni av mikroorganismer.
Hvordan vil differensialligninger hjelpe i livet?
Svaret på dette spørsmålet er enkelt: ingen måte. Hvis du ikke er en vitenskapsmann eller ingeniør, er det usannsynlig at de er nyttige for deg. Men for generell utvikling skader det ikke å vite hva en differensialligning er og hvordan den løses. Og så spørsmålet om en sønn eller datter "hva er en differensialligning?" vil ikke forvirre deg. Vel, hvis du er vitenskapsmann eller ingeniør, forstår du selv viktigheten av dette emnet i enhver vitenskap. Men det viktigste er at nå er spørsmålet "hvordan løser man en førsteordens differensialligning?" du kan alltid svare. Enig, det er alltid hyggelignår du forstår hva folk til og med er redde for å forstå.
Hovedlæringsproblemer
Hovedproblemet med å forstå dette emnet er den dårlige ferdigheten til å integrere og differensiere funksjoner. Hvis du er dårlig til å ta derivater og integraler, bør du nok lære mer, mestre ulike metoder for integrasjon og differensiering, og først da begynne å studere materialet som ble beskrevet i artikkelen.
Noen blir overrasket når de finner ut at dx kan overføres, fordi det tidligere (på skolen) ble oppgitt at brøken dy/dx er udelelig. Her må du lese litteraturen om den deriverte og forstå at det er forholdet mellom infinitesimale størrelser som kan manipuleres når du løser ligninger.
Mange skjønner ikke umiddelbart at løsningen av førsteordens differensialligninger ofte er en funksjon eller et integral som ikke kan tas, og denne vrangforestillingen gir dem mye trøbbel.
Hva annet kan studeres for en bedre forståelse?
Det er best å starte ytterligere fordyping i differensialregningens verden med spesialiserte lærebøker, for eksempel i kalkulus for elever med ikke-matematiske spesialiteter. Deretter kan du gå videre til mer spesialisert litteratur.
Det skal sies at i tillegg til differensialligninger, finnes det også integralligninger, så du vil alltid ha noe å strebe etter og noe å studere.
Konklusjon
Vi håper det etter å ha lestDenne artikkelen ga deg en idé om hva differensialligninger er og hvordan du løser dem riktig.
I alle fall vil matematikk på en eller annen måte være nyttig for oss i livet. Den utvikler logikk og oppmerksomhet, uten hvilken enhver person er som uten hender.
