Et av de vanskeligste og mest uforståelige temaene innen universitetsmatematikk er integrasjon og differensialregning. Du må kjenne til og forstå disse konseptene, samt kunne anvende dem. Mange universitets tekniske disipliner er knyttet til differensialer og integraler.
Kort informasjon om ligninger
Disse ligningene er et av de viktigste matematiske begrepene i utdanningssystemet. En differensialligning er en ligning som relaterer de uavhengige variablene, funksjonen som skal finne, og derivertene av denne funksjonen til variablene som antas å være uavhengige. Differensialregning for å finne en funksjon av én variabel kalles ordinær. Hvis ønsket funksjon avhenger av flere variabler, så snakker man om en partiell differensialligning.
Faktisk kommer det ned til integrasjon å finne et bestemt svar på ligningen, og løsningsmetoden bestemmes av typen ligning.
Førsteordensligninger
En førsteordens differensialligning er en ligning som kan beskrive en variabel, en ønsket funksjon og dens førstederiverte. Slike ligninger kan gis i tre former: eksplisitt, implisitt, differensial.
Konsepter som trengs for å løse
Utgangstilstand - innstilling av verdien til ønsket funksjon for en gitt verdi av en variabel som er uavhengig.
Løsning av en differensialligning - enhver differensierbar funksjon, nøyaktig substituert i den opprinnelige ligningen, gjør den til identisk lik. Den oppnådde løsningen, som ikke er eksplisitt, er integralet av ligningen.
Den generelle løsningen av differensialligninger er en funksjon y=y(x;C), som kan tilfredsstille følgende vurderinger:
- En funksjon kan bare ha én vilkårlig konstant С.
- Den resulterende funksjonen må være en løsning på ligningen for eventuelle vilkårlige verdier av en vilkårlig konstant.
- Med en gitt starttilstand kan en vilkårlig konstant defineres på en unik måte slik at den resulterende spesielle løsningen vil være i samsvar med den gitte tidlige starttilstanden.
I praksis brukes ofte Cauchy-problemet - å finne en løsning som er spesiell og kan sammenlignes med betingelsen som ble satt i begynnelsen.
Cauchys teorem er et teorem som understreker eksistensen og det unike ved en bestemt løsning i differensialregning.
Geometrisk sans:
- Generell løsning y=y(x;C)ligningen er det totale antallet integralkurver.
- Differensialregning lar deg koble koordinatene til et punkt i XOY-planet og tangenten tegnet til integralkurven.
- Å angi starttilstanden betyr å sette et punkt på flyet.
- For å løse Cauchy-problemet betyr at fra hele settet med integralkurver som representerer den samme løsningen av ligningen, er det nødvendig å velge den eneste som går gjennom det eneste mulige punktet.
- Oppfyllelse av betingelsene til Cauchy-teoremet i et punkt betyr at en integralkurve (i tillegg bare én) nødvendigvis går gjennom det valgte punktet i planet.
Separerbar variabelligning
Per definisjon er en differensialligning en ligning der dens høyre side beskriver eller reflekteres som et produkt (noen ganger et forhold) av to funksjoner, den ene bare avhengig av "x", og den andre - bare på "y ". Et tydelig eksempel for denne typen: y'=f1(x)f2(y).
For å løse likninger av en bestemt form, må du først transformere den deriverte y'=dy/dx. Deretter, ved å manipulere ligningen, må du bringe den til en form der du kan integrere de to delene av ligningen. Etter de nødvendige transformasjonene integrerer vi begge delene og forenkler resultatet.
homogene ligninger
Per definisjon kan en differensialligning kalles homogen hvis den har følgende form: y'=g(y/x).
I dette tilfellet brukes erstatningen y/x=oftestt(x).
For å løse slike likninger er det nødvendig å redusere en homogen likning til en form med separerbare variabler. For å gjøre dette må du utføre følgende operasjoner:
- Vis, som uttrykker den deriverte av den opprinnelige funksjonen, fra en hvilken som helst opprinnelig funksjon som en ny ligning.
- Neste trinn er å transformere den resulterende funksjonen til formen f(x;y)=g(y/x). Med enklere ord, la ligningen bare inneholde forholdet y/x og konstanter.
- Foreta følgende erstatning: y/x=t(x); y=t(x)x; y'=t'x + t. Substitusjonen som gjøres vil bidra til å dele variablene i ligningen, og gradvis bringe den til en enklere form.
Lineære ligninger
Definisjonen av slike ligninger er som følger: en lineær differensialligning er en ligning der dens høyre side er uttrykt som et lineært uttrykk i forhold til den opprinnelige funksjonen. Den ønskede funksjonen i dette tilfellet: y'=a(x)y + b(x).
La oss omformulere definisjonen som følger: enhver ligning av 1. orden vil bli lineær i sin form hvis den opprinnelige funksjonen og dens deriverte er inkludert i førstegradsligningen og ikke multipliseres med hverandre. Den "klassiske formen" av en lineær differensialligning har følgende struktur: y' + P(x)y=Q(x).
Før du løser en slik ligning, bør den konverteres til den "klassiske formen". Neste trinn vil være valg av løsningsmetode: Bernoulli-metoden eller Lagrange-metoden.
Løse ligningen medved å bruke metoden introdusert av Bernoulli, innebærer det substitusjon og reduksjon av en lineær differensialligning til to ligninger med separate variabler i forhold til funksjonene U(x) og V(x), som ble gitt i sin opprinnelige form.
Larange-metoden er å finne en generell løsning på den opprinnelige ligningen.
- Det er nødvendig å finne den samme løsningen av den homogene ligningen. Etter søk har vi funksjonen y=y(x, C), der C er en vilkårlig konstant.
- Vi ser etter en løsning på den opprinnelige ligningen i samme form, men vi vurderer C=C(x). Vi erstatter funksjonen y=y(x, C(x)) i den opprinnelige ligningen, finner funksjonen C(x) og skriver ned løsningen av den generelle originale ligningen.
Bernoulli-ligning
Bernoullis ligning - hvis høyre side av regnestykket har formen f(x;y)=a(x)y + b(x)yk, der k er enhver mulig rasjonell numerisk verdi, ikke som en eksempler når k=0 og k=1.
Hvis k=1, blir kalkulatoren separerbar, og når k=0, forblir ligningen lineær.
La oss vurdere det generelle tilfellet med å løse denne typen ligninger. Vi har standard Bernoulli-ligningen. Den må reduseres til en lineær, for dette må du dele ligningen med yk. Etter denne operasjonen, bytt ut z(x)=y1-k. Etter en rekke transformasjoner vil ligningen reduseres til en lineær, oftest ved substitusjonsmetoden z=UV.
ligninger i totale differensialer
Definisjon. En likning med strukturen P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 kalles en likning i sin helhetdifferensialer, hvis følgende betingelse er oppfylt (i denne tilstanden er "d" en delvis differensial): dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx.
Alle førsteordens differensialligninger vurdert tidligere kan vises som differensialer.
Slike beregninger løses på flere måter. Men de begynner alle med en tilstandssjekk. Hvis betingelsen er oppfylt, så er området lengst til venstre i ligningen den totale differensialen til den ennå ukjente funksjonen U(x;y). Deretter, i samsvar med ligningen, vil dU (x; y) være lik null, og derfor vil det samme integralet av ligningen i totale differensialer vises på formen U (x; y) u003d C. Derfor vil løsning av ligningen reduseres til å finne funksjonen U (x; y).
Integreringsfaktor
Hvis betingelsen dP(x;y)/dy=dQ(x;y)/dx ikke er oppfylt i ligningen, så har ikke ligningen den formen vi vurderte ovenfor. Men noen ganger er det mulig å velge en funksjon M(x;y), når den multipliseres med som ligningen tar form av en ligning i full "diffurs". Funksjonen M (x;y) blir referert til som integreringsfaktoren.
En integrator kan bare bli funnet når den blir en funksjon av bare én variabel.
