Inverse trigonometriske funksjoner forårsaker tradisjonelt vanskeligheter for skolebarn. Evnen til å beregne buetangensen til et tall kan være nødvendig i BRUK-oppgaver i planimetri og stereometri. For å lykkes med å løse en ligning og et problem med en parameter, må du ha forståelse for egenskapene til buetangensfunksjonen.
Definition
Buetangensen til et tall x er et tall y hvis tangens er x. Dette er den matematiske definisjonen.
Arctangent-funksjonen skrives som y=arctg x.
Mer generelt: y=Carctg (kx + a).
Beregning
For å forstå hvordan den inverse trigonometriske funksjonen til arctangens fungerer, må du først huske hvordan verdien av tangensen til et tall bestemmes. La oss ta en nærmere titt.
Tangensen til x er forholdet mellom sinusen til x og cosinus til x. Hvis minst én av disse to størrelsene er kjent, kan modulen til den andre fås fra den grunnleggende trigonometriske identiteten:
sin2 x + cos2 x=1.
Riktignok vil det kreves en vurdering for å låse opp modulen.
Iftallet i seg selv er kjent, og ikke dets trigonometriske egenskaper, så er det i de fleste tilfeller nødvendig å tilnærmet estimere tangenten til tallet ved å referere til Bradis-tabellen.
Unntak er de såk alte standardverdiene.
De er presentert i følgende tabell:
I tillegg til det ovennevnte, kan alle verdier oppnådd fra dataene ved å legge til et tall på formen ½πк (к - et hvilket som helst heltall, π=3, 14) betraktes som standard.
Nøyaktig det samme gjelder for buetangens: oftest kan den omtrentlige verdien ses fra tabellen, men bare noen få verdier er kjent med sikkerhet:
I praksis, når man løser problemer i skolematematikk, er det vanlig å gi et svar i form av et uttrykk som inneholder buetangensen, og ikke dets omtrentlige estimat. For eksempel, arctg 6, arctg (-¼).
Plotte en graf
Siden tangenten kan ha en hvilken som helst verdi, er domenet til arctangensfunksjonen hele talllinjen. La oss forklare mer detaljert.
Den samme tangenten tilsvarer et uendelig antall argumenter. For eksempel er ikke bare tangensen til null lik null, men også tangensen til et hvilket som helst tall på formen π k, der k er et heltall. Derfor ble matematikere enige om å velge verdier for buetangensen fra intervallet fra -½ π til ½ π. Det må forstås på denne måten. Området til arctangensfunksjonen er intervallet (-½ π; ½ π). Endene av gapet er ikke inkludert, siden tangenten -½p og ½p ikke eksisterer.
På det angitte intervallet er tangenten kontinuerligøker. Dette betyr at den inverse funksjonen til buetangensen også øker kontinuerlig på hele tallinjen, men avgrenset ovenfra og nedenfra. Som et resultat har den to horisontale asymptoter: y=-½ π og y=½ π.
I dette tilfellet, tg 0=0, andre skjæringspunkter med abscisseaksen, bortsett fra (0;0), kan grafen ikke ha en økning.
Som følger av pariteten til tangentfunksjonen, har arctangens en lignende egenskap.
For å bygge en graf, ta flere punkter fra standardverdiene:
Den deriverte av funksjonen y=arctg x på et hvilket som helst punkt beregnes ved hjelp av formelen:
Merk at dens derivat er positivt over alt. Dette samsvarer med konklusjonen som ble gjort tidligere om kontinuerlig økning av funksjonen.
Den andrederiverte av arctangens forsvinner ved punkt 0, er negativ for positive verdier av argumentet, og omvendt.
Dette betyr at grafen til buetangensfunksjonen har et bøyningspunkt ved null og er nedadkonveks på intervallet (-∞; 0] og oppoverkonveks på intervallet [0; +∞).
