I skolekurset for solid geometri er en av de enkleste figurene som har dimensjoner som ikke er null langs tre romlige akser, et firkantet prisme. Vurder i artikkelen hva slags figur det er, hvilke elementer den består av, og også hvordan du kan beregne overflate og volum.
Konseptet med et prisme
I geometri er et prisme en romlig figur, som er dannet av to like baser og sideflater som forbinder sidene til disse basene. Legg merke til at begge basene blir transformert til hverandre ved å bruke parallelltranslasjon av en eller annen vektor. Denne tildelingen av prismet fører til at alle sidene alltid er parallellogrammer.
Antallet sider av basen kan være vilkårlig, fra tre. Når dette tallet har en tendens til uendelig, blir prismet jevnt over til en sylinder, siden bunnen blir en sirkel, og sideparallellogrammene, som forbinder, danner en sylindrisk overflate.
Som ethvert polyeder er et prisme preget avsider (plan som avgrenser figuren), kanter (segmenter som alle to sider krysser) og hjørner (møtepunkter på tre sider, for et prisme er to av dem sideveis, og den tredje er basen). Mengdene av de tre navngitte elementene i figuren er forbundet med følgende uttrykk:
P=C + B - 2
Her er P, C og B antall henholdsvis kanter, sider og toppunkter. Dette uttrykket er den matematiske notasjonen til Eulers teorem.
Bildet over viser to prismer. Ved bunnen av en av dem (A) ligger en vanlig sekskant, og sidesidene er vinkelrette på basene. Figur B viser et annet prisme. Sidene er ikke lenger vinkelrette på basene, og basen er en vanlig femkant.
Hva er et firkantet prisme?
Som det klart fremgår av beskrivelsen ovenfor, bestemmes typen prisme først og fremst av typen polygon som danner grunnflaten (begge basene er like, så vi kan snakke om en av dem). Hvis dette polygonet er et parallellogram, får vi et firkantet prisme. Dermed er alle sider av denne typen prisme parallellogrammer. Et firkantet prisme har sitt eget navn - et parallellepiped.
Antallet sider av et parallellepiped er seks, og hver side har en lignende parallell til seg. Siden bunnen av boksen er to sider, er de resterende fire på siden.
Antall toppunktene til parallellepipedet er åtte, noe som er lett å se hvis vi husker at toppunktene til prismet kun dannes ved toppunktene til grunnpolygonene (4x2=8). Ved å anvende Eulers teorem får vi antall kanter:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Av 12 ribber er det bare 4 som dannes uavhengig av sidene. De resterende 8 ligger i planene til basene på figuren.
Videre i artikkelen vil vi kun snakke om firkantede prismer.
Typer parallellepipeder
Den første typen klassifisering er egenskapene til det underliggende parallellogrammet. Det kan se slik ut:
- regular, hvis vinkler ikke er lik 90o;
- rektangel;
- en firkant er en vanlig firkant.
Den andre typen klassifisering er vinkelen der siden krysser basen. To forskjellige tilfeller er mulige her:
- denne vinkelen er ikke rett, da kalles prismet skrå eller skrå;
- vinkelen er 90o, da er et slikt prisme rektangulært eller bare rett.
Den tredje typen klassifisering er relatert til høyden på prismet. Hvis prismet er rektangulært, og basen er enten en firkant eller et rektangel, kalles det en kuboid. Hvis det er en firkant ved bunnen, er prismet rektangulært, og dets høyde er lik lengden på siden av firkanten, da får vi den velkjente kubefiguren.
Prismeoverflate og -areal
Sammen med alle punkter som ligger på to baser av et prisme(parallelogrammer) og på sidene (fire parallellogrammer) danner overflaten av figuren. Arealet av denne overflaten kan beregnes ved å beregne arealet av basen og denne verdien for sideflaten. Da vil summen deres gi ønsket verdi. Matematisk skrives dette slik:
S=2So+ Sb
Her er So og Sb arealet av henholdsvis basen og sideflaten. Tallet 2 før So vises fordi det er to baser.
Merk at den skrevne formelen er gyldig for ethvert prisme, og ikke bare for arealet til et firkantet prisme.
Det er nyttig å huske at arealet til et parallellogram Sp beregnes ved hjelp av formelen:
Sp=ah
Hvor symbolene a og h angir henholdsvis lengden på en av sidene og høyden tegnet til denne siden.
Arealet til et rektangulært prisme med kvadratisk base
I et vanlig firkantet prisme er basen en firkant. For bestemthetens skyld betegner vi siden med bokstaven a. For å beregne arealet til et vanlig firkantet prisme, bør du vite høyden. I henhold til definisjonen for denne mengden er den lik lengden på vinkelrett f alt fra en base til en annen, det vil si lik avstanden mellom dem. La oss betegne det med bokstaven h. Siden alle sideflatene er vinkelrette på basene for den aktuelle prismetypen, vil høyden til et regulært firkantet prisme være lik lengden på sidekanten.
BDen generelle formelen for overflatearealet til et prisme er to begreper. Arealet av basen i dette tilfellet er lett å beregne, det er lik:
So=a2
For å beregne arealet av sideflaten argumenterer vi som følger: denne overflaten er dannet av 4 like rektangler. Dessuten er sidene til hver av dem lik a og h. Dette betyr at arealet til Sb vil være lik:
Sb=4ah
Merk at produktet 4a er omkretsen av den kvadratiske basen. Hvis vi generaliserer dette uttrykket til tilfellet med en vilkårlig base, så for et rektangulært prisme kan sideflaten beregnes som følger:
Sb=Poh
Der Po er omkretsen av basen.
Når vi kommer tilbake til problemet med å beregne arealet av et regulært firkantet prisme, kan vi skrive den endelige formelen:
S=2So+ Sb=2a2+ 4 ah=2a(a+2t)
Area of a oblique parallellepiped
Å beregne det er noe vanskeligere enn for en rektangulær. I dette tilfellet beregnes basisarealet til et firkantet prisme ved å bruke samme formel som for et parallellogram. Endringene gjelder måten sideoverflaten bestemmes på.
For å gjøre dette, bruk samme formel gjennom omkretsen som gitt i avsnittet ovenfor. Først nå vil den ha litt forskjellige multiplikatorer. Den generelle formelen for Sb i tilfelle av et skrå prisme er:
Sb=Psrc
Her er c lengden på figurens sidekant. Verdien Psr er omkretsen av den rektangulære skiven. Dette miljøet er bygget som følger: det er nødvendig å krysse alle sideflatene med et plan slik at det er vinkelrett på dem alle. Det resulterende rektangelet vil være ønsket snitt.
Figuren over viser et eksempel på en skrå boks. Dens skraverte seksjon danner rette vinkler med sidene. Omkretsen av seksjonen er Psr. Den er dannet av fire høyder av laterale parallellogrammer. For dette firkantede prismet beregnes det laterale overflatearealet ved å bruke formelen ovenfor.
Lengden på diagonalen til en cuboid
Diagonalen til et parallellepiped er et segment som forbinder to toppunkter som ikke har felles sider som danner dem. Det er bare fire diagonaler i et hvilket som helst firkantet prisme. For en kuboid med et rektangel ved bunnen, er lengdene på alle diagonaler lik hverandre.
Figuren nedenfor viser tilsvarende figur. Det røde segmentet er diagonalen.
Det er veldig enkelt å beregne lengden hvis du husker Pythagoras teoremet. Hver elev kan få ønsket formel. Den har følgende form:
D=√(A2+ B2 + C2)
Her er D lengden på diagonalen. De resterende tegnene er lengdene på sidene av boksen.
Mange forveksler diagonalen til et parallellepiped med diagonalene på sidene. Nedenfor er et bilde hvor den fargedesegmentene representerer diagonalene til sidene av figuren.
Lengden av hver av dem bestemmes også av Pythagoras teorem og er lik kvadratroten av summen av kvadratene til de tilsvarende sidelengdene.
prismevolum
I tillegg til arealet til et vanlig firkantet prisme eller andre typer prismer, bør du også kjenne volumet for å løse noen geometriske problemer. Denne verdien for absolutt ethvert prisme beregnes ved hjelp av følgende formel:
V=Soh
Hvis prismet er rektangulært, er det nok å beregne arealet av basen og multiplisere det med lengden på kanten av siden for å få volumet til figuren.
Hvis prismet er et regulært firkantet prisme, vil volumet være:
V=a2h.
Det er lett å se at denne formelen konverteres til et uttrykk for volumet til en kube hvis lengden på sidekanten h er lik siden av grunnflaten a.
Problem med en cuboid
For å konsolidere det studerte materialet, vil vi løse følgende problem: det er et rektangulært parallellepiped hvis sider er 3 cm, 4 cm og 5 cm. Det er nødvendig å beregne overflateareal, diagonallengde og volum.
For nøyaktighetens skyld vil vi anta at bunnen av figuren er et rektangel med sider på 3 cm og 4 cm. Da er arealet 12 cm2, og perioden er 14 cm. Ved å bruke formelen for overflatearealet til prismet får vi:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
For å bestemme lengden på diagonalen og volumet til figuren, kan du direkte bruke uttrykkene ovenfor:
D=√(32+42+52)=7 071 cm;
V=345=60cm3.
Problem med en skrå parallellepiped
Figuren under viser et skrå prisme. Sidene er like: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Du må finne overflaten til denne figuren.
Først, la oss bestemme arealet av basen. Figuren viser at den spisse vinkelen er 50o. Da er området:
So=ha=sin(50o)ba
For å bestemme arealet av sideflaten, bør du finne omkretsen til det skraverte rektangelet. Sidene av dette rektangelet er asin(45o) og bsin(60o). Da er omkretsen av dette rektangelet:
Psr=2(asin(45o)+bsin(60o))
Det totale overflatearealet til denne boksen er:
S=2So+ Sb=2(sin(50o)ba + acsin(45o) + bcsin(60o))
Vi erstatter dataene fra tilstanden til problemet med lengdene på sidene av figuren, vi får svaret:
S=458, 5496 cm3
Det kan sees fra løsningen av dette problemet at trigonometriske funksjoner brukes til å bestemme arealene til skrå figurer.
