Mange, som står overfor konseptet "sannsynlighetsteori", blir redde og tenker at dette er noe overveldende, veldig komplekst. Men det er egentlig ikke så tragisk. I dag skal vi vurdere det grunnleggende konseptet for sannsynlighetsteori, lære hvordan du løser problemer ved å bruke spesifikke eksempler.
Vitenskap
Hva studerer en slik gren av matematikk som "sannsynlighetsteori"? Den noterer mønstre av tilfeldige hendelser og mengder. For første gang ble forskere interessert i dette problemet tilbake på det attende århundre, da de studerte gambling. Det grunnleggende konseptet for sannsynlighetsteori er en hendelse. Det er ethvert faktum som fastslås ved erfaring eller observasjon. Men hva er erfaring? Et annet grunnleggende konsept for sannsynlighetsteori. Det betyr at denne sammensetningen av omstendigheter ikke ble skapt ved en tilfeldighet, men for et bestemt formål. Når det gjelder observasjon, her deltar ikke forskeren selv i eksperimentet, men er rett og slett et vitne til disse hendelsene, han påvirker ikke hva som skjer på noen måte.
Events
Vi lærte at det grunnleggende konseptet for sannsynlighetsteori er en hendelse, men vurderte ikke klassifiseringen. Alle er delt inn i følgende kategorier:
- Reliable.
- Impossible.
- Tilfeldig.
Uansetthva slags hendelser som observeres eller skapes i løpet av erfaringen, de er alle underlagt denne klassifiseringen. Vi tilbyr å bli kjent med hver av artene separat.
Certain event
Dette er en omstendighet der det nødvendige settet med tiltak er iverksatt. For bedre å forstå essensen, er det bedre å gi noen få eksempler. Fysikk, kjemi, økonomi og høyere matematikk er underlagt denne loven. Sannsynlighetsteori inkluderer et så viktig konsept som en bestemt hendelse. Her er noen eksempler:
- Vi jobber og får godtgjørelse i form av lønn.
- Vi besto eksamen bra, besto konkurransen, for dette får vi en belønning i form av opptak til en utdanningsinstitusjon.
- Vi har investert penger i banken, vi får dem tilbake om nødvendig.
Slike arrangementer er pålitelige. Hvis vi har oppfylt alle nødvendige betingelser, vil vi definitivt få det forventede resultatet.
umulige hendelser
Nå vurderer vi elementer av sannsynlighetsteori. Vi foreslår å gå videre til en forklaring på neste type hendelse, nemlig det umulige. La oss først spesifisere den viktigste regelen – sannsynligheten for en umulig hendelse er null.
Du kan ikke avvike fra denne formuleringen når du løser problemer. For å tydeliggjøre, her er eksempler på slike hendelser:
- Vann frøs til pluss ti (det er umulig).
- Mangelen på elektrisitet påvirker ikke produksjonen på noen måte (like umulig som i forrige eksempel).
Flere eksemplerDet er ikke verdt å sitere, siden de som er beskrevet ovenfor veldig tydelig gjenspeiler essensen av denne kategorien. Den umulige hendelsen vil aldri skje under opplevelsen under noen omstendigheter.
tilfeldige hendelser
Når vi studerer elementene i sannsynlighetsteori, bør spesiell oppmerksomhet rettes mot denne spesielle typen hendelser. Det er det vitenskapen studerer. Som et resultat av erfaring kan noe skje eller ikke skje. I tillegg kan testen gjentas et ubegrenset antall ganger. Levende eksempler er:
- Å kaste en mynt er en opplevelse, eller en test, overskriften er en begivenhet.
- Å trekke en ball i blinde ut av en pose er en test, en rød ball er fanget er en begivenhet og så videre.
Det kan være et ubegrenset antall slike eksempler, men generelt sett bør essensen være klar. For å oppsummere og systematisere kunnskapen som er oppnådd om hendelser, er det gitt en tabell. Sannsynlighetsteori studerer bare den siste typen av alle presenterte.
| title | definisjon | eksempel |
| Reliable | Hendelser som skjer med 100 % garanti under visse forhold. | Opptak til en utdanningsinstitusjon med god opptaksprøve. |
| Impossible | Hendelser som aldri vil skje under noen omstendigheter. | Det snør med en temperatur på pluss tretti grader celsius. |
| Random | En hendelse som kanskje eller ikke oppstår under et eksperiment/test. | Slag eller bom når du kaster en basketball inn i bøylen. |
lover
Sannsynlighetsteori er en vitenskap som studerer muligheten for at en hendelse skal inntreffe. Som de andre har den noen regler. Det er følgende lover for sannsynlighetsteori:
- Konvergens av sekvenser av tilfeldige variabler.
- Loven om store tall.
Når du beregner muligheten for et kompleks, kan du bruke et kompleks av enkle hendelser for å oppnå resultatet på en enklere og raskere måte. Legg merke til at sannsynlighetsteoriens lover lett kan bevises ved hjelp av noen teoremer. La oss starte med den første loven.
Konvergens av sekvenser av tilfeldige variabler
Merk at det finnes flere typer konvergens:
- Sekken av tilfeldige variabler konvergerer i sannsynlighet.
- Nesten umulig.
- RMS-konvergens.
- Konvergens i distribusjon.
Så i farten er det veldig vanskelig å komme til bunns i det. Her er noen definisjoner for å hjelpe deg å forstå dette emnet. La oss starte med den første titten. En sekvens kalles konvergent i sannsynlighet hvis følgende betingelse er oppfylt: n har en tendens til uendelig, tallet som sekvensen tenderer til er større enn null og nær én.
Går til neste visning, nesten helt sikkert. De sier detsekvensen konvergerer nesten sikkert til en tilfeldig variabel der n tenderer mot uendelig og P tenderer mot en verdi nær én.
Den neste typen er rot-middel-kvadrat-konvergens. Ved bruk av SC-konvergens reduseres studiet av vektortilfeldige prosesser til studiet av deres tilfeldige koordinatprosesser.
Den siste typen gjenstår, la oss ta en kort titt på den for å gå direkte videre til å løse problemer. Distribusjonskonvergens har et annet navn - "svak", vi vil forklare hvorfor nedenfor. Svak konvergens er konvergensen av distribusjonsfunksjoner på alle kontinuitetspunkter for grensefordelingsfunksjonen.
Pass på å oppfylle løftet: svak konvergens skiller seg fra alle de ovennevnte ved at den tilfeldige variabelen ikke er definert på sannsynlighetsrommet. Dette er mulig fordi tilstanden er dannet utelukkende ved bruk av distribusjonsfunksjoner.
Lov om store tall
Utmerkede hjelpere for å bevise denne loven vil være teoremer for sannsynlighetsteori, for eksempel:
- Chebyshevs ulikhet.
- Chebyshevs teorem.
- Generaliserte Chebyshevs teorem.
- Markovs teorem.
Hvis vi vurderer alle disse teoremene, kan dette spørsmålet trekke ut i flere dusin ark. Vår hovedoppgave er å anvende sannsynlighetsteorien i praksis. Vi inviterer deg til å gjøre dette akkurat nå. Men før det, la oss vurdere aksiomene til sannsynlighetsteori, de vil være hovedassistentene for å løse problemer.
Axioms
Vi møtte allerede den første da vi snakket om den umulige hendelsen. La oss huske: sannsynligheten for en umulig hendelse er null. Vi ga et veldig levende og minneverdig eksempel: det snødde ved en lufttemperatur på tretti grader Celsius.
Den andre høres slik ut: en pålitelig hendelse inntreffer med en sannsynlighet lik én. La oss nå vise hvordan du skriver det med matematisk språk: P(B)=1.
Tredje: En tilfeldig hendelse kan forekomme eller ikke, men muligheten varierer alltid fra null til én. Jo nærmere verdien er én, jo større er sjansen; hvis verdien nærmer seg null, er sannsynligheten svært lav. La oss skrive dette på matematisk språk: 0<Р(С)<1.
La oss vurdere det siste, fjerde aksiomet, som høres slik ut: sannsynligheten for summen av to hendelser er lik summen av deres sannsynligheter. Vi skriver på matematisk språk: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Sannsynlighetsteoriens aksiomer er de enkleste reglene som er enkle å huske. La oss prøve å løse noen problemer, basert på kunnskapen som allerede er oppnådd.
Lotteri
Vurder først det enkleste eksemplet - lotteriet. Tenk deg at du kjøpte ett lodd for lykke. Hva er sannsynligheten for at du vinner minst tjue rubler? Tot alt deltar tusen billetter i sirkulasjonen, hvorav en har en premie på fem hundre rubler, ti av hundre rubler, femti av tjue rubler og hundre av fem. Problemer i sannsynlighetsteori er basert på å finne mulighetenlykke til. Nå skal vi sammen analysere løsningen av oppgaven ovenfor.
Hvis vi med bokstaven A angir en gevinst på fem hundre rubler, vil sannsynligheten for å få A være 0,001. Hvordan fikk vi den? Du trenger bare å dele antallet "heldige" billetter med det totale antallet (i dette tilfellet: 1/1000).
B er en gevinst på hundre rubler, sannsynligheten vil være 0,01. Nå handlet vi på samme prinsipp som i forrige handling (10/1000)
C - gevinsten er lik tjue rubler. Finn sannsynligheten, den er lik 0,05.
Resten av billettene er ikke av interesse for oss, siden premiefondet deres er mindre enn det som er spesifisert i betingelsen. La oss bruke det fjerde aksiomet: Sannsynligheten for å vinne minst tjue rubler er P(A)+P(B)+P(C). Bokstaven P angir sannsynligheten for forekomsten av denne hendelsen, vi har allerede funnet dem i de foregående trinnene. Det gjenstår bare å legge til nødvendige data, i svaret får vi 0, 061. Dette tallet vil være svaret på oppgavens spørsmål.
kortstokk
Problemer med sannsynlighetsteori kan være mer komplekse, ta for eksempel følgende oppgave. Før du er en kortstokk med trettiseks kort. Din oppgave er å trekke to kort på rad uten å blande bunken, det første og andre kortet må være ess, fargen spiller ingen rolle.
Først, la oss finne sannsynligheten for at det første kortet vil være et ess, for dette deler vi fire på trettiseks. De la det til side. Vi tar ut det andre kortet, det vil være et ess med en sannsynlighet på tre trettifemtedeler. Sannsynligheten for den andre hendelsen avhenger av hvilket kort vi trakk først, vi er interessert ivar det et ess eller ikke. Det følger at hendelse B avhenger av hendelse A.
Neste trinn er å finne sannsynligheten for samtidig implementering, det vil si at vi multipliserer A og B. Produktet deres blir funnet som følger: sannsynligheten for en hendelse multipliseres med den betingede sannsynligheten for en annen, som vi beregner, forutsatt at den første hendelsen fant sted, det vil si at med det første kortet trakk vi et ess.
For å gjøre alt klart, la oss gi en betegnelse til et slikt element som den betingede sannsynligheten for en hendelse. Det beregnes forutsatt at hendelse A har inntruffet. Beregnet som følger: P(B/A).
Fortsett å løse problemet: P(AB)=P(A)P(B/A) eller P (AB)=P(B)P(A/B). Sannsynligheten er (4/36)((3/35)/(4/36). Regn ut ved å avrunde til hundredeler. Vi har: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Sannsynligheten for at vi trekker to ess på rad er ni hundredeler Verdien er veldig liten, det følger at sannsynligheten for at hendelsen inntreffer er ekstremt liten.
glemt nummer
Vi foreslår å analysere noen flere alternativer for oppgaver som studeres av sannsynlighetsteori. Du har allerede sett eksempler på å løse noen av dem i denne artikkelen, la oss prøve å løse følgende problem: gutten glemte det siste sifferet i vennens telefonnummer, men siden samtalen var veldig viktig, begynte han å ringe alt etter tur. Vi må beregne sannsynligheten for at han ikke vil ringe mer enn tre ganger. Løsningen på problemet er den enkleste hvis regler, lover og aksiomer for sannsynlighetsteori er kjent.
Før du serløsning, prøv å løse det selv. Vi vet at det siste sifferet kan være fra null til ni, det vil si at det er ti verdier tot alt. Sannsynligheten for å få den rette er 1/10.
Deretter må vi vurdere alternativer for opprinnelsen til hendelsen, anta at gutten gjettet riktig og umiddelbart scoret det riktige, sannsynligheten for en slik hendelse er 1/10. Det andre alternativet: den første samtalen er en glipp, og den andre er i mål. Vi beregner sannsynligheten for en slik hendelse: multipliser 9/10 med 1/9, som et resultat får vi også 1/10. Det tredje alternativet: det første og andre anropet viste seg å være på feil adresse, bare fra det tredje kom gutten dit han ville. Vi beregner sannsynligheten for en slik hendelse: vi multipliserer 9/10 med 8/9 og med 1/8 får vi 1/10 som et resultat. I henhold til tilstanden til problemet er vi ikke interessert i andre alternativer, så det gjenstår for oss å legge sammen resultatene, som et resultat har vi 3/10. Svar: Sannsynligheten for at gutten ikke ringer mer enn tre ganger er 0,3.
Kort med tall
Det er ni kort foran deg, på hvert av dem er det skrevet et tall fra en til ni, tallene gjentas ikke. De ble lagt i en boks og blandet grundig. Du må beregne sannsynligheten for at
- et partall kommer opp;
- to-sifret.
Før vi går videre til løsningen, la oss bestemme at m er antall vellykkede saker, og n er det totale antallet alternativer. Finn sannsynligheten for at tallet er partall. Det vil ikke være vanskelig å beregne at det er fire partall, dette vil være vår m, det er ni alternativer tot alt, det vil si m=9. Så sannsynlighetener lik 0, 44 eller 4/9.
Tenk på det andre tilfellet: antall alternativer er ni, og det kan ikke være noen vellykkede utfall i det hele tatt, det vil si at m er lik null. Sannsynligheten for at det trukket kortet vil inneholde et tosifret tall er også null.
