Det er lite sannsynlig at mange tenker på om det er mulig å beregne hendelser som er mer eller mindre tilfeldige. Enkelt sagt, er det realistisk å vite hvilken side av terningen i terningen som faller ut neste gang. Det var dette spørsmålet to store vitenskapsmenn stilte, som la grunnlaget for en slik vitenskap som sannsynlighetsteorien, der sannsynligheten for en hendelse studeres ganske omfattende.
Opprinnelse
Hvis du prøver å definere et slikt begrep som sannsynlighetsteori, får du følgende: dette er en av grenene av matematikken som studerer konstanten til tilfeldige hendelser. Selvfølgelig avslører ikke dette konseptet egentlig hele essensen, så det er nødvendig å vurdere det mer detaljert.
Jeg vil gjerne starte med skaperne av teorien. Som nevnt ovenfor var det to av dem, disse er Pierre Fermat og Blaise Pascal. Det var de som var blant de første som forsøkte å beregne utfallet av en hendelse ved hjelp av formler og matematiske beregninger. I det hele tatt dukket rudimentene til denne vitenskapen opp så tidlig somMiddelalderen. På den tiden prøvde forskjellige tenkere og forskere å analysere gambling, som rulett, craps og så videre, og derved etablere et mønster og prosentandel av et bestemt tall som faller ut. Grunnlaget ble lagt på 1600-tallet av de nevnte vitenskapsmennene.
Først kunne deres arbeid ikke tilskrives de store prestasjonene på dette feltet, fordi alt de gjorde var ganske enkelt empiriske fakta, og eksperimentene ble satt opp visuelt, uten bruk av formler. Over tid viste det seg å oppnå gode resultater, som dukket opp som et resultat av å observere kasting av terninger. Det var dette verktøyet som hjalp til med å utlede de første forståelige formlene.
Associates
Det er umulig å ikke nevne en slik person som Christian Huygens, i ferd med å studere et emne k alt "sannsynlighetsteori" (sannsynligheten for en hendelse dekkes nettopp i denne vitenskapen). Denne personen er veldig interessant. Han, som forskerne presentert ovenfor, prøvde å utlede regelmessigheten til tilfeldige hendelser i form av matematiske formler. Det er bemerkelsesverdig at han ikke gjorde dette sammen med Pascal og Fermat, det vil si at alle verkene hans ikke på noen måte krysset disse sinnene. Huygens utledet de grunnleggende konseptene for sannsynlighetsteori.
Et interessant faktum er at arbeidet hans kom ut lenge før resultatene av pionerenes arbeid, eller rettere sagt, tjue år tidligere. Blant de utpekte konseptene er de mest kjente:
- begrepet sannsynlighet som en tilfeldighetsstørrelse;
- forventning til diskretsaker;
- teoremer for multiplikasjon og addisjon av sannsynligheter.
Det er også umulig å ikke huske Jacob Bernoulli, som også ga et betydelig bidrag til studiet av problemet. Ved å gjennomføre sine egne tester, uavhengig av noen, klarte han å presentere et bevis på loven om store tall. På sin side var forskerne Poisson og Laplace, som arbeidet på begynnelsen av det nittende århundre, i stand til å bevise de opprinnelige teoremene. Det var fra dette øyeblikket sannsynlighetsteori begynte å bli brukt til å analysere feil i løpet av observasjoner. Russiske forskere, eller rettere sagt Markov, Chebyshev og Dyapunov, kunne heller ikke omgå denne vitenskapen. Basert på arbeidet utført av de store geniene, fastsatte de dette faget som en gren av matematikken. Disse figurene fungerte allerede på slutten av det nittende århundre, og takket være deres bidrag, fenomener som:
- lov om store tall;
- Markov-kjedeteori;
- sentral grensesetning.
Så, med historien til vitenskapens fødsel og med hovedpersonene som påvirket den, er alt mer eller mindre klart. Nå er det på tide å konkretisere alle fakta.
Grunnleggende konsepter
Før du berører lover og teoremer, er det verdt å studere de grunnleggende begrepene i sannsynlighetsteori. Arrangementet tar hovedrollen i det. Dette emnet er ganske omfangsrikt, men uten det vil det ikke være mulig å forstå alt annet.
En hendelse i sannsynlighetsteori er et sett med utfall av et eksperiment. Det er ikke så mange konsepter av dette fenomenet. Så, vitenskapsmann Lotman,jobber i dette området, sa at i dette tilfellet snakker vi om noe som "har skjedd, selv om det kanskje ikke har skjedd."
Tilfeldige hendelser (sannsynlighetsteori legger spesielt vekt på dem) er et konsept som innebærer absolutt ethvert fenomen som har evnen til å oppstå. Eller omvendt, dette scenariet kan ikke skje når mange betingelser er oppfylt. Det er også verdt å vite at det er tilfeldige hendelser som fanger opp hele volumet av fenomener som har skjedd. Sannsynlighetsteori indikerer at alle forhold kan gjentas konstant. Det var oppførselen deres som ble k alt "erfaring" eller "test".
En bestemt hendelse er en som vil skje 100 % i en gitt test. Følgelig er en umulig hendelse en som ikke vil skje.
Kombinasjon av et par handlinger (vanligvis tilfelle A og tilfelle B) er et fenomen som oppstår samtidig. De er utpekt som AB.
Summen av par av hendelser A og B er C, med andre ord, hvis minst en av dem skjer (A eller B), vil man få C. Formelen for det beskrevne fenomenet skrives som følger: C=A + B.
Usammenhengende hendelser i sannsynlighetsteori innebærer at to tilfeller utelukker hverandre. De kan aldri skje samtidig. Felles hendelser i sannsynlighetsteori er deres antipode. Dette innebærer at hvis A skjedde, så forstyrrer det ikke B.
Motsatte hendelser (sannsynlighetsteori behandler dem i detalj) er enkle å forstå. Det er best å forholde seg til dem i sammenligning. De er nesten de samme somog uforenlige hendelser i sannsynlighetsteori. Men forskjellen deres ligger i det faktum at ett av de mange fenomenene må skje uansett.
Tilsvarende hendelser er de handlingene som har samme mulighet. For å gjøre det klarere kan vi forestille oss kasting av en mynt: fall av en av sidene er like sannsynlig at den andre faller.
God begivenhet er lettere å se med et eksempel. La oss si at det er episode B og episode A. Den første er terningkastet med utseendet til et oddetall, og det andre er utseendet til tallet fem på terningen. Så viser det seg at A favoriserer B.
Uavhengige hendelser i sannsynlighetsteori projiseres bare på to eller flere tilfeller og innebærer uavhengigheten av enhver handling fra en annen. For eksempel er A tapet av haler når en mynt kastes, og B er tegningen av en knekt fra kortstokken. De er uavhengige hendelser i sannsynlighetsteori. Med dette øyeblikket ble det klarere.
Avhengige hendelser i sannsynlighetsteori er også tillatt bare for deres sett. De innebærer at den ene er avhengig av den andre, det vil si at fenomenet B kan oppstå bare hvis A allerede har skjedd eller tvert imot ikke har skjedd, når dette er hovedbetingelsen for B.
Utfallet av et tilfeldig eksperiment som består av én komponent er elementære hendelser. Sannsynlighetsteori forklarer at dette er et fenomen som bare skjedde én gang.
Grunnleggende formler
Så, begrepene "hendelse", "sannsynlighetsteori",definisjonen av de grunnleggende begrepene for denne vitenskapen ble også gitt. Nå er det på tide å bli direkte kjent med de viktige formlene. Disse uttrykkene bekrefter matematisk alle hovedbegrepene i et så vanskelig fag som sannsynlighetsteori. Sannsynligheten for en hendelse spiller en stor rolle her også.
Bedre å begynne med de grunnleggende formlene for kombinatorikk. Og før du går videre til dem, er det verdt å vurdere hva det er.
Kombinatorikk er først og fremst en gren av matematikk, den omhandler studiet av et stort antall heltall, samt ulike permutasjoner av både tallene selv og deres elementer, ulike data osv., som fører til utseendet til en rekke kombinasjoner. I tillegg til sannsynlighetsteori er denne grenen viktig for statistikk, informatikk og kryptografi.
Så nå kan vi gå videre til å presentere selve formlene og definere dem.
Den første vil være uttrykket for antall permutasjoner, det ser slik ut:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Ligningen gjelder bare hvis elementene bare er forskjellige i rekkefølge.
Nå vil plasseringsformelen bli vurdert, den ser slik ut:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Dette uttrykket gjelder ikke bare rekkefølgen til elementet, men også dets sammensetning.
Den tredje ligningen fra kombinatorikken, og den er også den siste, kalles formelen for antall kombinasjoner:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinasjoner er utvalg som ikke er bestilt, og denne regelen gjelder for dem.
Det viste seg å være enkelt å finne ut av kombinatorikkens formler, nå kan vi gå videre til den klassiske definisjonen av sannsynligheter. Dette uttrykket ser slik ut:
P(A)=m: n.
I denne formelen er m antallet betingelser som er gunstige for hendelse A, og n er antallet av absolutt alle like mulige og elementære utfall.
Det finnes et stort antall uttrykk, artikkelen vil ikke dekke alle, men de viktigste av dem vil bli berørt, som for eksempel sannsynligheten for summen av hendelser:
P(A + B)=P(A) + P(B) - denne teoremet er kun for å legge til inkompatible hendelser;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - og denne er kun for å legge til kompatible.
Sannsynlighet for å produsere arrangementer:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – denne teoremet er for uavhengige hendelser;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - og denne er for rusavhengige.
Hendelsesformelen avslutter listen. Sannsynlighetsteori forteller oss om Bayes' teorem, som ser slik ut:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
I denne formelen er H1, H2, …, H komplett gruppe av hypoteser.
La oss stoppe her, så vil eksempler på bruk av formler for å løse spesifikke problemer fra praksis bli vurdert.
Eksempler
Hvis du studerer et avsnitt nøyematematikk, det klarer seg ikke uten øvelser og prøveløsninger. Det samme er sannsynlighetsteorien: hendelser, eksempler her er en integrert komponent som bekrefter vitenskapelige beregninger.
Formel for antall permutasjoner
La oss si at det er tretti kort i en kortstokk, og starter med pålydende ett. Neste spørsmål. Hvor mange måter er det å stable kortstokken slik at kort med en pålydende verdi på én og to ikke ligger ved siden av hverandre?
Oppgaven er satt, la oss nå gå videre til å løse den. Først må du bestemme antall permutasjoner av tretti elementer, for dette tar vi formelen ovenfor, det viser seg at P_30=30!.
Basert på denne regelen, vil vi finne ut hvor mange alternativer det er for å brette kortstokken på forskjellige måter, men vi må trekke fra dem de der det første og andre kortet er neste. For å gjøre dette, la oss starte med alternativet når den første er over den andre. Det viser seg at det første kortet kan ta tjueni plasser - fra det første til det tjueniende, og det andre kortet fra det andre til det trettiende, viser det seg tjueni plasser for et par kort. På sin side kan resten ta tjueåtte plasser, og i hvilken som helst rekkefølge. Det vil si at for en permutasjon på tjueåtte kort er det tjueåtte alternativer P_28=28!
Som et resultat viser det seg at hvis vi vurderer løsningen når det første kortet er over det andre, er det 29 ⋅ 28 ekstra muligheter!=29!
Med samme metode må du beregne antall overflødige alternativer for saken når det første kortet er under det andre. Det blir også 29 ⋅ 28!=29!
Det følger at det er 2 ⋅ 29 ekstra alternativer!, mens det er 30 nødvendige måter å bygge en kortstokk på! - 2 ⋅ 29!. Det gjenstår bare å telle.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Nå må du gange alle tallene fra én til tjueni sammen, og deretter multiplisere alt med 28 til slutt. Svaret er 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Løsning av eksempelet. Formel for plasseringsnummer
I denne oppgaven må du finne ut hvor mange måter det er å legge femten bind på én hylle, men under forutsetning av at det er tretti bind tot alt.
Dette problemet har en litt enklere løsning enn det forrige. Ved å bruke den allerede kjente formelen er det nødvendig å beregne det totale antallet lokasjoner fra tretti bind på femten.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 931931
Svaret vil henholdsvis være 202 843 204 931 727 360 000.
La oss nå ta oppgaven litt vanskeligere. Du må finne ut hvor mange måter det er å arrangere tretti bøker på to bokhyller, forutsatt at bare femten bind kan være på én hylle.
Før jeg starter løsningen, vil jeg presisere at noen problemer løses på flere måter, så det er to måter i denne, men samme formel brukes i begge.
I denne oppgaven kan du ta svaret fra den forrige, for der regnet vi ut hvor mange ganger du kan fylle en hylle med femten bøker for-annerledes. Det viste seg A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Vi vil beregne den andre hyllen ved å bruke permutasjonsformelen, fordi femten bøker er plassert i den, mens bare femten gjenstår. Bruk formelen P_15=15!.
Det viser seg at totalen vil være A_30^15 ⋅ P_15 måter, men i tillegg må produktet av alle tall fra tretti til seksten multipliseres med produktet av tall fra én til femten, som et resultat, produktet av alle tall fra én til tretti, så svaret er 30!
Men dette problemet kan løses på en annen måte – enklere. For å gjøre dette kan du tenke deg at det er én hylle for tretti bøker. Alle er plassert på dette flyet, men siden tilstanden krever at det er to hyller, kutter vi en lang i to, det blir to femten hver. Av dette viser det seg at plasserings alternativene kan være P_30=30!.
Løsning av eksempelet. Formel for kombinasjonsnummer
Nå skal vi vurdere en variant av det tredje problemet fra kombinatorikk. Du må finne ut hvor mange måter det er å ordne femten bøker på, forutsatt at du må velge mellom tretti helt like.
For løsningen vil selvfølgelig formelen for antall kombinasjoner bli brukt. Av betingelsen blir det klart at rekkefølgen på de identiske femten bøkene ikke er viktig. Derfor må du først finne ut det totale antallet kombinasjoner av tretti bøker på femten.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: femten!=155 117 520
Det var det. Ved å bruke denne formelen var det mulig på kortest mulig tidløse et slikt problem, er svaret henholdsvis 155 117 520.
Løsning av eksempelet. Den klassiske definisjonen av sannsynlighet
Med formelen ovenfor kan du finne svaret på et enkelt problem. Men det vil hjelpe å visuelt se og følge handlingsforløpet.
Det er gitt i oppgaven at det er ti helt like kuler i urnen. Av disse er fire gule og seks er blå. En ball tas fra urnen. Du må finne ut sannsynligheten for å bli blå.
For å løse problemet, er det nødvendig å angi å få den blå ballen som hendelse A. Denne opplevelsen kan ha ti utfall, som igjen er elementære og like sannsynlige. Samtidig er seks av ti gunstige for arrangement A. Vi løser etter formelen:
P(A)=6: 10=0, 6
Ved å bruke denne formelen fant vi ut at sannsynligheten for å få den blå ballen er 0,6.
Løsning av eksempelet. Sannsynlighet for summen av hendelser
Nå vil det bli presentert en variant, som løses ved hjelp av formelen for sannsynligheten for summen av hendelser. Så, i den tilstanden gitt at det er to bokser, inneholder den første en grå og fem hvite kuler, og den andre inneholder åtte grå og fire hvite kuler. Som et resultat ble en av dem tatt fra den første og andre boksen. Du må finne ut hva sjansen er for at ballene du får blir grå og hvite.
For å løse dette problemet må du merke hendelsene.
- Så, A - ta en grå ball fra den første boksen: P(A)=1/6.
- A’ – ta en hvit ball også fra den første boksen: P(A')=5/6.
- B – den grå ballen er allerede tatt ut av den andre boksen: P(B)=2/3.
- B’ – ta en grå ball fra den andre boksen: P(B')=1/3.
I henhold til tilstanden til problemet må ett av fenomenene skje: AB' eller A'B. Ved å bruke formelen får vi: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Nå er sannsynlighetsmultiplikasjonsformelen brukt. Deretter, for å finne ut svaret, må du bruke ligningen for addisjonen deres:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=18/11.
Slik kan du løse lignende problemer ved å bruke formelen.
Resultat
Artikkelen ga informasjon om temaet «Sannsynlighetsteori», der sannsynligheten for en hendelse spiller en avgjørende rolle. Selvfølgelig ble ikke alt tatt i betraktning, men basert på den presenterte teksten kan man teoretisk sett bli kjent med denne delen av matematikken. Den aktuelle vitenskapen kan være nyttig ikke bare i profesjonelt arbeid, men også i hverdagen. Med dens hjelp kan du beregne enhver mulighet for enhver hendelse.
Teksten berørte også viktige datoer i historien til dannelsen av sannsynlighetsteori som en vitenskap, og navnene på personer hvis arbeid ble investert i den. Dette er hvordan menneskelig nysgjerrighet førte til at folk lærte å beregne selv tilfeldige hendelser. En gang var de bare interessert i det, men i dag vet alle om det allerede. Og ingen vil si hva som venter oss i fremtiden, hvilke andre strålende funn knyttet til teorien som er under vurdering som vil bli gjort. Men én ting er sikkert – forskning står ikke stille!
