Matrix er et spesielt objekt i matematikk. Det er avbildet i form av en rektangulær eller firkantet tabell, sammensatt av et visst antall rader og kolonner. I matematikk er det et stort utvalg av typer matriser, forskjellige i størrelse eller innhold. Tallene på radene og kolonnene kalles ordrer. Disse objektene brukes i matematikk for å organisere skrivingen av systemer med lineære ligninger og enkelt søke etter resultatene deres. Ligninger ved hjelp av en matrise løses ved å bruke metoden til Carl Gauss, Gabriel Cramer, bifag og algebraiske tillegg, og mange andre måter. Den grunnleggende ferdigheten når du arbeider med matriser er å bringe dem til en standardform. La oss imidlertid først finne ut hvilke typer matriser som kjennetegnes av matematikere.
Nulltype
Alle komponentene i denne typen matrise er null. I mellomtiden er antallet rader og kolonner helt annerledes.
Kvadrattype
Antallet kolonner og rader i denne typen matrise er det samme. Det er med andre ord et "firkantet" formbord. Antall kolonner (eller rader) kalles rekkefølgen. Spesielle tilfeller er eksistensen av en matrise av andre orden (matrise 2x2), fjerde orden (4x4), tiende (10x10), syttende (17x17) og så videre.
Kolonnevektor
Dette er en av de enkleste typene matriser, som inneholder bare én kolonne, som inkluderer tre numeriske verdier. Den representerer en serie frie termer (tall uavhengig av variabler) i systemer med lineære ligninger.
radvektor
Visning som ligner den forrige. Består av tre numeriske elementer, i sin tur organisert i én linje.
Diagon altype
Bare komponenter i hoveddiagonalen (uthevet i grønt) har numeriske verdier i diagonalformen til matrisen. Hoveddiagonalen starter henholdsvis med elementet i øvre venstre hjørne og slutter med elementet nederst til høyre. Resten av komponentene er null. Diagon altypen er bare en kvadratisk matrise av en eller annen orden. Blant matriser av diagonal form kan man trekke ut en skalar. Alle komponentene har samme verdier.
Identitetsmatrise
En underart av den diagonale matrisen. Alle dens numeriske verdier er enheter. Bruk en enkelt type matrisetabeller, utfør dens grunnleggende transformasjoner eller finn en matrise invers til den opprinnelige.
kanonisk type
Den kanoniske formen til en matrise regnes som en av de viktigste; støping til det er ofte nødvendig for å fungere. Antall rader og kolonner i den kanoniske matrisen er forskjellig, den tilhører ikke nødvendigvis kvadrattypen. Den ligner litt på identitetsmatrisen, men i dets tilfelle har ikke alle komponentene i hoveddiagonalen en verdi lik én. Det kan være to eller fire hoveddiagonale enheter (alt avhenger av lengden og bredden på matrisen). Eller det er kanskje ingen enheter i det hele tatt (da regnes det som null). De resterende komponentene av den kanoniske typen, så vel som elementene i diagonalen og identiteten, er lik null.
Trekanttype
En av de viktigste typene matrise, brukt når du søker etter dens determinant og når du utfører enkle operasjoner. Den trekantede typen kommer fra den diagonale typen, så matrisen er også kvadratisk. Den trekantede visningen av matrisen er delt inn i øvre trekantet og nedre trekantet.
I den øvre trekantmatrisen (fig. 1) får bare elementer som er over hoveddiagonalen en verdi lik null. Komponentene til selve diagonalen og delen av matrisen under den inneholder numeriske verdier.
I den nedre trekantede matrisen (fig. 2), tvert imot, er elementene i den nedre delen av matrisen lik null.
Step Matrix
Visningen er nødvendig for å finne rangeringen til en matrise, så vel som for elementære operasjoner på dem (sammen med den trekantede typen). Trinnmatrisen heter slik fordi den inneholder karakteristiske "trinn" med nuller (som vist i figuren). I den trinnvise typen dannes en diagonal med nuller (ikke nødvendigvis den viktigste), og alle elementene under denne diagonalen har også verdier lik null. En forutsetning er følgende: hvis det er en nullrad i trinnmatrisen, inneholder heller ikke de resterende radene under den tallverdier.
Dermed har vi vurdert de viktigste typene matriser som trengs for å jobbe med dem. La oss nå ta for oss oppgaven med å konvertere en matrise til den nødvendige formen.
Reduser til trekantform
Hvordan bringe matrisen til en trekantet form? Oftest, i oppgaver, må du konvertere en matrise til en trekantet form for å finne dens determinant, ellers k alt determinanten. Når du utfører denne prosedyren, er det ekstremt viktig å "bevare" hoveddiagonalen til matrisen, fordi determinanten til en trekantet matrise er nøyaktig produktet av komponentene i hoveddiagonalen. La meg også minne deg på alternative metoder for å finne determinanten. Den kvadratiske determinanten finnes ved hjelp av spesielle formler. Du kan for eksempel bruke trekantmetoden. For andre matriser brukes metoden for dekomponering etter rad, kolonne eller deres elementer. Du kan også bruke metoden for bifag og algebraiske komplementer til matrisen.
DetaljerLa oss analysere prosessen med å bringe en matrise til en trekantet form ved å bruke eksempler på noen oppgaver.
Oppgave 1
Det er nødvendig å finne determinanten til den presenterte matrisen ved å bruke metoden for å bringe den til en trekantet form.
Matrisen gitt til oss er en kvadratisk matrise av tredje orden. Derfor, for å transformere den til en trekantet form, må vi annullere to komponenter i den første kolonnen og en komponent i den andre.
For å få det til en trekantet form, start transformasjonen fra nedre venstre hjørne av matrisen - fra tallet 6. For å snu det til null, multipliser den første raden med tre og trekk den fra den siste raden.
Viktig! Den øverste linjen endres ikke, men forblir den samme som i den opprinnelige matrisen. Du trenger ikke skrive en streng fire ganger den opprinnelige. Men verdiene til strengene hvis komponenter må annulleres, endres stadig.
Deretter skal vi ta for oss neste verdi - elementet i den andre raden i den første kolonnen, nummer 8. Multipliser den første raden med fire og trekk den fra den andre raden. Vi får null.
Bare den siste verdien gjenstår - elementet i den tredje raden i den andre kolonnen. Dette er tallet (-1). For å snu den til null, trekk den andre fra den første linjen.
La oss sjekke:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Så svaret på oppgaven er -22.
Oppgave 2
Vi må finne determinanten til matrisen ved å bringe den til en trekantet form.
Representert matrisetilhører kvadrattypen og er en matrise av fjerde orden. Dette betyr at tre komponenter i den første kolonnen, to komponenter i den andre kolonnen og en komponent i den tredje kolonnen må nullstilles.
La oss starte reduksjonen fra elementet i nedre venstre hjørne - fra tallet 4. Vi må snu dette tallet til null. Den enkleste måten å gjøre dette på er å multiplisere den øverste raden med fire og deretter trekke den fra den fjerde raden. La oss skrive ned resultatet av den første fasen av transformasjonen.
Så, komponenten til den fjerde linjen er satt til null. La oss gå videre til det første elementet i den tredje linjen, til tallet 3. Vi utfører en lignende operasjon. Multipliser med tre den første linjen, trekk den fra den tredje linjen og skriv resultatet.
Deretter ser vi tallet 2 i den andre linjen. Vi gjentar operasjonen: multipliser den øverste raden med to og trekk den fra den andre.
Vi klarte å nullstille alle komponentene i den første kolonnen i denne kvadratiske matrisen, bortsett fra tallet 1, elementet i hoveddiagonalen som ikke krever transformasjon. Nå er det viktig å beholde de resulterende nullene, så vi vil utføre transformasjoner med rader, ikke kolonner. La oss gå videre til den andre kolonnen i den presenterte matrisen.
La oss starte fra bunnen igjen - fra elementet i den andre kolonnen i den siste raden. Dette er tallet (-7). I dette tilfellet er det imidlertid mer praktisk å starte med tallet (-1) - elementet i den andre kolonnen i den tredje raden. For å snu den til null, trekk den andre raden fra den tredje raden. Deretter multipliserer vi den andre raden med syv og trekker den fra den fjerde. Vi fikk null i stedet for elementet i den fjerde raden i den andre kolonnen. La oss nå gå videre til den tredjekolonne.
I denne kolonnen må vi snu til null bare ett tall - 4. Det er enkelt å gjøre: bare legg til den tredje til den siste linjen og se nullen vi trenger.
Etter alle transformasjonene brakte vi den foreslåtte matrisen til en trekantet form. Nå, for å finne dens determinant, trenger du bare å multiplisere de resulterende elementene i hoveddiagonalen. Vi får: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Derfor er løsningen tallet 160.
Så, nå vil ikke spørsmålet om å bringe matrisen til en trekantet form gjøre det vanskelig for deg.
Reduksjon til trinnvis form
I elementære operasjoner på matriser er den trinnvise formen mindre "krevd" enn den trekantede. Det er mest brukt for å finne rangeringen til en matrise (dvs. antallet rader som ikke er null) eller for å bestemme lineært avhengige og uavhengige rader. Den trinnvise matrisevisningen er imidlertid mer allsidig, siden den passer ikke bare for den firkantede typen, men for alle andre.
For å redusere en matrise til en trinnvis form, må du først finne dens determinant. For dette er metodene ovenfor egnet. Hensikten med å finne determinanten er å finne ut om den kan konverteres til en trinnmatrise. Hvis determinanten er større eller mindre enn null, kan du trygt fortsette til oppgaven. Hvis den er lik null, vil det ikke fungere å redusere matrisen til en trinnvis form. I dette tilfellet må du sjekke om det er noen feil i posten eller i matrisetransformasjonene. Hvis det ikke er slike unøyaktigheter, kan ikke oppgaven løses.
La oss se hvordanbringe matrisen til en trinnvis form ved å bruke eksempler på flere oppgaver.
Oppgave 1. Finn rangeringen til den gitte matrisetabellen.
Før oss er en kvadratisk matrise av tredje orden (3x3). Vi vet at for å finne rangeringen, er det nødvendig å redusere den til en trinnvis form. Derfor må vi først finne determinanten til matrisen. Bruke trekantmetoden: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12, Determinant=12. Den er større enn null, noe som betyr at matrisen kan reduseres til en trinnvis form. La oss starte transformasjonene.
La oss starte med elementet i venstre kolonne i den tredje raden - tallet 2. Multipliser den øverste raden med to og trekk den fra den tredje. Takket være denne operasjonen ble både elementet vi trenger og tallet 4 - elementet i den andre kolonnen i den tredje raden - til null.
Drei deretter til null elementet i den andre raden i den første kolonnen - tallet 3. For å gjøre dette, multipliser den øverste raden med tre og trekk den fra den andre.
Vi ser at reduksjonen resulterte i en trekantet matrise. I vårt tilfelle kan ikke transformasjonen fortsettes, siden de gjenværende komponentene ikke kan snus til null.
Så vi konkluderer med at antall rader som inneholder numeriske verdier i denne matrisen (eller dens rangering) er 3. Svar på oppgaven: 3.
Oppgave 2. Bestem antall lineært uavhengige rader i denne matrisen.
Vi må finne strenger som ikke kan reverseres av noen transformasjonertil null. Faktisk må vi finne antall rader som ikke er null, eller rangeringen til den representerte matrisen. For å gjøre dette, la oss forenkle det.
Vi ser en matrise som ikke tilhører kvadrattypen. Den har dimensjoner 3x4. La oss også starte kastet fra elementet i nedre venstre hjørne - tallet (-1).
Legg til den første linjen til den tredje. Deretter trekker du sekundet fra det for å snu tallet 5 til null.
Ytterligere transformasjoner er umulige. Så vi konkluderer med at antallet lineært uavhengige linjer i den og svaret på oppgaven er 3.
Å bringe matrisen til en trinnvis form er ikke en umulig oppgave for deg.
På eksemplene på disse oppgavene analyserte vi reduksjonen av en matrise til en trekantet form og en trinnformet form. For å ugyldiggjøre de ønskede verdiene til matrisetabeller, er det i noen tilfeller nødvendig å vise fantasi og transformere kolonnene eller radene deres på riktig måte. Lykke til i matte og arbeid med matriser!
