Hvordan finne produktet av matriser. Matrisemultiplikasjon. Skalært produkt av matriser. Produkt av tre matriser

2024 Forfatter: Angel Austin | [email protected]. Sist endret: 2023-12-17 05:37

Matriser (tabeller med numeriske elementer) kan brukes til ulike beregninger. Noen av dem er multiplikasjon med et tall, en vektor, en annen matrise, flere matriser. Produktet er noen ganger feil. Et feil resultat er et resultat av uvitenhet om reglene for å utføre beregningshandlinger. La oss finne ut hvordan du gjør multiplikasjon.

Matrise og tall

La oss starte med det enkleste - å multiplisere en tabell med tall med en bestemt verdi. For eksempel har vi en matrise A med elementene a_ij (i er radnumrene og j er kolonnenumrene) og tallet e. Produktet av matrisen ved tallet e vil være matrisen B med elementene b_ij, som finnes ved formelen:

b_ij=e × a_ij.

T. e. for å få elementet b₁₁ må du ta elementet a₁₁ og multiplisere det med ønsket tall, for å få b₁₂ det kreves å finne produktet av elementet a₁₂ og tallet e osv.

La oss løse oppgave nummer 1 som er presentert på bildet. For å få matrise B, multipliser bare elementene fra A med 3:

1. a₁₁ × 3=18. Vi skriver denne verdien inn i matrise B på stedet der kolonne nr. 1 og rad nr. 1 krysser hverandre.
2. a₂₁ × 3=15. Vi fikk element b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Vi mottok elementet b₁₂. Vi skriver det inn i matrise B på stedet der kolonne 2 og rad 1 krysser hverandre.
4. a₂₂ × 3=9. Dette resultatet er element b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Skriv inn dette tallet i matrisen i stedet for elementet b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Det siste tallet som ble mottatt er element b₂₃.

Dermed fikk vi en rektangulær matrise med numeriske elementer.

18	–6	12
15	9	–3

Vektorer og betingelsen for eksistensen av et produkt av matriser

I matematiske disipliner er det noe som heter en "vektor". Denne termen refererer til et ordnet sett med verdier fra a₁ til a . De kalles vektorromskoordinater og er skrevet som en kolonne. Det er også begrepet "transponert vektor". Komponentene er ordnet som en streng.

Vektorer kan kalles matriser:

• kolonnevektor er en matrise bygget fra én kolonne;
• radvektor er en matrise som bare inkluderer én rad.

Når ferdigover matriser for multiplikasjonsoperasjoner er det viktig å huske at det er en betingelse for eksistensen av et produkt. Beregningshandlingen A × B kan bare utføres når antall kolonner i tabell A er lik antall rader i tabell B. Den resulterende matrisen som er et resultat av beregningen har alltid antall rader i tabell A og antall kolonner i tabell B.

Når du multipliserer, anbefales det ikke å omorganisere matriser (multiplikatorer). Produktet deres tilsvarer vanligvis ikke den kommutative (forskyvnings-) loven for multiplikasjon, dvs. resultatet av operasjonen A × B er ikke lik resultatet av operasjonen B × A. Denne funksjonen kalles ikke-kommutativiteten til produktet av matriser. I noen tilfeller er resultatet av multiplikasjonen A × B lik resultatet av multiplikasjonen B × A, det vil si at produktet er kommutativt. Matriser som likheten A × B=B × A gjelder kalles permutasjonsmatriser. Se eksempler på slike tabeller nedenfor.

Multiplikasjon med en kolonnevektor

Når vi multipliserer en matrise med en kolonnevektor, må vi ta hensyn til betingelsen for at produktet eksisterer. Antall kolonner (n) i tabellen må samsvare med antall koordinater som utgjør vektoren. Resultatet av beregningen er den transformerte vektoren. Antallet koordinater er lik antall linjer (m) fra tabellen.

Hvordan beregnes koordinatene til vektoren y hvis det er en matrise A og en vektor x? For beregninger opprettet formler:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x ,

der x₁, …, x er koordinater fra x-vektoren, m er antall rader i matrisen og tallet av koordinater i den nye y-vektoren, n er antall kolonner i matrisen og antall koordinater i x-vektoren, a₁₁, a_{12, …, a}mn– elementer av matrise A.

For å oppnå den i-te komponenten til den nye vektoren, utføres det skalarproduktet. Den i-te radvektoren er hentet fra matrisen A, og den multipliseres med den tilgjengelige vektoren x.

La oss løse oppgave 2. Du kan finne produktet av en matrise og en vektor fordi A har 3 kolonner og x består av 3 koordinater. Som et resultat bør vi få en kolonnevektor med 4 koordinater. La oss bruke formlene ovenfor:

1. Beregn y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Den endelige verdien er 2.
2. Beregn y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Ved beregning får vi 0,
3. Beregn y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Summen av produktene av de angitte faktorene er 6.
4. Beregn y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinaten er -8.

radvektor-matrisemultiplikasjon

Du kan ikke multiplisere en matrise med flere kolonner med en radvektor. I slike tilfeller er vilkåret for verkets eksistens ikke oppfylt. Men multiplikasjon av en radvektor med en matrise er mulig. Detteberegningsoperasjonen utføres når antall koordinater i vektoren og antall rader i tabellen samsvarer. Resultatet av produktet av en vektor og en matrise er en ny radvektor. Antallet koordinater må være lik antallet kolonner i matrisen.

Beregning av den første koordinaten til en ny vektor innebærer å multiplisere radvektoren og den første kolonnevektoren fra tabellen. Den andre koordinaten beregnes på lignende måte, men i stedet for den første kolonnevektoren tas den andre kolonnevektoren. Her er den generelle formelen for å beregne koordinater:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, hvor y_k er en koordinat fra y-vektoren, (k er mellom 1 og n), m er antall rader i matrisen og antall koordinater i x-vektoren er n antall kolonner i matrisen og antall koordinater i y-vektoren, a med alfanumeriske indekser er elementene i matrisen A.

Produkt av rektangulære matriser

Denne beregningen kan virke komplisert. Imidlertid er multiplikasjon enkelt gjort. La oss starte med en definisjon. Produktet av en matrise A med m rader og n kolonner og en matrise B med n rader og p kolonner er en matrise C med m rader og p kolonner, der elementet c_ij er summen av produktene til elementene i-te rad fra tabell A og j-te kolonne fra tabell B. I enklere termer er elementet c_ij skalarproduktet av i-te rad vektor fra tabell A og den j-te kolonnevektoren fra tabell B.

La oss nå finne ut i praksis hvordan vi finner produktet av rektangulære matriser. La oss løse oppgave nr. 3 for dette. Betingelsen for eksistensen av et produkt er oppfylt. La oss begynne å beregne elementene c_ij:

1. Matrise C vil ha 2 rader og 3 kolonner.
2. Beregn element c₁₁. For å gjøre dette utfører vi skalarproduktet av rad nr. 1 fra matrise A og kolonne nr. 1 fra matrise B. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Deretter fortsetter vi på lignende måte, og endrer bare rader, kolonner (avhengig av elementindeks).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Elementene er beregnet. Nå gjenstår det bare å lage en rektangulær blokk av de mottatte tallene.

16	12	9
31	18	36

Multiplikasjon av tre matriser: den teoretiske delen

Kan du finne produktet av tre matriser? Denne beregningsoperasjonen er gjennomførbar. Resultatet kan oppnås på flere måter. For eksempel er det 3 kvadratiske tabeller (av samme rekkefølge) - A, B og C. For å beregne produktet kan du:

1. Multipiser først A og B. Multipliser deretter resultatet med C.
2. Finn først produktet av B og C. Multipliser deretter matrise A med resultatet.

Hvis du trenger å multiplisere rektangulære matriser, må du først sørge for at denne beregningsoperasjonen er mulig. Børprodukter A × B og B × C finnes.

Inkrementell multiplikasjon er ikke en feil. Det er noe som heter "assosiativitet av matrisemultiplikasjon". Dette begrepet refererer til likheten (A × B) × C=A × (B × C).

trematrisemultiplikasjonsøvelse

Kvadratiske matriser

Start med å multiplisere små kvadratiske matriser. Figuren nedenfor viser oppgave nummer 4, som vi må løse.

Vi vil bruke assosiativitetsegenskapen. Først multipliserer vi enten A og B, eller B og C. Vi husker bare én ting: du kan ikke bytte faktorer, det vil si at du ikke kan multiplisere B × A eller C × B. Med denne multiplikasjonen vil vi få en feil resultat.

Beslutningsfremgang.

Trinn én. For å finne fellesproduktet multipliserer vi først A med B. Når vi multipliserer to matriser, vil vi la oss lede av reglene som ble skissert ovenfor. Så resultatet av å multiplisere A og B vil være en matrise D med 2 rader og 2 kolonner, dvs. en rektangulær matrise vil inneholde 4 elementer. La oss finne dem ved å gjøre beregningen:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Mellomresultatet er klart.

30	10
15	16

Trinn to. La oss nå multiplisere matrise D med matrise C. Resultatet skal være en kvadratisk matrise G med 2 rader og 2 kolonner. Beregn elementer:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Dermed er resultatet av produktet av kvadratiske matriser en tabell G med beregnede elementer.

250	180
136	123

Rektangulære matriser

Figuren nedenfor viser oppgave nummer 5. Det kreves å multiplisere rektangulære matriser og finne en løsning.

La oss sjekke om betingelsen for eksistensen av produktene A × B og B × C er oppfylt. Rekkefølgen til de angitte matrisene tillater oss å utføre multiplikasjon. La oss begynne å løse problemet.

Beslutningsfremgang.

Trinn én. Multipliser B med C for å få D. Matrise B har 3 rader og 4 kolonner, og matrise C har 4 rader og 2 kolonner. Det betyr at vi får en matrise D med 3 rader og 2 kolonner. La oss beregne elementene. Her er 2 beregningseksempler:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Vi fortsetter å løse problemet. Som et resultat av ytterligere beregninger finner vi verdiened₂₁, d₂ 2, d₃₁ og d₃₂. Disse elementene er henholdsvis 0, 19, 1 og 11. La oss skrive de funnet verdiene inn i en rektangulær matrise.

0	7
0	19
1	11

Trinn to. Multipliser A med D for å få den endelige matrisen F. Den vil ha 2 rader og 2 kolonner. Beregn elementer:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Komponer en rektangulær matrise, som er sluttresultatet av å multiplisere tre matriser.

1	139
3	52

Introduksjon til direkte arbeid

Ganske vanskelig å forstå materiale er Kronecker-produktet av matriser. Den har også et tilleggsnavn - et direkte verk. Hva menes med dette begrepet? La oss si at vi har tabell A i størrelsesorden m × n og tabell B i størrelsesorden p × q. Det direkte produktet av matrise A og matrise B er en matrise av orden mp × nq.

Vi har 2 kvadratiske matriser A, B, som er vist på bildet. Den første har 2 kolonner og 2 rader, og den andre har 3 kolonner og 3 rader. Vi ser at matrisen som kommer fra det direkte produktet består av 6 rader og nøyaktig like mange kolonner.

Hvordan beregnes elementer i en ny matrise i et direkte produkt? Å finne svaret på dette spørsmålet er veldig enkelt hvis du analyserer bildet. Fyll først ut den første linjen. Ta det første elementet fra den øverste raden i tabell A og multipliser sekvensielt med elementene i den første radenfra tabell B. Ta deretter det andre elementet i den første raden i tabell A og multipliser sekvensielt med elementene i den første raden i tabell B. For å fylle den andre raden, ta det første elementet fra den første raden i tabell A igjen og gang det med elementene i den andre raden i tabell B.

Den endelige matrisen oppnådd ved direkte produkt kalles en blokkmatrise. Hvis vi analyserer figuren på nytt, kan vi se at resultatet vårt består av 4 blokker. Alle inkluderer elementer av matrise B. I tillegg multipliseres et element i hver blokk med et spesifikt element av matrise A. I den første blokken multipliseres alle elementene med a₁₁, i andre - av a_{12, i den tredje - på a}21_{, i den fjerde - på a}22.

Produktdeterminant

Når man vurderer temaet matrisemultiplikasjon, er det verdt å vurdere et slikt begrep som "determinanten for produktet av matriser". Hva er en determinant? Dette er en viktig egenskap ved en kvadratisk matrise, en viss verdi som er tilordnet denne matrisen. Den bokstavelige betegnelsen på determinanten er det.

For en matrise A som består av to kolonner og to rader, er determinanten lett å finne. Det er en liten formel som er forskjellen mellom produktene av spesifikke elementer:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

La oss vurdere et eksempel på beregning av determinanten for en annenordens tabell. Det er en matrise A der a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 og a22_{=1. For å beregne determinanten, bruk formelen:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

For 3 × 3 matriser beregnes determinanten ved å bruke en mer kompleks formel. Den presenteres nedenfor for matrise A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_a21_{a 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

For å huske formelen kom vi opp med trekantregelen, som er illustrert på bildet. Først multipliseres elementene i hoveddiagonalen. Produktene av disse elementene angitt av vinklene til trekanter med røde sider legges til den oppnådde verdien. Deretter trekkes produktet av elementene i den sekundære diagonalen fra, og produktene til elementene som er indikert med hjørnene til trekanter med blå sider, trekkes fra.

La oss nå snakke om determinanten til produktet av matriser. Det er et teorem som sier at denne indikatoren er lik produktet av determinantene til multiplikatortabellene. La oss bekrefte dette med et eksempel. Vi har matrise A med oppføringer a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 og a22_{=1 og matrise B med oppføringer b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 og b}22_{=2. Finn determinantene for matrisene A og B, produktet A × B og determinanten til dette produktet.}

Beslutningsfremgang.

Trinn én. Regn ut determinanten for A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Deretter beregner du determinanten for B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Trinn to. La oss finneprodukt A × B. Angi den nye matrisen med bokstaven C. Beregn elementene:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Trinn tre. Regn ut determinanten for C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Sammenlign med verdien som kan oppnås ved å multiplisere determinantene til de opprinnelige matrisene. Tallene er de samme. Teoremet ovenfor er sant.

Produktrangering

Rangen til en matrise er en egenskap som gjenspeiler det maksimale antallet lineært uavhengige rader eller kolonner. For å beregne rangeringen utføres elementære transformasjoner av matrisen:

• omorganisering av to parallelle rader;
• multiplisere alle elementene i en bestemt rad fra tabellen med et tall som ikke er null;
• legge til elementene i en rad med elementer fra en annen rad, multiplisert med et spesifikt tall.

Etter elementære transformasjoner, se på antallet strenger som ikke er null. Tallet deres er rangeringen av matrisen. Tenk på det forrige eksemplet. Den presenterte 2 matriser: A med elementene a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 og a₂₂ =1 og B med elementene b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 og b}22_{=2. Vi vil også bruke matrisen C oppnådd som et resultat av multiplikasjon. Hvis vi utfører elementære transformasjoner, vil det ikke være null-rader i de forenklede matrisene. Dette betyr at både rangeringen av tabell A, og rangeringen av tabell B, og rangeringenTabell C er 2.}

La oss nå være spesielt oppmerksomme på rangeringen av produktet av matriser. Det er et teorem som sier at rangeringen til et produkt av tabeller som inneholder numeriske elementer ikke overstiger rangeringen til noen av faktorene. Dette kan bevises. La A være en k × s matrise og B være en s × m matrise. Produktet av A og B er lik C.

La oss studere bildet ovenfor. Den viser den første kolonnen i matrise C og dens forenklede notasjon. Denne kolonnen er en lineær kombinasjon av kolonnene som er inkludert i matrisen A. På samme måte kan man si om en hvilken som helst annen kolonne fra den rektangulære matrisen C. Dermed er underrommet dannet av kolonnevektorene i tabellen C i underrommet dannet av kolonnevektorer i tabellen A. Ved dette overskrider ikke dimensjonen til underrom nr. 1 dimensjonen til underrom nr. 2. Dette innebærer at rangeringen i kolonnene i tabell C ikke overstiger rangeringen i kolonnene i tabell A, dvs. r(C) ≦ r(A). Hvis vi argumenterer på en lignende måte, kan vi forsikre oss om at radene i matrisen C er lineære kombinasjoner av radene i matrisen B. Dette innebærer ulikheten r(C) ≦ r(B).

Hvordan finne produktet av matriser er et ganske komplisert tema. Det kan lett mestres, men for å oppnå et slikt resultat, må du bruke mye tid på å memorere alle eksisterende regler og teoremer.