Planimetri er en gren av geometri som studerer egenskapene til plane figurer. Disse inkluderer ikke bare kjente trekanter, firkanter, rektangler, men også rette linjer og vinkler. I planimetri er det også slike begreper som vinkler i en sirkel: sentral og innskrevet. Men hva betyr de?
Hva er den sentrale vinkelen?
For å forstå hva en sentral vinkel er, må du definere en sirkel. En sirkel er en samling av alle punkter like langt fra et gitt punkt (sentrum av sirkelen).
Det er veldig viktig å skille det fra en sirkel. Det må huskes at en sirkel er en lukket linje, og en sirkel er en del av et plan avgrenset av den. En polygon eller en vinkel kan skrives inn i en sirkel.
En sentral vinkel er en vinkel hvis toppunkt faller sammen med sentrum av sirkelen og hvis sider skjærer sirkelen i to punkter. Buen, som vinkelen begrenser av skjæringspunkter, kalles buen som den gitte vinkelen hviler på.
Tenk på eksempel 1.
På bildet er vinkel AOB sentral, fordi toppunktet på vinkelen og sentrum av sirkelen er ett punkt O. Den hviler på buen AB, som ikke inneholder punkt C.
Hvordan skiller en innskrevet vinkel seg fra en sentral?
Foruten de sentrale er det imidlertid også innskrevne vinkler. Hva er forskjellen deres? Akkurat som den sentrale, hviler vinkelen innskrevet i en sirkel på en bestemt bue. Men toppunktet faller ikke sammen med sentrum av sirkelen, men ligger på det.
La oss ta følgende eksempel.
Vinkel ACB kalles en vinkel innskrevet i en sirkel sentrert i punktet O. Punkt C tilhører sirkelen, det vil si ligger på den. Vinkelen hviler på buen AB.
Hva er den sentrale vinkelen
For å lykkes med problemer i geometri er det ikke nok å kunne skille mellom innskrevne og sentrale vinkler. Som regel, for å løse dem, må du vite nøyaktig hvordan du finner den sentrale vinkelen i en sirkel, og være i stand til å beregne verdien i grader.
Så midtvinkelen er lik gradmålet til buen den hviler på.
På bildet hviler vinkelen AOB på buen AB lik 66°. Så vinkelen AOB er også lik 66°.
Dermed er de sentrale vinklene basert på like buer like.
I figuren er bue DC lik bue AB. Så vinkel AOB er lik vinkel DOC.
Hvordan finne en innskrevet vinkel
Det kan se ut til at vinkelen som er innskrevet i sirkelen er lik midtvinkelen,som er avhengig av samme bue. Dette er imidlertid en grov feil. Faktisk, selv om du bare ser på tegningen og sammenligner disse vinklene med hverandre, kan du se at gradmålene deres vil ha forskjellige verdier. Så hva er vinkelen innskrevet i sirkelen?
Grademålet for en innskrevet vinkel er halvparten av buen den hviler på, eller halvparten av midtvinkelen hvis de er avhengige av samme bue.
La oss se på et eksempel. Vinkel ACB er basert på en bue lik 66°.
Så vinkelen DIA=66°: 2=33°
La oss vurdere noen konsekvenser av denne teoremet.
- Innskrevne vinkler, hvis de er basert på samme bue, akkord eller like buer, er like.
- Hvis de innskrevne vinklene er basert på samme korde, men toppunktene deres ligger på motsatte sider av den, er summen av gradmålene til slike vinkler 180°, siden begge vinklene i dette tilfellet er basert på buer, det totale gradmålet er 360° (hel sirkel), 360°: 2=180°
- Hvis den innskrevne vinkelen er basert på diameteren til den gitte sirkelen, er gradmålet 90°, siden diameteren dekker en bue lik 180°, 180°: 2=90°
- Hvis de sentrale og innskrevne vinklene i en sirkel er basert på samme bue eller akkord, er den innskrevne vinkelen lik halvparten av den sentrale.
Hvor kan problemer om dette emnet bli funnet? Deres typer og løsninger
Siden sirkelen og dens egenskaper er en av de viktigste delene av geometri, spesielt planimetri, er de innskrevne og sentrale vinklene i sirkelen et emne som er bredt og detaljertstuderte i skolens læreplan. Oppgaver viet til egenskapene deres finnes i hovedstatseksamenen (OGE) og unified state-eksamenen (USE). Som regel, for å løse disse problemene, bør du finne vinklene på sirkelen i grader.
Vinkler basert på samme bue
Denne typen problemer er kanskje en av de enkleste, siden for å løse den trenger du bare å kjenne til to enkle egenskaper: hvis begge vinklene er innskrevet og lener seg på samme akkord, er de like, hvis en av dem er sentral, så er den tilsvarende innskrevne vinkelen lik halvparten av den. Men når man løser dem, må man være ekstremt forsiktig: noen ganger er det vanskelig å legge merke til denne egenskapen, og studenter, når de løser slike enkle problemer, kommer til en blindvei. Tenk på et eksempel.
Problem 1
Gi en sirkel sentrert ved punkt O. Vinkel AOB er 54°. Finn gradmålet for vinkelen DIA.
Denne oppgaven løses i ett trinn. Det eneste du trenger for å finne svaret på det raskt, er å legge merke til at buen som begge hjørnene hviler på er en vanlig. Når du ser dette, kan du bruke den allerede kjente eiendommen. Vinkel ACB er halve vinkelen AOB. Så
1) AOB=54°: 2=27°.
Answer: 54°.
Vinkler basert på forskjellige buer av samme sirkel
Noen ganger er størrelsen på buen som den nødvendige vinkelen hviler på, ikke direkte spesifisert i betingelsene for problemet. For å beregne det, må du analysere størrelsen på disse vinklene og sammenligne dem med de kjente egenskapene til sirkelen.
Problem 2
I en sirkel sentrert ved O, vinkel AOCer 120°, og vinkelen AOB er 30°. Finn hjørnet DU.
Til å begynne med er det verdt å si at det er mulig å løse dette problemet ved å bruke egenskapene til likebenede trekanter, men dette vil kreve flere matematiske operasjoner. Derfor vil vi her analysere løsningen ved å bruke egenskapene til sentrale og innskrevne vinkler i en sirkel.
Så vinkelen AOC hviler på buen AC og er sentral, noe som betyr at buen AC er lik vinkelen AOC.
AC=120°
På samme måte hviler vinkelen AOB på buen AB.
AB=30°.
Ved å vite dette og gradmålet for hele sirkelen (360°), kan du enkelt finne størrelsen på buen f. Kr.
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
Hovedpunktet til vinkel CAB, punkt A, ligger på sirkelen. Derfor er vinkelen CAB innskrevet og lik halvparten av buen CB.
CAB-vinkel=210°: 2=110°
Svar: 110°
Problemer basert på bueforhold
Noen problemer inneholder ikke data om vinkler i det hele tatt, så de må søkes kun basert på kjente teoremer og egenskaper til en sirkel.
Problem 1
Finn vinkelen innskrevet i en sirkel som støttes av en korde lik radiusen til den gitte sirkelen.
Hvis du ment alt tegner linjer som forbinder endene av segmentet med midten av sirkelen, får du en trekant. Etter å ha undersøkt det, kan du se at disse linjene er radiene til sirkelen, noe som betyr at alle sidene i trekanten er like. Vi vet at alle vinkler i en likesidet trekanter lik 60°. Derfor er buen AB som inneholder toppunktet til trekanten lik 60°. Herfra finner vi buen AB, som ønsket vinkel er basert på.
AB=360° - 60°=300°
Angle ABC=300°: 2=150°
Svar: 150°
Problem 2
I en sirkel sentrert ved punkt O, er buene relatert til 3:7. Finn den minste innskrevne vinkelen.
For løsningen betegner vi en del som X, så er en bue lik 3X, og den andre henholdsvis 7X. Når vi vet at gradmålet til en sirkel er 360°, kan vi skrive en ligning.
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
I henhold til tilstanden må du finne en mindre vinkel. Selvfølgelig, hvis verdien av vinkelen er direkte proporsjonal med buen den hviler på, tilsvarer den nødvendige (mindre) vinkelen en bue lik 3X.
Så den minste vinkelen er (36°3): 2=108°: 2=54°
Svar: 54°
Problem 3
I en sirkel sentrert ved punkt O er vinkelen AOB 60° og lengden på den mindre buen er 50. Regn ut lengden på den større buen.
For å beregne lengden på en større bue, må du lage en proporsjon - hvordan den mindre buen forholder seg til den større. For å gjøre dette, beregner vi størrelsen på begge buene i grader. Den mindre buen er lik vinkelen som hviler på den. Gradmålet er 60°. Den større buen er lik forskjellen mellom gradmålet til sirkelen (den er lik 360° uavhengig av andre data) og den mindre buen.
Den store buen er 360° - 60°=300°.
Siden 300°: 60°=5, er den største buen 5 ganger den mindre.
Stor bue=505=250
Answer: 250
Så, selvfølgelig, det er andretilnærminger til å løse lignende problemer, men alle er på en eller annen måte basert på egenskapene til sentrale og innskrevne vinkler, trekanter og sirkler. For å lykkes med å løse dem, må du studere tegningen nøye og sammenligne den med dataene til problemet, samt være i stand til å bruke din teoretiske kunnskap i praksis.
